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高考数学真题整理【解三角、三角函数、向量、数列】


高考数学【三角函数.解三角.向量.数列】
(三角函数) 1. 2011 年高考安徽卷理科 9) 函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) , ( 其中 ? 为实数, f ( x ) ? f ( 若
?
2

?
6

)

对 x ? R 恒成立,且 f ( (A) ? k ? ?
? ? ? ?

) ? f ( ? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是
? ?

?
3

, k? ?

? ?
6? ?

(k ? Z )

(B) ? k ? , k ? ?
? ?

? ?
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k ? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k ? ?

?
2

, k?

? (k ? Z ) ? ?

【 解 析 】 若 f (x) ? f (
?
3

?
6

) 对 x? R 恒 成 立 , 则 f (

?
6

)?

s i n ?? ( 3

?

所 ? ) ,1 以

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z , ? ? k? ?

?
6

,k ? Z . 由 f (

?
2

) ? f ( ? ) ,( k ? Z ), 可 知

sin(? ? ? ) ? sin(2 ? ? ? )

, 即 s i ? n?
f ( x )? s i n (x 2 ?

0 , 所 以 ? ? 2k? ?

?
6

,k ? Z

, 代 入
?
2

?
6

f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) , 得

, 由 2k? ?

)

?
2

剟 2 x?

?
6

2? ? k

,得

k? ?

?
3

剟x

k? ?

?
6

,故选 A.
?
6 ) ?1。

2. (2011 年高考北京卷理科 15)已知函数 f ( x ) ? 4 co s x sin ( x ?
? ?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 4 cos x sin( x ?
3 2 1 2

? ? ?
, 6

上的最大值和最小值。 4? ?

?
6

) ?1

? 4 cos x (

sin x ?

cos x ) ? 1 ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? (Ⅱ)因为 ?
?
6 ? x ? ?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

.

于是,当 2 x ? 当2x ?
?
6 ? ?

?
6

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) 取得最大值 2;

?
6

,即 x ? ?

?
6

时 , f ( x ) 取得最小值—1.

3. (2011 年高考北京卷理科 9)
sin A ? _______, a ? ______.

? A B C 中,若 b ? 5 , ? B ? ?

, tan A ? 2 ,则

4

【解析】由 tan A ? 2 ?

sin A ?

2 5 5

,正弦定理可得 a ? 2 1 0 。
? 6

4.(2011 年高考北京卷理科 15) 已知函数 f ( x ) ? 4 co s x sin ( x ?

) ?1.

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?
? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

解: (1) f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ? (2) ? 当2x ?
?
6 ? 2x ? ? ?

?
6

) ,函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ;

?
6

?

2? 3

,当 2 x ?
?
6

?
6

?

?
2

即x ?

?
6

时,函数 f ( x ) 取得最大值 2;

?
6

?
6

即x ? ?

时,函数 f ( x ) 取得最小值 ? 1 ;

5.(2011 年高考福建卷理科)若 tan ? ? 3 ,则 A.2 B.3 C.4

s in 2 ? cos a
2

的值等于 D.6

D

6. (2011 年高考福建卷理科 16) 已知等比数列 { a n } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S 3 ? (Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ? 值为 a 3 ,求函数 f ( x ) 的解析式. 解:(Ⅰ)由 q ? 3, S 3 ?
13 3

13 3



?
6

处取得最大值,且最大

得 a1 ?

1 3

,所以 a n ? 3

n?2



(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a 3 ? 3 ,因为函数 f ( x ) 最大值为 3,所以 A ? 3 , 又当 x ?
?
6

时函数 f ( x ) 取得最大值,所以 sin (
?
6

?
3

? ? ) ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6



所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 3 sin ( 2 x ?

)。

7. (2011年高考广东卷理科)已 知 函 数 f ( x ) ? 2 sin ( x ?
3 (1) 求 f ( 5? 4
? ? ( 2 ) 设 ? , ? ? 0, ? 2 ?

1

?
6

), x ? R

)的 值 ;

? 10 6 ? , f (3? ? ) ? , f (3 ? ? 2 ? ) ? , 求 co s(? ? ? )的 值 . ? 2 13 5 ?
5? 12 ?

解 : (1) f (

5? 4

) ? 2 sin(

?
6

) ? 2 sin 10 13

?
4

?

2. 5 13 ,? ? ? [0, 6 5 12 13 ? 3 5 ? 5 13

( 2 ) f ( 3? ?

?
2

) ? 2 sin ? ?

,? sin ? ?

?
2

], ? cos ? ? 3 5 ? 4 5 ? 16 65 . ,? ? ? [0,

12 13

; ], ? sin ? ? 4 5 .

f ( 3 ? ? 2 ? ) ? 2 sin( ? ?

?
2

) ? 2 cos ? ?

,? cos ? ?

?
2

? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

8. (2011 年高考江苏理科)
?
4 1 ? tan x 1 ? tan x

tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x tan 2 x

的值为__________.
(1- tan x) 4 = ? . 2 tan x 2 9 tan x 1- tan x
2 2

解析:? tan ( x ?

)?

? 2,? tan x ?

1 3

,?

tan x tan 2 x



9.(2011 年高考江苏 9) 函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ), ( A , ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 ) 的部 分图象如图所示,则 f ( 0 ) ? ____ 解析:由图可知: A ?
2? 7? 12
f (0 ) ?

2,

T 4

?

7 12

? ?

?
3

?

?
4

, ? ? 2,

? ? ? 2k? ?

3? 2

,? ? 2k? ?

?
3

,

2 sin ( 2 k ? ?

?
3

)?

6 2

由图知: f (0 ) ?

6 2

第 9题 图

10.(2011 年高考江西卷理科 17) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且满足
c sin A ? a cos C .

(I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? co s( B ?
?
4 ) 的最大值,并求取得最大值时角 A , B 的大小.

解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C . 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0 .从 而 sin C ? co s C .又 co s C ? 0, 所 以 tan C ? 1, 则 C ? (II)由(I)知 B ?
3? 4 ? A . 于是

?
4

3 sin A ? co s( B ? ?

?
4

)?

3 sin A ? co s( ? ? A )

3 sin A ? co s A ? 2 sin ( A ? 3? 4 ,?

?
6

). ,从 而 当 A ?

?0? A?

?
6

? A?

?
6

?

1 1? 12

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

时,

2 sin ( A ?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? co s( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? 12

.

11.(2011 年高考江苏理科 15) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ? 【解析】
? (1) sin ( A ?

?
6 1 3

) ? 2 cos A , 求 A 的值; , b ? 3 c ,求 sin C 的值.

?
6

) ? 2 co s A ,? sin A ? 1 3

3 co s A , co s A ? 0, tan A ?
2 2 2

3,0 ? A ? ? ? A ?
2

?
3

(2)在三角形中,? co s A ?
2 2c sin A c

, b ? 3 c ,? a ? b ? c ? 2 b c co s A ? 8 c , a ? 2 2 c

由正弦定理得:

?

,而 sin A ?

1 ? co s A ?
2

2 2 3

, ? s in C ?

1 3

.(也可以先

sin C

推出直角三角形) (也能根据余弦定理得到 co s C ?
2 2 3 , 0 ? C ? ? ? sin C ? 1 3

)

12. (2011年高考广东卷理科16) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( x ?
3

1

?
6

), x ? R

(1)求 f (

5?

? ? ) 的值; (2)设 ? , ? ? ? 0 , ? 2 4

? 10 6 ? ? , f (3? ? 2 ) ? 1 3 , f (3 ? ? 2 ? ) ? 5 , 求 ?

cos(? ? ? ) 的值.

【解析】解: (1)
f(

5? 4

) ? 2 sin (

1 3

?

5 4

? ?

?
6

) ? ? 2 sin

?
4


? 2

(2)?

10

? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? f ? 3? ? ? ? 2 sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2 sin ? , 13 2 ? 2 ? 6 ? ? ?3 ?
? ? ? ?? ? ? ? 2 co s ? , 2 ? ?

? ? ?1 ? f (3 ? ? 2 ? ) ? 2 sin ? ? (3 ? ? 2 ? ) ? ? ? 2 sin 5 6 ? ?3
6

? sin ? ?

5 13

, co s ? ?

3 5

,
? 5 ? 1? ? ? ? 13 ? ?3? 1? ? ? ?5?
2 2

? co s ? ?

1 ? sin ? ?
2

?

12 13

,

sin ? ?

1 ? co s ? ?
2

?

4 5

,

故 co s(? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ?

3 5

?

12 13

?

5 13

?

4 5

?

56 65

.

13. (2011 年高考湖北卷理科 16) 知. a
? 1, b ? 2, co s C ? 1 4

设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b , c ,已

(Ⅰ) 求△ABC 的周长; 解析: (Ⅰ)? c 2
2 2

(Ⅱ)求 cos(A—C.)
1 4 ? 4 ? c ? 2 .? ? A B C

? a ? b ? 2 a b co s C ? 1 ? 4 ? 4 ?

的周长为

a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

(Ⅱ)? co s C

??

1 4

,? sin C ?

1 ? co s C ?
2

1 2 1? ( ) ? 4

15 4

15 ? sin A ? a sin C c
? 1? ( 15 8 ) ?
2

?

4 2

?

15 8

. ? a ? c ,? A ? C

故 A 为锐角.? co s A ?
? sin A sin C ? 7 8 ? 1 4 ? 15 8

1 ? sin A
2

7 8

. ? co s( A ? C ) ? co s A co s C

?

15 4

?

11 16

.

14.(2011 年高考全国Ⅱ理 5)设函数 f ? x ? ? co s ? x ? ? ? 0 ? ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平 移
?
3

个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于(A)

1 3

(B)3

(C)6

(D)9 【解析】 :由题意知 为函数 f ? x ? ? co s ? x ? ? ? 0 ? 周期的正整数 3 ? 2? * ( k ? N ), ? ? 6 k ? 6 ,故 ? 的最小值等于 6. 倍,所以 ? k ? 3 ?
?

15. (2011 年高考全国Ⅱ理 14) 已知 ? ? (

?
2

,? ) , ? = sin

5 5

,则 tan2 ? =___________.













sin

?

=

5 5

,

? ?(

?
2

,? )





c

?o ?

2 s ? 5

5

? ,

?t 2

1

a ?

n

? ? ?

?
2

1?

2 , t

?

t

t a

a

a n

n

n

?2 3

?

4

3? 16. 已知 ? ? (? , ), tan ? ? 2 ,则 cos ? ? 2
co s ?
2

【解析】由 co s ? ?
2

sin ? ? co s ?
2 2

?

1 tan ? ? 1
2

?

1

3? , 又 ? ? ( ? , ), co s ? ? 0 5 2

所以 co s ? ? ?

5 5

.

17. (2011 年高考山东卷理科 6)若函数 f ( x ) ? sin ? x (ω >0)在区间 ? 0,
? ?? ?3

?

? ?
3? ?

上单调递增,

在区间 ? (A)3

,

? ?

上单调递减,则ω = 2? ? (B)2 (C)
3 2

(D)

2 3

【解析】由题意知,函数在 x ?

?
3

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 C.

18.(2011 年高考山东卷理科 3)若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

a? 6

的值为

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan

a

a? 6

? tan

2? 6

? tan

?
3

?

3 ,故选 D.

19. (2011 年高考山东卷理科 3) 若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

a? 6

的值为

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan

a

a? 6

? tan

2? 6

? tan

?
3

?

3 ,故选 D.

20. (2011 年高考浙江卷理科 6) 若 0< ? <
?
4

?
2

,-

?
2

< ? < 0 , co s(

?
4

??) ?

1 3


6 9

co s(

?

?
2

)?

3 3

, co s(? ? 则
? (? ?

?
2

) ?(A)

3 3

(B)?
?
2

3 3

(C)
?
4

5 3 9

(D)?
?

【解析】 ? ? ? :
? co s(? ?
1 3 3 3

?
2

?
4

)?(

?
4

?

?
2

) ? co s(? ? ) sin (

) ? co s[(? ?

)?(

?
4

?
2

)]

?
4

) co s(

?
4

?

?
2

) ? sin (? ?
3?4 3 9

?
4
?

?
4

?

?
2

)

?

?

?

2 2 3

?

6 3

?

5 3 9

故选 C

21. (2011 年高考天津卷理科 6) 如图,在△ A B C 中, D 是边 A C 上的点,且
AB ? AD , 2 AB ?
3 3

3 B D , B C ? 2 B D ,则 sin C 的值为(
3 6 6 3 6 6



A.

B.

C.

D.

【解析】设 B D ? a ,则由题意可得: B C ? 2 a ,

AB ? AD ?

3 2

a ,在 ? A B D 中,由余弦定

理得: co s A ?

AB ? AD ? BD
2 2

2

2?

3a 4

2

?a 3 a)

2

2 AB ? AD

?

=
2

1 3

,所以 sin A = 1 ? cos A ?
2

2 3

2

2?(

2

3

在△ A B C 中,由正弦定理得,

AB sin C

?

BC sin A

a ?

,所以 2
sin C

2a 2 2 3 a

,解得 sin C =

6 6



21.(2011 年高考陕西卷理科 6) 函数 f ( x ) ? (A)没有零点 (C)有且仅有两个零点 【解】选 B
f ( x) ?

x ? cos x 在 [0, ? ? ) 内





(B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点

(方法一)数形结合法,令
x ? cos x ,设函数 y ?

x ? cos x ? 0 ,则

x

和 y ? cos x ,它们在 [0, ? ? ) 的图像如图所示,显然两函 数的图像的交点有且只有一个,所以函数
f ( x) ? x ? cos x 在 [0, ? ? ) 内有且仅有一个零点;

(方法二)在 x ? [
f ( x) ? x ? cos x

?
2

, ? ? ) 上, x ? 1 , cos x ? 1 ,所以

? 0 ; 在 x?( 0 , 2

?

] , f ?( x ) ?

1 2 x

? sin x ? 0 , 所 以 函 数

f ( x) ?

x ? cos x 是增函数, 又因为 f (0) ? ? 1 ,f (

?
2

)?

?
2

?0, 所以 f ( x ) ?

x ? cos x

在 x ? [0 ,

?
2

] 上有且只有一个零点.

22.(2011 年高考四川卷理科 6) 在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的 取值范围是 (A) (0 , ]
6

?

(B) [

?
6

,? )

(C) (0 , ]
3
2

?

(D) [
b ?c ?a
2

?
3
2

,? )

解析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b c ,即 ∴ co s A ?
1 2

?

1 2



2bc

,∵ 0 ?

A??

,故 0

? A?

?
3

,选 C.

23. 已知函数

f ( x ) ? sin ( x ?

7? 4

) ? co s( x ?

3? 4

) ,x ? R.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 co s( ?
??) ? 4 5

, co s( ?

??)? ?

4 5

,0 ? ?

? ? ?

?
2

,求证: [ f ( ? )] 2 ? 2 ? 0 .

解析: (Ⅰ)
? 2 sin x ?

f ( x ) ? sin x co s

7? 4

? co s x sin

7? 4

? co s x co s

3? 4

? sin x sin

3? 4
f ( x ) m in ? ? 2

2 co s x ? 2 sin ( x ?

?
4

) ,∴ f ( x )

的最小正周期 T ? 2 ? ,最小值
4 5



(Ⅱ)证明:由已知得 co s ?

co s ? ? sin ? sin ? ?

, co s ?

co s ? ? sin ? sin ? ? ?

4 5

两式相加得 2 co s ? co s ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ∴ [ f ( ? )] 2
? 2 ? 4 sin
2

? ? ?

?
2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ?

?

?
2



?
4

?2?0



24. 在 ? A B C 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若 a ? b ?
2 2

3b c ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? (

) .A.3 0 ?

B.6 0 ?
2

C.1 2 0 ?
2

D.1 5 0 ?
3b c 得

【解】由 sin C ? 2 3 sin B 及正弦定理得 c ? 2 3 b ,代入 a ? b ?
a ?b ?
2 2

3 b ? 2 3 b ? 6 b ,即 a ? 7 b ,又 c ? 12 b ,
2
2 2
2 2

由余弦定理 co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

?

b ? 12b ? 7b
2 2

2

2bc

4 3b

2

?

6 4 3

?

3 2



所以 A ? 3 0 ? .故选A.

25. 设 a ? R , f ? x ? ? co s x ? a sin x ? co s x ? ? co s ?
2

??

? ? ? x ? 满足 f ( ? ) ? f (0 ) , 求函数 3 ? 2 ?

? ? 1 1? ? f (x) 在 ? ? ? 上的最大值和最小值 ? 4 24 ?

解: (1) f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ? (2)当 x ? [
? ?
, 4 ] 时, 2 x ?

?
6

);

, ] ,函数 f ( x ) 递增; 3 6 3 2 ? 1 1? ? ? 3? ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x ) 递减; 当x?[ , 3 24 6 2 4 ? 1 1? ? ] 上的最大值为 f ( ) ? 2 所以 f ( x ) 在 x ? [ , 4 24 3 ? 1 1? ? 1 1? 1 1? ) ? 2 ,所以 f ( x ) 在 x ? [ , ] 上的最小值为 f ( )? 又 f ( ) ? 3, f ( 4 24 4 24 24

?

?[

? ?

2 。

(2011.解三角) 1. 在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是( ? ? ? ? (A)(0, ] (B)[ , ? ) (c)(0, ] (D) [ ,? )
2 2 2



6

6

3
b ?c ?a
2 2

3
2

解析:由题意正弦定理
a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ?
2 2 2 2 2 2

? 1 ? co s A ?

1 2

? 0? A?

?
3

bc

2. 如图,在△ A B C 中, D 是边 A C 上的点,且 A B ? C D , 2 A B ?
sin C 的值为 (

3 B D , B C ? 2 B D ,则

)

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

【解析】设 BD =2,则 AB ? AD ?
cos ? ADB ? AD
2

3 , BC ? 4 ,由余弦定理得
3?4?3 2? 3?2 ? 3 3

? BD

2

? AB

2

2 ? AD ? BD

?



∴ sin ? BDC ? 由正弦定理得

1 ? cos
4

2

? BDC ?
? 2 sin C

1?

1 3

?

6 3
1 2

.
1 2 ? 6 3 ? 6 6

sin ? BDC

,即 sin C ?

sin ? BDC ?

.

3. 已知 ? A B C 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ? A B C 的面 积为_______________ 【解析】 设三角形的三边长分别为 a ? 4, a , a ? 4 , 最大角为 ? , 由余弦定理得 , a ? 1 0 , 则

o

所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面积为
S ? 1 2 ? 6 ? 1 0 ? sin 1 2 0 ? 1 5 3 .
?

4. 在 ? A B C 中。若 b=5,? B ? 【解析】由 tan A ? 2 ?
sin A co s A 1 4

?
4

,tanA=2,则 sinA=____________;a=_______________。
1 2
2 5 5

? 2 ? co s A ?

sin A ,又 sin A ? cos A ? 1 所以
2 2

sin A ?
2

sin A ? 1 解得 sin A ?
2

,正弦定理得

a 2 5 5

?

5 sin

5?

2 5 5 2 2

?
4

,a ?



a ? 2 10 。

5. 如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 , 点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______。
? 解析:在△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 中, ? A C B ? ? A B C ? 30 ,

而∠ADC=45°,

AC sin 4 5
?

?

AD sin 3 0
?

, AD ?

2 ,答案应填

2 。

6. 在 V A B C 中, B ? 6 0 , A C ?
0 0

?

3 ,则 A B ? 2 B C 的最大值为
BC sin A ? AC sin B


? 2 ? B C ? 2 sin A

0 解析: A ? C ? 120 ? C ? 120 ? A , A ? (0,120 ) ,

AB sin C

?

AC sin B

? 2 ? A B ? 2 sin C ? 2 sin (1 2 0 ? A ) ?
0

3 c os A ? sin A ;

? AB ? 2 BC ?

3 cos A ? 5 sin A ?

2 8 sin ( A ? ? ) ? 2 7 sin ( A ? ? ) ,故最大值是 2 7

, 7. 设 ? A B C 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a ?1 b ? 2,cosC ?

1 4

(I) 求 ? A B C 的周长; (II)求 cos( A ? C) 的值。 解: (Ⅰ)? c ? a ? b ? 2 a b co s C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

1 4

? 4

? c ? 2. ? ? A B C 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

(Ⅱ)? co s C ?

1 4

,? sin C ?
15

1 ? co s C ?
2

1 2 1? ( ) ? 4

15 4

.

? sin A ?

a sin C

?

c 8 ? a ? c ,? A ? C ,故 A 为锐角,
? co s A ? 1 ? sin
2

4 2

?

15

A ?

1? (

15 8

)

2

?

7 8

.

? co s( A ? C ) ? co s A co s C ? sin A sin C ?

7 8

?

1 4

?

15 8

?

15 8

?

11 16

.

8. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; ? (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。
4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C .

因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0 .从 而 sin C ? co s C .又 co s C ? 0, 所 以 tan C ? 1, 则 C ? (II)由(I)知 B ?
3 sin A ? co s( B ? ?
3? 4 ? A . 于是

?
4

?
4

)?

3 sin A ? co s( ? ? A )

3 sin A ? co s A ? 2 sin ( A ? 3? 4 ,?

?
6

). ,从 而 当 A ?

?0? A?
2 sin ( A ?

?
6

? A?

?
6

?

1 1? 12

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

时,

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? co s( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? 12

.

9. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ?
?
6 1 3 ) ? 2 cos A , 求 A 的值; , b ? 3 c ,求 sin C 的值.

解析: (1)? sin ( A ?

?
6

) ? 2 co s A ,? sin A ?

3 co s A , ? A ?

?
3

(2)? co s A ? 由正弦定理得:

1 3

, b ? 3 c ,? a ? b ? c ? 2 b c co s A ? 8 c , a ? 2 2 c
2 2 2 2

2 2c sin A

?

c sin C

,而 sin A ?

1 ? co s A ?
2

2 2 3

, ? sin C ?

1 3



10. 在△ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4 ( a ? b ) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

C 2

.

解: (1)已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin
? 2 sin C 2 cos C 2 ? cos
2

C 2
C 2 C 2 C 2

C 2

? sin

2

C 2

? cos

2

? sin

2

? sin

整理即有: 2 sin

C 2

cos

C 2

? 2 sin
C 2

2

C 2

? sin

C 2

? 0 ? sin

C ? C C ? ? 2 sin ? 1? ? 0 ? 2 cos 2 ? 2 2 ?

又 C 为 ? ABC 中的角,? sin
C C 1

? 0
2 2

C C ? 1 C C ? ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? 2 sin cos ? cos ? ? 2 2 2 2 2 ? 4 2 2 ?

C 2

? sin

2

C 2

?

1 4

? 2 sin

C 2

cos
2

C 2
2

?

3 4

? sin C ?

3 4
2 2

(2)? a ? b ? 4 ?a ? b ? ? 8
? a ? b ? 4 a ? 4 b ? 4 ? 4 ? 0 ? ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ? 0 ? a ? 2 , b ? 2
2 2

又? cos C ?

1 ? sin

2

C ?

7 4

,? c ?

a ? b ? 2 ab cos C ?
2 2

7 ?1

11. △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 A ? C ? 9 0 , ,求 C . 【解析】由 a ? c ?
2 b 及正弦定理可得 2 sin B
?

?

sin A ? sin C ?
co s C ? sin C ?
2 2
?

又由 A ? C ? 9 0 , B ? 180 ? ( A ? C ) ,故
2 sin ( A ? C ) =
sin C ? co s 2 C ,

2 sin (9 0 ? 2 C ) =

?

2 co s 2C

co s C ?

2 2

co s(4 5 ? C ) ? co s 2 C

因为 所以

0 ? C ? 9 0, 2C ? 4 5 ? C ,
?

?

?

C ? 15

?

12. 在 ? A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知

co s A ? 2 co s C co s B

?

2c ? a b



, b ? 2 ,求 ? A B C 的面积 S。 4 co s A ? 2 co s C 2c ? a ? 解: (Ⅰ)在 ? A B C 中,由 及正弦定理可得 co s B b co s A ? 2 co s C 2 sin C ? sin A ? , co s B sin B 即 sin A sin B ? 2 cos C sin B ? 2 sin C cos B ? sin A cos B 则 sin A sin B ? sin A cos B ? 2 sin C cos B ? 2 cos C sin B sin( A ? B ) ? 2 sin( C ? B ) ,而 A ? B ? C ? ? ,则 sin C ? 2 sin A ,

(Ⅰ)求

sin C

的值; (Ⅱ)若 co s B ?

1

sin A



sin C sin A

? 2。
co s A ? 2 co s C ? 2c ? a b
2

另解 1:在 ? A B C 中,由

可得

co s B b cos A ? 2 b cos C ? 2 c cos B ? a cos B

由余弦定理可得

b ?c ?a
2 2

2

?

a ?b ?c
2 2

?
? c

a ?c ?b
2 2

2

?

a ?c ?b
2 2

2



2c

? 2。 sin A a 另解 2:利用教材习题结论解题,在 ? A B C 中有结论 a ? b cos C ? c cos B , b ? c cos A ? a cos C , c ? a cos B ? b cos A .

整理可得 c ? 2 a ,由正弦定理可得

a sin C

a

2c

可得 b cos A ? 2 b cos C ? 2 c cos B ? a cos B co s B b 即 b cos A ? a cos B ? 2 c cos B ? 2 b cos C ,则 c ? 2 a , sin C c ? ? 2。 由正弦定理可得 sin A a 1 (Ⅱ)由 c ? 2 a 及 co s B ? , b ? 2 可得 4 由
4 ? c ? a ? 2 a c co s B ? 4 a ? a ? a ? 4 a , 则 a ? 1 , c ? 2 ,
2 2 2 2 2 2

co s A ? 2 co s C

?

2c ? a

S?

1 2

a c sin B ?

1 2

? 1 ? 2 ? 1 ? co s B ?
2

15 4

,即 S ?

15 4



13. 在 ? A B C 中,角 A . B .C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 a c ? (Ⅰ)当 p ?
5 4 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 1 4 b .
2

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;
5 ? a?c ? , ? ? 4 解: (I)由题设并利用正弦定理,得 ? ?ac ? 1 , ? ? 4
? a ? 1, ? 解得 ? 1 或 ?c ? , ? 4 1 ? ?a ? , 4 ? ?c ? 1. ?

(II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

? ( a ? c ) ? 2 a c ? 2 a c co s B
2

? p b ?
2 2

1 2

b ?
2

1 2

b co s B ,

2

即p ?
2

3 2

?

1 2

co s B ,
2

因为 0 ? co s B ? 1, 得 p ? ( , 2 ) ,
2

3

由题设知 p ? 0, 所 以

6 2

? p ?

2.

(2011.数列) 1. 已知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时,
2n

lo g 2 a1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ?1 ?

A. n ( 2 n ? 1)

B. ( n ? 1)
2

2

C. n

2

D. ( n ? 1)
n

2

【解析】 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 2 n ( n ? 3) 得 a n ? 2 由
log
2 2

2n

a , n ? 0 , a n ? 2 , log 则

2

a 1 ? log

2

a3 ? ? ? ? ?

a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n ,选 C.

2. 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a 1 =4, 则公差 d 等于 A.1 B
3 2
5 3

C.- 2

D3

[解析]∵ S 3 ? 6 ?

( a 1 ? a 3 ) 且 a 3 ? a1 ? 2 d a1 = 4 ? d= 2 .故选 C

.

3. 设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n
7 3

,若

S6 S3

=3 ,则

S9 S
6

=

(A) 2

(B)
S6 S3

(C)
3

8 3

(D)3

【解析】设公比为 q ,则

?

(1 ? q ) S 3 S3

=1+q3=3 ?

q3=2

于是

S9 S
6

?

1? q ? q
3

6

1? q

3

?

1? 2 ? 4 1? 2

?

7
.

3

4. 等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a 1 ,2 a 2 , a 3 成等差数列。若 a 1 =1,则 s 4 = (A)7 (B)8 解 析 :
?

(3)15 (4)16 4
a1
2



2
2

a2



a3













? 4 a1 ? a 3 ? 4 a 2 , 即 4 a1 ? a1 q ? 4 a1 q ,? q ? 4 q ? 4 ? 0,? q ? 2, S 4 ? 15 ,选 C.

5. 已知 ? a n ? 为等差数列, a 1 + a 3 + a 5 =105, a 2 ? a 4 ? a 6 =99,以 S n 表示 ? a n ? 的前 n 项和, 则使得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]:由 a 1 + a 3 + a 5 =105 得 3 a 3 ? 105, 即 a 3 ? 3 5 ,由 a 2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3 a 4 ? 9 9 即
?an ? 0 a 4 ? 3 3 ,∴ d ? ? 2 , a n ? a 4 ? ( n ? 4 ) ? ( ? 2 ) ? 4 1 ? 2 n ,由 ? 得 n ? 20 ,选 B ? a n ?1 ? 0

6. 数列 { a n } 的通项 a n ? n (co s
2

2

n? 3

? sin

2

n? 3

) ,其前 n 项和为 S n ,则 S 3 0 为

A. 470 【解析】由于 { co s
1 ?2
2 2
2

B. 490
n? 3
2

C. 495
} 以 3 为周期,故
28 ? 29
2 2

D. 5 1 0

? sin

2

n? 3

S 30 ? ( ?

? 3 ) ? (?
2

4 ?5 2

2

? 6 ) ? ? ? (?
2

? 30 )
2

2
2 2

2

?

?

10

[?

(3 k ? 2 ) ? (3 k ? 1) 2

? (3 k ) ] ?
2

k ?1

? [9 k ? 2 ] ?
k ?1

10

5

9 ? 10 ? 11 2

? 2 5 ? 4 7 0 故选 A

7. 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 7 2 ,则 a 2 ? a 4 ? a 9 = 解: ? ? a n ? 是等差数列,由 S 9 ? 7 2 ,得? S 9 ? 9 a 5 , a 5 ? 8
? a 2 ? a 4 ? a 9 ? ( a 2 ? a 9 ) ? a 4 ? ( a 5 ? a 6 ) ? a 4 ? 3 a 5 ? 24 .



8. 设等比数列 { a n } 的公比 q ?
a 1 (1 ? q )
4

1 2

,前 n 项和为 S n ,则
s4 a4 1? q
3 4

S4 a4

?



【解析】对于 s 4 ?

1? q

, a 4 ? a 1 q ,?
3

?

q (1 ? q )

? 15

9. 已 知 数 列 { a n } 满 足 : a 4 n ? 3 ? 1, a 4 n ?1 ? 0, a 2 n ? a n , n ? N , 则 a 2 0 0 9 ? ________ ;
a 2 0 1 4 =_________.

?

【解析】依题意,得 a 2 0 0 9 ? a 4 ? 5 0 3 ? 3 ? 1 , a 2014 ? a 2 ?1007 ? a1007 ? a 4 ? 252 ?1 ? 0 . ∴应填 1,0.

.

10. 设 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 b n ? a n ? 1( n ? 1, 2, ? ) ,若数列 ? b n ? 有连 续四项在集合 ? ? 5 3, ? 2 3,1 9, 3 7 , 8 2 ? 中,则 6 q = .

【解析】 ? a n ? 有连续四项在集合 ? ? 5 4, ? 2 4,1 8, 3 6, 8 1? ,四项 ? 24, 36, ? 54, 81 成等比数列, 公比为 q ? ?
3 2

, 6 q = -9

11. 已知数列 ? a n ? 满足: a = m (m 为正整数) a n ? 1 ,
1

? an , 当 a n为 偶 数 时 , ? ? ? 2 若 a 6= 1 , ? 3 a ? 1, 当 a 为 奇 数 时 。 n ? n

则 m 所有可能的取值为__________。 【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 ①当
m 4

.

a1 2

为偶, 故 a 2 ?
? ? ? ? ? ?a 6 ? m 32

m 2

a3 ?

a2 2

?

m 4

仍为偶数时, a 4 ?

m 8



m 32

? 1 ? m ? 32

3

②当

m 4
3

为奇数时, a 4 ? 3 a 3 ? 1 ?
m ?1 ? 1 得 m=4。 4

3 4

m ?1 4

m ? 1 ? ? ? ? ? ? a6 ? 4

故4

(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a 2 ? 3 a1 ? 1 ? 3 m ? 1 为偶数,故 a 3 ?

3m ? 1 2

必为偶数

? ? ? ? ? ? a6 ?

3m ? 1 16

,所以

3m ? 1 16

=1 可得 m=5

12. 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 5 ? 5 a 3 则

S9 S5

?

9

.

解:? ? a n ? 为等差数列,?

S9 S5

?

9 a5 5 a3

?9

13. 等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 6 S 5 ? 5 S 3 ? 5, 则 a 4 ? 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d
2 1

.

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4

14. 等差数列{ a n }前 n 项和为 S n 。已知 a m ?1 + a m ? 1 - a 解 析 : 由
a m ?1

2 m

=0, S 2 m ?1 =38,则 m=_______ a
2 m

+

a m ?1

=0





2 a m ? a m ? 0, a m ? 0, 2 又 S 2 m ? 1 ?
2

? 2 m ? 1 ? ? a1 ? a
2

m?

?2

? ? 2 m ? 1? am ? 38 ? m ? 10 。
1

15. 设 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? .

2 an ? 1

, bn ?

an ? 2 an ? 1

, n? N

*

, 则 数 列 ? bn ? 的 通 项 公 式

bn =

2

【解析】 由条件得 b n ? 1 ?

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1

?2 ?2 ?1

?

a n ?1 2 a n ?1

an ? 2 an ? 1

? 2 b n 且 b1 ? 4 所以数列 ? b n ? 是首

项为 4,公比为 2 的等比数列,则 b n ? 4 ? 2

n ?1

?2

n ?1

16. 在数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1 ? (I)设 b n ?
an n

1 n

)an ?

n ?1 2
n

,求数列 {b n } 的通项公式

(II)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n 分析: (I)由已知有
a n ?1 n ?1 ? an n ? 1 2
n

? bn ?1 ? bn ?

1 2
n

利用累差迭加即可求出数列 {b n } 的通项公式: b n ? 2 ? (II)由(I)知 a n ? 2 n ?
? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

1 2
n ?1

(n ? N )
*

n 2
n ?1

,

k 2

) ? k ?1

?
n

n

(2k ) ?

k ?1

?

n

k 2
k ?1

k ?1

而 ? ( 2 k ) ? n ( n ? 1) ,又 ?
k ?1 n

n

k 2
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

k ?1

易得 ?

k 2
k ?1

? 4?

n?2 2
n ?1

? S n = n ( n ? 1) ?

n?2 2
n ?1

?4

k ?1

17. 设 ? a n ? 是公差不为零的等差数列,S n 为其前 n 项和, 满足 a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 , S 7 ? 7 。
2 2 2 2

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得
a m a m ?1 am?2

为数列 ? a n ? 中的项。

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a 2 ? a 5 ? a 4 ? a 3 ,由性质得 ? 3 d ( a 4 ? a 3 ) ? d ( a 4 ? a 3 ) ,因
2 2 2 2

为 d ? 0 ,所以 a 4 ? a 3 ? 0 ,即 2 a1 ? 5 d ? 0 ,又由 S 7 ? 7 得 7 a 1 ? 解得 a1 ? ? 5 ,d ? 2 , (2) (方法一) 则
a m a m ?1 am?2
a m a m ?1 am?2

7?6 2

d ?7,

=

( 2 m ? 7 )( 2 m ? 5) 2m ? 3

,设 2 m ? 3 ? t ,

=

( t ? 4 )( t ? 2 ) t

?t?

8 t

?6,

所以 t 为 8 的约数

(方法二)因为
8 a m+2

a m a m ?1 am?2

?

( a m ? 2 ? 4 )( a m ? 2 ? 2 ) am?2

? am?2 ? 6 ?

8 am?2

为数列 ? a n ? 中的项,



为整数,又由(1)知: a m ? 2 为奇数,所以 a m ? 2 ? 2 m ? 3 ? ? 1, 即 m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。

.

18. 各项均为正数的数列 { a n } , a1 ? a , a 2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m , n , p , q 都有
am ? an (1 ? a m )(1 ? a n ) ? a p ? aq (1 ? a p )(1 ? a q )

.

(1)当 a ?

1 2

, b ?

4 5

时,求通项 a n ;

.

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有
am ? an (1 ? a m )(1 ? a n ) ? a p ? aq (1 ? a p )(1 ? a q )

1

?

? an ? ? .

解: (1)由



a1 ? a n (1 ? a 1 )(1 ? a n ) an ?

?

a 2 ? a n ?1 (1 ? a 2 )(1 ? a n ? 1 )

. 将 a1 ?

1 2

, a2 ?

4 5

代入化简得

.

2 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2 ?

.

所以

1 ? an 1 ? an

1 1 ? a n ?1 ? , 3 1 ? a n ?1

.

故数列 {

1 ? an 1 ? an

} 为等比数列,从而

1 ? an 1 ? an

?

1 3
n

, 即 an ?

3 ?1
n

3 ?1
n

.

可验证, a n ?

3 ?1
n

3 ?1
n

满足题设条件.
am ? an

(2)

由 题 设

(1 ? a m )(1 ? a n ) ? a ? an

的 值 仅 与 m?n

有 关 , 记 为 bm ? n ,



bn ?1 ?

a1 ? a n (1 ? a 1 )(1 ? a n )

(1 ? a )(1 ? a n )

.

.

考察函数 f ( x ) ?

a? x (1 ? a )(1 ? x )

( x ? 0 ) ,则在定义域上有

.

? 1 , ?1 ? a ? ? 1 f ( x ) ? g (a ) ? ? , ? 2 ? a , ? ?1 ? a
*

a ?1 a ?1 0 ? a ?1

故对 n ? N , b n ? 1 ? g ( a ) 恒成立. 又 b2 n ?
2an (1 ? a n )
2

.

? g (a ) ,

注意到 0 ? g ( a ) ?
g (a ) 1 ? g (a ) ?

1 2

,解上式得
? 1 ? g (a ) ? 1 ? 2 g (a ) ? an ? 1 ? g (a ) ? 1 ? 2 g (a )

1 ? 2 g (a )

,

g (a )
1

g (a )

取? ?

1 ? g (a ) ?

1 ? 2 g (a )

,即有

g (a )

?

? an ? ? ..

.

19. 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 1 ? 1, S n ? 1 ? 4 a n ? 2 (I)设 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,证明数列 {b n } 是等比数列 (II)求数列 { a n } 的通项公式。
4 , 解: I) a 1 ? 1, 及 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 , a1 ?a 2 ? a1 ? 2 ( 由 有 a 2 ? 3 1 ? 2? 5? b1 a? 2 a? 3 a , ? 2 1

由 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ,. ..①

则当 n ? 2 时,有 S n ? 4 a n ? 1 ? 2 ...② ..

②-①得 a n ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ?1 ,? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ( a n ? 2 a n ?1 ) 又? b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,? b n ? 2 b n ?1 ? { b n } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2
? 数列 { ?
n ?1

,?

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 4

an 2 1
n

} 是首项为

1 2

,公差为
3 n? 4 1

3 4

的等比数列.
n?2

an 2
n

?

3 ? (n ? 1 ) ? 2 4

, a n ? (3 n ? 1) ? 2
4

20. 设 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a n ? 5 S n ? 1 成 立 , 记
bn ? 4 ? an 1 ? an (n ? N ) 。
*

(I)求数列 ? b n ? 的通项公式; (II)记 c n ? b 2 n ? b 2 n ?1 ( n ? N ) ,设数列 ? c n ? 的前 n 项和为 T n ,求证:对任意正整数 n 都
*

有 Tn ?

3 2



(III) 设数列 ? b n ? 的前 n 项和为 R n 。 已知正实数 ? 满足: 对任意正整数 n , R n ? ? n 恒成立, 求 ? 的最小值。 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a 1 ? 5 a 1 ? 1,? a 1 ? ? 又 Q a n ? 5 a n ? 1, a n ? 1 ? 5 a n ? 1 ? 1
? a n ?1 ? a n ? 5 a n ?1 , 即 a n ?1 ? ? 1 4 an
1 4

1 4

? 数列 ? a n ? 成等比数列,其首项 a 1 ? ?

,公比是 q ? ?

1 4

? an ? (?

1 4

)

n

4 ? (? ? bn ? 1 ? (?

1 4 1 4

) )

n

……………………………………..3 分
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b n ? 4 ?

5 (?4) ? 1
n
.

? c n ? b 2 n ? b 2 n ?1 ?

5 4
n n 2n

?1

? 4

5
2 n ?1

?1
n

?

25 ? 16
n

n n

(1 6 ? 1)(1 6 ? 4 ) 25 16
n

=

25 ? 16
n 2

(1 6 ) ? 3 ? 1 6 ? 4 )

?

25 ? 16 (1 6 )
n 2

?

又 b1 ? 3, b 2 ?

13 3

, ? c1 ?

4 3

当 n ? 1时 , T1 ? 当 n ? 2时 , T n ?

3 2 4 3 1 16
2

? 25 ? (

?

1 16
3

?K ?

1 16
n

)

1 ? 4 3 1 ? 4 3 ? 25 ? 16 1? ? 25 ? 16
2

[1 ? ( 1?

1 16 1

)

n ?1

]

16
2

1

?

69 48

?

3 2

......................7 分

16

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 b n ? 4 ?

5 (?4) ? 1
n

一方面,已知 R n ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2 k ? 1( k ? N )
*

则 R n ? b1 ? b 2 ? K ? b 2 k ? 1
1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ?1 ?2 ?3 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 1 1 ? 4 n ? 5? ? 1 [ ? (2 ? 3 4 ? 1 4? 1 4 ? K? K 1 ?)K K ? 1 ?2 k? 4 1
1

(k 2 4 ?

? 1

) 1 ? 1 1
k ?2

4 ?

1

)] 1

> 4n ? 1
? ? n ? R n ? 4 n ? 1, 即 ( ? ? 4) n ? ? 1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
? ? ? 4, 否 则 , ( ? ? 4) n ? ? 1 只对满足 n ?

1 4??

的正奇数 n 成立,矛盾。

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 R n ? 4 n 事实上,对任意的正整数 k,有
b 2 n ?1 ? b 2 n ? 8 ? 5 (?4)
2 k ?1

?1

?

5 (?4)
2k

?1

?8?

5 (1 6 ) ? 1
k

?

20 (1 6 ) ? 4
k

?8?

1 5? 1 6 ?
k k k

40

(1 6 ? 1)(1 6 ? 4 )

?8

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2 m ( m ? N )
*

则 R n ? ( b1 ? b 2 ) ? ( b3 ? b 4 ) ? K ? ( b 2 m ?1 ? b 2 m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2 m ? 1( m ? N )
*

则 R n ? ( b1 ? b 2 ) ? ( b3 ? b 4 ) ? K ? ( b 2 m ? 3 ? b 2 m ? 2 ) ? b 2 m ?1 < 8( m ? 1) ? 4 ? 8 m ? 4 ? 4 n
? 对一切的正整数 n,都有 R n ? 4 n

.

综上所述,正实数 ? 的最小值为 4

(2011.向量) 1.



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