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广东省东莞市2013届高三上学期期末教学质量检测数学文试题(WORD版)


东莞市 2012-2013 学年度第—学期高三调研测试

文科数学

考生注意:本卷共三大题,满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器, 参考公式:锥体的体积公式 V=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确,请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.) 1.设全集 U ? ??2, ?1, 0,1, 2? ,集合 A ? ??1,1, 2? , B ? ??1,1? ,则 A ? (CU B ) 为 A. ?1, 2?
?

B. ?1?

C. ?2?

D. ??1,1?

2.设函数 f ( x) ? 3 ? x ,则函数 f ( x) 存在零点的区间是 A. ? 0,1? C. ? ?2, ?1? B. ?1, 2? D. ? ?1, 0?

3.已知平面向量 a ? (2, 4) , 3a ? 2b ? (4,8) ,则 a ? b ? A.-10 B.10 C.-20 4.若—个算法的程序框图如右图,则输出的结果 S 为 A. D.20

?

?

?

? ?

1 2

B.

2 3

C.

5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 邻对称轴之间的距离为

?
3

3 4

D.

4 5

)(? ? 0) 的图象的两相

?
2

,要得到 y ? f ( x) 的图象,

只须把 y ? sin ? x 的图象

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移

B.向右平移 D.向左平移

? ?
6 6

个单位 个单位

6 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : 点 (n, an )(n ? N ? ) 都 在 曲 线 y ? log 2 x 的 图 象 上 , 则

a2 ? a4 ? a8 ? a16 ?
A.9 B10 C20 D30

7.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),? , ( xn , yn ) , 则不正确的说法是 ... A 若求得的回归方程为 ? =0.9x-0.3,则变量 y 和 x 之间具有正的线性相关关系 y B.若这组样本擞据分别是(1,1), (2,1.5), (4,3), 4.5)则其回归方程 ? =bx+a 必过点(3,2.5), (5, y C 若同学甲根据这组数据得到的回归模型 l 的残差平方和为 E1 =0.8.同学乙根据这组数 据得到的回归模型 2 的残差平方和为 E2 =2.1,则模型 1 的拟合效果更好。

D.若用相关指数 R ( R ? 1 ?
2 2

y ? ( y ? ? )2
i ?1 n i i

n

? ( y ? y)
i ?1 i

) 来刻画回归效果,回归模型 3 的相关指数
2

2 R32 ? 0.32 ,回归模型 4 的相关指数 R4 ? 0.91 ,则模型 3 的拟合效果

更好。 8.“

1 ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

9.点 M、N 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 A1 B1 、 A1 D1 中点, 用过 A、M、N 和 D、N、 C1 的两个截面截去正方体的两个角后 得到的几何体如右图,则该几何体的正视图、侧视图(左视图)、 俯视图依次为

A.①、②、③

B.②、③、④

C.①、③、④

D.②、④、③

10.若对任意 x ? A ,都有

1 ? A ,则称集合 A 为“完美集合”.在集合 A ? ??1,1, 2,3? x 2 15
C.

的所有非空子集中任取—个集合,这个集合是“完美集合”的概率为 A.

1 15

B.

1 5

D.

4 15

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) ㈠必做题(第 11-13 题) 11.若复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 2 ? i ,则 z ? 12.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 于 . .

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则常数 p 的值等 3

13· 已知关于变量 x,y 的线性约束条件为 ?

??3 ? x ? y ? 1 , 则目标函数 z ? 3 x ? y 的最小 ??1 ? x ? y ? 1

值为 . (二)选做题(第 14、15 题,考生只能从中选做—题.) 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,圆以 C 的参数方程是

? x ? 3 ? cos ? ? ( ? 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ? ? y ? 1 ? sin ? ?
极坐标系, 则 圆心 C 的极坐标是 15.(几何证明选讲选做题)如图,四边形 ABCD 内接于 ? O ,AB 为 ? O 的直径,直线 MN 切 ? O 于 D, .

?MDA ? 60? ,则 ?BCD ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 a 、 b 、 c 分 别 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 已 知 向 量 m ? (c, b) ,

??

?? ? ? n ? (sin 2 B,sin C ) ,且 m ? n 。
(l)求角 B 的度数; (2)若△ABC 的面积为

3 3 ,求 b 的最小值. 4

17.(本小题满分 12 分) 某校为了解学生对食堂伙食的满意程度,组织学生给食堂打 分(分数为整数,满分为 100 分),从中随机抽取—个容量 为 120 的样本,发现所有数据均在 ? 40,100? 内.现将这些分 数分成以下 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70, 80),[80,90),[90,100],并画出了样本的频率分布直 方图,部分图形如图所示.观察图形,回答下列问题: (l)算出第三组[60,70)的频数,并补全 频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的

众数和平均数, 18.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n , a1 ? 1 , S n 与 ?3S n ?1 的等差中项是 ? (1)证明数列 ? S n ? ? 为等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若对任意正整数 n,不等式 k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 19.(本小题满分 14 分) 在等腰梯形 PDCB(见图 a)中,DC//PB,PB=3DC=3,PD= 2 , DA ? PB ,垂足为 A,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得到四棱锥 P-ABCD(见图 b). 在图 b 中完成下面问题: (I)证明:平面 PAD ? 平面 PCD; (2)点 M 在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P-ABCD 分成两个几何体(如图 b),当这 两 个几何体的体积之比 VPM ? ACDVM ? ABC ? 5 : 4 时,求 (3)在(2)的条件下,证明:PD‖平面 AMC.

2 (n ? N ? ) . 3

? ?

2? 3?

PM 的值; MB

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知三点 O (0, 0) , A(?1,1) , B (1,1) ,曲线 C 上任意— 点 M ( x, y ) 满足: MA ? MB ? 4 ?

???? ????

? ? ? 1 ???? ??? ??? OM ? (OA ? OB ) . 2

(l)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与曲线相交于 M,N 两点,若直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 k PM , k PN .试探究 k PM ? k PN 的值是否与点 P 及直线

L 有关,并证明你的结论; (3)设曲线 C 与 y 轴交于 D、 两点, M (0,m)在线段 DE 上, P 在曲线 C 上运动. E 点 点 若当点 P 的坐标为(0,2)时, MP 取得最小值,求实数 m 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c , (a, b, c 是 常 数 ) 在 x=e 处 的 切 线 方 程 为

????

(e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , x ? 1 既是函数 y ? f ( x) 的零点,又是它的极值点.
(1)求常数 a,b,c 的值; (2)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x)(m ? R ) 在区间(1,3)内不是单调函数,求实数 m 的取
2

值范围; (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? 1 的单调递减区间,并证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 ? ? ?? ? ? 2 3 4 2012 2012

2012-2013 学年度第一学期高三调研测试 文科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 50 分.) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分.) 11.

4 3 ? i 5 5

;12.4;

13.-5 ; 14.

(2, ) ; 15. 150? . 6

?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.) 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 m ? n ,得 m ? n = c sin 2 B ? b sin C ? 0 , 由正弦定理得 sin C ? 2 sin B cos B ? sin B sin C ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? , 所以 sin B ? 0 , sin C ? 0 ,从而有 2 cos B ? 1 ? 0 , cos B ? ? 故 B ? 120 ? . ?????2 分 ?????4 分

1 , 2
?????6 分

(2)由 S ?ABC =

1 3 3 ,得 ac ? 3 . ac sin B ? 2 4

?????8 分

又由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac(? ) ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2ac ? 3=9 , 2
当且仅当 a ? c ?

???10 分 ?????11 分 ?????12 分

3 时等号成立,

所以, b 的最小值为 3 .

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为各组的频率之和等于 1, 所以分数在 ?60,70 ? 内的频率为:

f ? 1 ? (0.005 ? 0.015 ? 0.030 ? 0.025 ? 0.010) ? 10 ? 0.15 , ?????3 分
所以第三组 ?60,70 ? 的频数为 120 ? 0.15 ? 18 (人). 完整的频率分布直方图如图. ?????4 分 ??6 分

频率
组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100

分数

(2) 因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点, 从图中可看出众数的估计 值为 75 分. 又根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为: ?????8 分

45 ? (10 ? 0.005) ? 55 ? (10 ? 0.015) ? 65 ? (10 ? 0.015) ?
75 ? (10 ? 0.03) ? 85 ? (10 ? 0.025) ? 95 ? (10 ? 0.01) ? 73.5(分). ???11 分
所以,样本的众数为 75 分,平均数为 73.5 分. ???12 分

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 S n 和 ? 3S n ?1 的等差中项是 ?

3 , 2
1 Sn ? 1 , 3
?????2

所以 S n ? 3S n ?1 ? ?3 ( n ? N * ),即 S n ?1 ? 分 由此得 S n ?1 ? 分

3 1 3 1 1 1 3 * ? ( S n ? 1) ? ? S n ? ? ( S n ? ) ( n ? N ), ????3 2 3 2 3 2 3 2



S n ?1 ?

3 2 ? 1 ( n ? N * ), 3 3 Sn ? 2

?????4

分 又 S1 ?

3 3 1 ? a1 ? ? ? , 2 2 2

3 1 1 为首项, 为公比的等比数列. ?????5 分 2 2 3 3 1 1 3 1 1 (2)由(1)得 S n ? ? ? ? ( ) n ?1 ,即 S n ? ? ( ) n ?1 ( n ? N * ),?????6 2 2 3 2 2 3
所以数列 {S n ? } 是以 ? 分 所以,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? [ ?

3 2

1 1 n ?1 3 1 1 1 ( ) ] ? [ ? ( ) n ? 2 ] ? n ?1 ,?8 2 3 2 2 3 3

分 又 n ? 1 时, a1 ? 1 也适合上式, 所以 an ?

1 (n ? N * ) . n ?1 3

?????9 分

(3)要使不等式 k ? S n 对任意正整数 n 恒成立,即 k 小于或等于 S n 的所有值. 又因为 S n ?

3 1 1 n ?1 ? ( ) 是单调递增数列, 2 2 3

?????10 分

且当 n ? 1 时, S n 取得最小值 S1 ?

3 1 1 1?1 ? ( ) ? 1, 2 2 3

?????11 分 ?????13 分 ?????14 分

要使 k 小于或等于 S n 的所有值,即 k ? 1 , 所以实数 k 的最大值为.

19.(本小题满分 14 分) 证明:(1)因为在图 a 的等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , 所以在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA . 又 PA ? AB ,且 DC // AB ,所以 DC ? PA , DC ? DA , 而 DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , PA ? DA ? A , 所以 DC ? 平面 PAD . 因为 DC ? 平面 PCD , 所以平面 PAD ? 平面 PCD . 解:(2)因为 DA ? PA ,且 PA ? AB 所以 PA ? 平面 ABCD , 又 PA ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 ABCD . 如图,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N , 则 MN ? 平面 ABCD . 在等腰梯形 PDCB 中, DC // PB , ??5 分 D O C A N B P M ????4 分 ????3 分 ????1 分 ????2 分

PB ? 3DC ? 3, PD ? 2 , DA ? PB ,
所以 PA ? 1 , AB ? 2 , AD ? 设 MN ? h ,则

PD 2 ? PA2 ? 1 .

????6 分

1 1 1 1 1 1 VM ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? ? AB ? DA ? h ? ? ? 2 ?1? h ? h . ????7 分 3 3 2 3 2 3 1 1 ( DC ? AB) ? AD 1 1? 2 1 VP ? ABCD ? S梯形ABCD ? PA ? ? ? PA ? ? ? 1? 1 ? . 3 3 2 3 2 2 1 1 ????8 分 VPM ? ACD ? VP ? ABCD ? VM ? ABC ? ? h . 2 3 1 1 1 2 因为 VPM ? ACD : VM ? ABC ? 5 : 4 ,所以 ( ? h) : h ? 5 : 4 ,解得 h ? .???9 分 3 2 3 3 BM MN 2 2 1 在 ?PAB 中, ? ? , 所以 BM ? BP , MP ? BP . BP PA 3 3 3
所以 PM : MB ? 1 : 2 . (3)在梯形 ABCD 中,连结 AC 、 BD 交于点 O ,连结 OM . ????10 分

DO DC 1 ? ? . OB AB 2 PM 1 DO PM 又 , ? , 所以 ? OB MB MB 2
易知 ?AOB ∽ ?DOC ,所以 所以在平面 PBD 中,有 PD // MO . 又因为 PD ? 平面 AMC , MO ? 平面 AMC , 所以 PD // 平面 AMC . 分

????11 分 ????12 分 ????13 分

????14

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得,

MA ? MB ? (?1 ? x,1 ? y ) ? (1 ? x,1 ? y ) ? (?2 x,2 ? 2 y ) ,
所以 | MA ? MB |? 又4?

????1 分

(?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 , ????2 分
????3 分

1 1 OM ? (OA ? OB) ? 4 ? ( x, y ) ? (0,2) ? 4 ? y , 2 2

所以 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 ? 4 ? y ,即

x2 y2 ? ? 1. 3 4

????4 分

(2)因为过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M , N 关于坐标原点对称, 所以可设 P ( x, y ), M ( x0 , y0 ), N (? x0 ,? y0 ) . 因为 P, M , N 在椭圆上,所以有 ????5 分

x2 y2 ? ? 1 , ???① 3 4
x2 0 3 ? y2 0 4 ? 1 , ???②
?6 分

①-②得
2 y 2 ? y0 4 ?? . 2 2 3 x ? x0

又 k PM ?

y ? y0 y ? y0 , k PN ? , x ? x0 x ? x0
2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 4 ? ? 2 ?? , 2 x ? x0 x ? x0 3 x ? x0

????7 分

所以 k PM ? k PN ?

????8 分 ????9 分

故 k PM ? k PN 的值与点 P 的位置无关,与直线 L 也无关.

(3)由于 P ( x, y ) 在椭圆 C 上运动,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,故 ? 2 ? y ? 2 ,且 3 4
????10 分

x2 ? 3 ?

3 2 y . 4

因为 MP ? ( x, y ? m) ,所以

| MP |? x 2 ? ( y ? m) 2 ?

1 2 y ? 2my ? m 2 ? 3 4
????12 分

?

1 ( y ? 4m) 2 ? 3m 2 ? 3 . 4

由题意,点 P 的坐标为 (0,2) 时, | MP | 取得最小值,即当 y ? 2 时, | MP | 取得最 小值,而 ? 2 ? y ? 2 ,故有 4m ? 2 ,解得 m ?

1 . 2

????13 分

又椭圆 C 与 y 轴交于 D、E 两点的坐标为 (0,2) 、 (0,?2) ,而点 M 在线段 DE 上, 即 ? 2 ? m ? 2 ,亦即

1 1 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 [ ,2] .????14 分 2 2

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 f ( x) ? ax ? b ln x ? c 知, f (x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? a ? 又 f (x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,所以有

b , ?1 分 x

f ' (e) ? a ?

b e ?1 ,① ?? e e

????2 分 ????3 分 ????4 分

由 x ? 1 是函数 f (x) 的零点, f (1) ? a ? c ? 0 ,② 得 由 x ? 1 是函数 f (x) 的极值点,得 f (1) ? a ? b ? 0 ,③
'

由①②③,得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 . (2)由(1)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) , 因此, g ( x) ? x ? mf ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m( x ? 0) ,所以
2 2

????5 分

g ' ( x) ? 2 x ? m ?

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) . x x

????6 分

要使函数 g (x) 在 (1,3) 内不是单调函数,则函数 g (x) 在 (1,3) 内一定有极值,而

g ' ( x) ?

1 (2 x 2 ? mx ? m) ,所以函数 g (x) 最多有两个极值. x
2

????7 分

令 d ( x) ? 2 x ? mx ? m( x ? 0) . (ⅰ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有一个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,即
'

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,又因为 d (1) ? 2 ? 0 ,当
d (3) ? 0 ,即 m ? 9 时, d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根

x?


3 ,当 d (3) ? 0 时,应有 d (3) ? 0 ,即 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 , 2

以有 m ? 9 .
'

???8 分

.(ⅱ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有两个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有两个根,即二次函 数 d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,所以
2

?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0, ? ?d (1) ? 2 ? m ? m ? 0, ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0, ? m ?1 ? ? 3, 4 ?
解得 8 ? m ? 9 . 综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) . (3)由 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ? x ? ln x( x ? 0) ,得 h ' ( x) ?
'

????9 分 ?10 分

1? x , x

令 h ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,即 h(x) 的单调递减区间为 ?1,?? ? . 由函数 h(x) ? ? x ? ln x( x ? 0) 在 ?1,?? ? 上单调递减可知, 当 x ? (1,??) 时, h( x) ? h(1) ,即 ? x ? ln x ? ?1 , ????11 分

亦即 ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 都成立,

ln x x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 都成立, ? x x ln 2 1 所以 0 ? ? , 2 2 ln 3 2 0? ? , 3 3 ln 4 3 0? ? , 4 4
亦即 0 ? ?

????12 分

0?
所以有

ln 2012 2011 , ? 2012 2012

????13 分

ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 2 3 2011 , ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2 3 4 2012 2 3 4 2012 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 所以 . ? ? ?? ? ? 2 3 4 2012 2012

????14



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