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1.1.1正弦定理导学案(必修五)


§ 1.1.1
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

正弦定理

学习过程
一、课前准备 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※ 学习探究

.(简:大角对大边)能否用一个等式把这种

探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如 图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, a b 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 , ? sin A sin B c c b a b 同理可得 ,从而 . ? ? ? sin C sin B sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试推导.

新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 c a b . ? ? sin A sin B sin C 试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ). A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B A D. a cos B ? b cos A C. a s i nB? b s i n (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于 .

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , , c ? k sin C ; c a c a b c b (2) 等价于 , , . ? ? ? ? sin A sin B sin C sin C sin B sin A sin C (3)正弦定理的基本作用为: b sin A ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? ;b ? . sin B a ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B ;sin C ? . b (4)一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a, b, c 叫做 .已知三角形的几个元素 求其他元素的过程叫做 .

※ 典型例题 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形.

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45? , a ? 2, 求b和B, C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1, 求a 和A, C .

三、总结提升 ※ 学习小结
c a b ? ? sin A sin B sin C 2.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边;②已知两边和其中一边的对角. ※ 知识拓展 a b c ? ? ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C
1. 正弦定理:

学习评价
※ 当堂检测 1.根据下列条件,解△ABC. o (1)已知 b=4,c=8, B=30 ;

(2)已知 B=30 ,b= 2 ,c=2 ;

o

(3)已知 b=6,c=9,B=45 .

o

2. 在△ABC 中,解三角形 o (1)a=3,b=2,A=30 ;

(2)a=2, b= 2 ,A=45 ;

o

(3)a=5,b=2,B=120 ;

o

(4)a= 3 ,b= 2 ,B=45 .

o

3.在△ABC 中,a:b:c=1:3:3,求 2 sin A ? sin B 的值.
sin C

cos A b ). ? ,则 ?ABC 是( cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 5. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于( ).
4. 在 ?ABC 中,若

D.等边三角形

A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 D.2∶2∶ 3 6. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系不能确定 7. 已知 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c = . a?b?c 8. 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 = .(合比性质) sin A ? sin B ? sin C 9. 在△ABC 中,a=5,b=3,C=120 ,则 sinA:sinB 的值是(
o



A.

5 3

B.

3 5

C.

3 7

D.

5 7

10.已知△ABC 外接圆半径是 2cm,A=60 ,求 BC 边长.

o

11.在△ABC 中, a 2 tan B ? b2 tan A ,试判断△ABC 的形状.

12.已知 a cos A ? b cos B ,试判定△ABC 形状.

课后作业
1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

2. 已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求实数 k 的取值范围为.


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