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湖南省汨罗市一中、岳阳县一中2017-2018学年第一学期期中考试 数学试卷


汨罗市一中 岳阳县一中高一年级第二次联考 数学试题

时间:120 分钟

分值:150 分

一、本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 1.设集合 M ? ?? 1, 0, 1?, N ? x x ? x ,则 M ? N ? (

?

?

) D.

A.

?? 1, 0, 1?

B.

? 0, 1 ?


C.

?1 ?

?0 ?

2.下列函数与函数 y ? x 相等的是( A. y ? x2

x2 x 3.下列函数中,在其定义域 R 内既是奇函数又是减函数的是(
B. y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) C. y ? A. y ? x B. y ?

D. y ? ( x ) 2 )

1 x

C.

y ? ? x3

D. y ? ( ) x )

1 2

4.已知在 R 上的奇函数 y ? f ( x) , 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2x , 则 f (?2) 的值为( A. 5 B. ?5 C. ?

1 5

D.

1 5


x 5.若函数 f ( x) 是 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的反函数,且 f (4) ? ?2 ,则 f ( x) 等于(

A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D. 2

x ?2

6.若 0 ? x ? y ? 1, 则下列不等关系正确的是 ( A. 0.2 x ? 0.2 y 7.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?? 1, 1? B. log x 3 ? log y 3 C. 3 y ? 3x

) D. log 4 x ? log 4 y )

?3 ? log 2 x , x ? 0
2 ? x ? x ? 1, x ? 0

,则不等式 f ( x) ? 5 的解集为( C. ?? 2, 4? ) D. ( 2, e)

B. ?? ?, ? 2?? ?0, 4?

D. ?? ?, ? 2?? ?0, 4?

8.函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? A. ( , 1)

2 的零点所在区间是( x
C. (e ? 1, 2)

1 2

B. (1, e ? 1)

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9.函数 y ?

lg x x

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

10.当生物死亡后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这 个时间称为“半衰期” .当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时,用一 般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不 到,则它经过的“半衰期”个数至少是( A.8 B.9 C.10 ) D.11

11. 设函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) , h( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,则对 在其定义域内的任意实数 x1 , x2 , 下列不等式总成立的是( ② f( )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? ③ g( 2 2
① f( A. ① ③ 12.已知函数 f ( x) ? ? B. ② ③

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 h( x1 ) ? h( x2 ) )? ④ h( 2 2
C. ① ④ D. ② ④

? ?2 ? x 2 ? ?( x ? 2)

x?2 x?2

,函数 g ( x) ? b ? f (2 ? x) ,其中 b ? R ,若函数

y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,则实数 b 的取值范围是(
A. ?

) D. ? , ? ? ?

?7 ? , 2? ?4 ?

B. ? ? ?,

? ?

7? ? 4?

C. ? 0,

? ?

7? ? 4?

?7 ?4

? ?

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在横线上. 13.若幂函数 f ( x) 的图象经过点 (8, 2) ,则 f (27) ? 14.函数 f ( x) ? . .

x2 1? x

? lg(2 x ?1) 的定义域是

15.计算 0.25?2 ? lg16 ? 2lg5 ? log2 3 ? log3 8 =

1 2



16. f ( x) 是定义在区间 ?? c, c?上的奇函数,其图象如图所示: 令 g ( x) ? af ( x) ? b ,则下列关于函数 g ( x) 的结论: ①若 a ? 0 ,则函数 g ( x) 的图象关于原点对称; ②若 a ? ?1, ? 2 ? b ? 0 ,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根; ③若 a ? 0 , b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有两个实根; ④若 a ? 1, b ? 2 ,则方程 g ( x) ? 0 有三个实根. 其中,正确的结论有___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? lg( x ? a)} , C ? {x | x2 ? bx ? 2 ? 0}, (1) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A ? C ? A, 求实数 b 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,?m, n? ? D(m ? n) ,① f ( x) 在 ?m, n? 内是单调函数; ②当定义域是 ?m, n? 时, f ( x) 的值域也是 ?m, n? . (1)判断函数 g ( x) ? x ? 2 x , x ? ?0, 1? 是否满足条件①和②,并说明理由;
2

(2)若函数 f ( x) ? 2 ?

1 1 ? 2 ( x ? 0) 满足条件①和②,求实数 a 的取值范围. a a x
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19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4x ? a ? 2x?1 ? 1 (1)若 a ? 1 , 求函数 f ( x) 的值域; (2)若函数 f ( x) 有零点, 求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 某家庭进行理财投资, 根据长期收益率市场预测, 投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万 元时,两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收 益,其最大收益是多少万元? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x?2m
2

?m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) .

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若 g ( x) ? l 求实数 a 1 ) 在区间 ? , 2? 上为增函数, og a (a ? f ( x) ? x ?1) (a ?0 且a ? ?2 ? 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(a ? 4 x ? 2 x ?1) . (1)如果 x ? (1, 2) 时,函数 f ( x) 有意义,确定实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时, f ( x) 值域为 R ,求实数 a 的值; (3)在(2)条件下, g ( x) 为定义域为 R 的奇函数,且 x ? 0 时, g ( x) ? 10
2

?1

?

f ( x)

? 1,

g 3 ( x) 对任意的 t ? ?? 1, 1?, g ( x ? tx) ? 恒成立,求实数 x 的取值范围. g ( x)
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答案 1. B 13.3. 2. B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 16. ②. 11.A 12. A

14. ? x

? 1 ? ? x ? 1? . ? 2 ?

15. 17.

12.【分析】求出函数 y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数 h(x)=f(x)+f (2﹣x) ,作出函数 h(x)集的图象,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:∵g(x)=b﹣f(2﹣x) , ∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣b+f(2﹣x) , 由 f(x)﹣b+f(2﹣x)=0,得 f(x)+f(2﹣x)=b, 设 h(x)=f(x)+f(2﹣x) ,若 x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2, 若 0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若 x>2,﹣x<﹣2,2﹣x<0, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8. 即 h(x)= ,

作出函数 h(x)的图象如图: 当 x≤0 时,h(x)=2+x+x2=(x+ )2+ ≥ , 当 x>2 时,h(x)=x2﹣5x+8=(x﹣ )2+ ≥ , 故当 b= 时,h(x)=b,有两个交点, 当 b=2 时,h(x)=b,有无数个交点, 由图象知要使函数 y=f(x)﹣g(x)恰有 4 个零点, 即 h(x)=b 恰有 4 个根, 则满足 <b<2,故选:A.
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17. (1) Q 集合A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?1, 2? , B ? ?x x ? a?, ∵ A ? B ,∴ a ? 1 (2)解: Q A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?1, 2? ,
Q A U C ? A,?C ? A ,则 C 中的元素有以下三种情况:
2 ①若 C ? ? 时,即方程 x ? bx ? 2 ? 0 无实根,?? ? b2 ? 8 ? 0, ?2 2 ? b ? 2 2

?

?

?

?

②若 C ? ?1? 或 C ? ?2? ,即方程 x ? bx ? 2 ? 0 有两个相等的实根,
2

?? ? b2 ? 8 ? 0, b ? ?2 2 ,此时 C ?

? 2? 或 C ? ?? 2? ,不符合题意,舍去。

③若 C ? ?1,2? 时,则 b ? 1 ? 2 ? 3 ,而两根之积恰好等于 2,? b ? 3 综上所述, ?2 2 ? b ? 2 2 或 b ? 3 . 18.解: (1)g(x)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1, x∈[0,1]时, g ( x) 单调递减,满足条件①; x∈[0,1]时,g(x)∈[﹣1,0],不满足条件②. (2))显然 f ( x) 在 ?0, ? ?? 为增函数,由 f(x)的定义域和值域都是[m,n] 得 f(m)=m,f(n)=n,因此 m,n 是方程 2 ?
2 2 2 2 2

1 1 ? 2 ? x 的两个不相等的正实数根, a a x

等价于方程 a x ﹣(2a +a)x+1=0 有两个不等的正实数根,

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? 2 2 2 ?? ? (2a ? a) ? 4a ? 0 ? 2a 2 ? a ? 即 ? x1 ? x2 ? ?0 2 a ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 ? a ?

解得 a> 或 a<﹣ .

19. 解; (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 ? (2 x )2 ? 2 ? 2 x ? 1 ? (2 x ?1)2 ? 0 所以函数 f ( x) 的值域为 ?0, ? ?? 。 (2)函数 f ( x) 有零点,即 f ( x) ? 4 ? a ? 2
x x ?1

4x ?1 ? 1 ? 0 , 2a ? x 2

x 设 t ? 2 ,则 t ? 0 , 2a ?

t 2 ?1 1 ? t ? ? 2, a ?1 t t

x 2 另解:设 t ? 2 ,则 t ? 0 ,函数 f ( x) 有零点 ? t ? 2a ? t ? 1 ? 0 至少有一个正实根,

?? ? 4 a 2 ? 4 ? 0 ? ① 两个正根, ? x1 ? x2 ? 2a ? 0 ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2

? a ?1

② 一正根一负根 因为 x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,所以,这种情况不存在; ③ 一正根一零根 因为 x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,所以,这种情况不存在; 综上, a ? 1 20.解(1)设 f ?x ? ? k1 x , g ?x ? ? k 2 x

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ? x )万元 依题意得: y ? f ? x ? ? g ?20 ? x ? ?

1 1 ? k1 , g ?1? ? ? k 2 8 2 1 1 x ?x ? 0? 即 f ? x ? ? x?x ? 0 ? g ? x ? ? 2 8
所以 f ?1? ?

x 1 ? 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 8 2

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令t ?

20 ? x 0 ? t ? 2 5 , 则 y ?

?

?

20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8

所以当 t ? 2 ,即 x ? 16万元时,收益最大, ymax ? 3 万元 21 解: (1)∵f(x)为偶函数,∴﹣2m +m+3 为偶数, 又 f(3)<f(5) ,∴
2 2



,即有:

<1,

∴﹣2m +m+3>0,∴﹣1<m< ,又 m∈Z,∴m=0 或 m=1. 当 m=0 时,﹣2m +m+3=3 为奇数(舍去) , 当 m=1 时,﹣2m +m+3=2 为偶数,符合题意. ∴m=1,f(x)=x
2 2 2

(2)由(1)知:g(x)=loga[af(x)﹣x-1]=loga (ax ﹣x-1) (a>0 且 a≠1)在区 间 ? , 2? 上为增函数. 2 令 u(x)=ax ﹣x-1,y=logau; ①当 a>1 时,y=logau 为增函数,只需 u(x)=ax ﹣x-1 在区间 ? , 2? 上为增函数. 2
2 2

2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

?1 1 ? ? ? 2a 2 即: ? ? a>6 ?u ( 1 ) ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? 4 2 ? 2
②当 0<a<1 时,y=logau 为减函数,只需 u(x)=ax ﹣x-1 在区间 ? , 2? 上为减函数. 2
2

?1 ?

? ?

?1 ? ?2 即: ? ? 2a ? a∈?, ? ?u (2) ? 4a ? 2 ? 1 ? 0
综上可知:a 的取值范围为: ?6, ? ?? 22.【解答】解: (1)∵f(x)=lg(a?4 +2 ﹣1) ,
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x x

∴当 x∈(1,2)时,2 ∈(2,4) ; 设 t=2 ,t∈(2,4) , ∴a?t +t﹣1>0, 设 g(s)=s ﹣s,s∈( , ) , ∴g(s)在 s∈( , )上是单调减函数,且 g( )=﹣ ∴a≥﹣ ,即 a 的取值范围是[﹣
x x 2 x 2

x

∴a>

﹣ ;



,+∞) ;

(2)令 h(x)=a?4 +2 ﹣1,由题意,h(x)的值域包含(0,+∞) ; ①a=0 时,h(x)=2 ﹣1,其值域为(﹣1,+∞) ,满足条件; ②a<0 时,h(x)=a?4 +2 ﹣1=a? (2 ) +2 ﹣1, 令 t=2 ,则 h(x)的值域是(﹣∞,﹣1﹣ 综上,a=0; (3)∵f(x)=lg(2 ﹣1) ,且 g(x)为定义域为 R 的奇函数, 当 x>0 时,g(x)=10
f(x) x x x x x 2 x x

) ,不满足条件;

+1=2 ,
﹣x

x

∴x<0 时,﹣x>0,g(﹣x)=2 ,

∴g(x)=﹣g(﹣x)=﹣2 ;

x

∴g(x)=





=g(2x) ,且 x≠0;

∴不等式 g(x +tx)≥

2

可化为 g(x +tx)≥g(2x) ;
2

2

又 g(x)是定义域上的单调增函数,∴x +tx≥2x 在 t∈[﹣1,1]时恒成立,



,解得 x<0 或 x≥3;

∴x 的取值范围是(﹣∞,0)∪[3,+∞) .
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【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的应用问题, 也考查了分类讨论与转化思想的应 用问题,是综合性题目.

试卷第10页

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