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2018-2019学年最新高中数学人教B版必修一学案:2章末复习提升

1.函数的概念与映射 函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足:①集合 A 中的 每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;②集合 A 中不同的元素,在集合 B 中 对应的象可以是同一个;③不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. 2.函数表示法 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.解析法:必须注明函数 的定义域.图象法:描点法作图时要确定函数定义域,化简函数的解析式,观察函数特征.列 表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 分段函数:由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同,故分段函数可将不同的函 数融合在同一题目中,体现知识的重组. 3.函数性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化 趋势. 4.函数最大(小)值 求函数最值问题,常利用二次函数的性质(配方法);利用图象;或利用函数单调性,如果函 数 f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在[b, c]上单调递减, 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b), 最小值为 f(a)与 f(c)中的较小者. 5.函数的零点与方程根的关系及运用 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横 坐标.所以方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 推而广之,方程 f(x)=a 的实数根?函数 y=f(x)的图象与直线 y=a 交点的横坐标.方程 f(x) =g(x)的实数根?函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的横坐标. 题型一 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化 趋势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现了“小” 、 “巧” 、 “活”的特征, 做题时应注重上述性质知识间的融合. mx2+2 5 例 1 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)= . 3 3x+n (1)求实数 m 和 n 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-2,-1]上的最值; 解 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), mx2+2 mx2+2 mx2+2 ∴ =- = . -3x+n 3x+n -3x-n 比较得 n=-n,n=0. 4m+2 5 5 又 f(2)= ,∴ = ,解得 m=2. 3 6 3 因此,实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0. 2x2+2 2x 2 (2)由(1)知 f(x)= = + . 3x 3 3x 任取 x1,x2∈[-2,-1],且 x1<x2, 1 ? 2 则 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)? ?1-x1x2? 3 x1x2-1 2 = (x1-x2)· . 3 x1x2 ∵-2≤x1<x2≤-1 时, ∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在[-2,-1]上为增函数, 4 5 因此 f(x)max=f(-1)=- ,f(x)min=f(-2)=- . 3 3 跟踪演练 1 (1)函数 y= A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1) 2 的定义域为( 1- 1-x ) B.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞) (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x ≤0 时,f(x)=________. 答案 (1)B (2)- x?x+1? 2 解析 ? ?1-x≥0, (1)要使函数有意义,则? ? ?1- 1-x≠0, 即 x≤1 且 x≠0. (2)由于当 0≤x≤1 时解析式已知, 且已知 f(x+1)=2f(x), 可设-1≤x≤0,则 0≤x+1≤1,整体代入求解. 所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1). 又因为 f(x+1)=2f(x), f?x+1? x?x+1? 所以 f(x)= =- . 2 2 题型二 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数 重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握函数的性质,有助于图象正确的画出.函数图 象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例 2 对于函数 f(x)=x2-2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值. 解 (1)函数的定义域为 R,关于原点对称, f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|. 则 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图象关于 y 轴对称. 2 2 ? ?x -2x=?x-1? -1?x≥0?, (2)f(x)=x -2|x|=? ?x2+2x=?x+1?2-1?x<0?. ? 2 画出图象如图所示, 根据图象知,函数 f(x)的最小值是-1. 单调增区间是(-1,0],[1,+∞); 减区间是(-∞,-1],(0,1). 3 1 跟踪演练 2 对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x2-4x+3 中的较大者,则 f(x) 2 2 的最小值是__________. 答案 2 3 1 解析 首先应理解题意, “函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x2-4x+3 中的较大者”是指对某 2 2 3 1 个区间而言,函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x2-4x+3 中最大的一个. 2 2 如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点 A(0,3),B(1,2),C(5,8). 从图象观察可得函数 f(x)的表达式: ? ?-x+3 ?0<x≤1?, f(x)=?3 1 x+ ?1<x≤5?, 2 2 ?

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