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2018版高中数学第二章统计2.1.3分层抽样学案


2.1.3

分层抽样

1.正确理解分层抽样的概念.(重点) 2.掌握分层抽样的一般步骤.(重点) 3.能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当正确的方法进行抽样.(难 点、易混点)

[基础·初探] 教材整理 1 分层抽样 阅读教材 P48~P49“练习”上边的内容,并完成下列问题. 1.分层抽样的概念 当总体由差异明显的几个部分组成时, 为了使样本更客观地反映总体情况, 我们常常将 总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分, 然后按各部分在总体中所占的比例 实行抽样,这种抽样方法叫分层抽样. 2.分层抽样的步骤 (1)将总体按一定标准分层; (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比; (3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量; (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).

判断正误: (1)分层抽样实际上是按比例抽样.( ) ) )

(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样.( (3)分层抽样中不能用简单随机抽样或系统抽样.( 【解析】 (1)√.由分层抽样的定义知该结论正确.

(2)×.分层抽样是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性相同. (3)×.在每层中抽样时,可能要用到简单随机抽样或系统抽样. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理 2 三种抽样方法的比较

1

阅读教材 P50“例 3”上边的内容,并完成下列问题. 类别 简单 随机 抽样 系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽到 的可能 分层 抽样 性相同 将总体平均分成几部分, 按一定的规则分别从每个 部分中抽取一个个体 将总体分成几层,按各层 个体数之比进行抽取 在起始部分抽 样时,采用简 单随机抽样 各层抽样时采 用简单随机抽 样或系统抽样 从总体中逐个抽取 共同点 特点 相互联系 适用范围 总体中的个 体个数较少

总体中的个 体个数较多 总体由差异 明显的几部 分组成

某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公 司为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调 查为①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务的 情况,记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ____________________. 【导学号:11032034】 【解析】 由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异,所以在完成①时,需用分层抽样 法.在丙地区中 20 个特大型销售点,没有显著差异,所以完成②宜采用简单随机抽样. 【答案】 分层抽样、简单随机抽样

[小组合作型] 分层抽样的概念

(1)某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人.为了解该年级学生的健康情况, 从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,合适的抽样方法是________. (2)某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽 样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________. 【精彩点拨】 (1)根据总体的特征选择抽样方法;
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(2)根据分层抽样中在每层抽取的比例相同,计算出每层抽取的个体数,然后按要求求 解. 【自主解答】 (1)由于总体由具有明显差异的两部分组成,故采取分层抽样. (2)由题意知,在每层中抽取的比例为 20 1 = ,故粮食类、植物油类、动物 40+10+30+20 5

性食品及果蔬类分别抽取 8 种,2 种,6 种,4 种.因此植物油类与果蔬类食品种数之和为 6 种. 【答案】 (1)分层抽样 (2)6

1.当总体由差异明显的几部分构成时,抽样时一般采用分层抽样的方法. 2.有关分层抽样的计算问题主要是抽样比的应用,抽样比为 p= ,其中 N 为总体中的 个体总数,n 为样本容量.如果 A、B、C 三层含有的个体数目分别是 x、y、z,在 A、B、C 三层应抽取的个体数目分别是 m、n、q,那么有 x∶y∶z=m∶n∶q.

n N

[再练一题] 1. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况检查, 甲校有学生 800 人, 乙校有学生 500 人,采用分层抽样的方法在这 1 300 名学生中抽取一个样本.已知在乙校抽取 30 人,则在 甲校应抽取学生人数为________. 【解析】 设甲校应抽取 x 人, 则 x∶30=800∶500, ∴x=48. 则在甲校应抽取学生人数为 48 人. 【答案】 48 分层抽样的一般步骤及应用 某企业共有 3 200 名职工,其中中、青、老年职工的比例为 5∶3∶2,从所有 职工中抽取一个容量为 400 的样本,应采用哪种抽样方法更合理?中、青、老年职工应分别 抽取多少人?并写出具体的抽样过程. 【精彩点拨】 分析总体特点 → 选用分层抽样 → 确定抽样比

→ 在每层中抽取,得样本 【自主解答】 由于中、青、老年职工有明显的差异,采用分层抽样更合理. 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为: 5 3 2 ×400=200, ×400=120, ×400=80, 10 10 10
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因此应抽取的中、青、老年职工分别为 200 人、120 人、80 人. 具体抽样过程如下: 400 1 第一步 确定抽样比例为 = ; 3 200 8 5 1 第二步 在中年职工中抽取 3 200× × =200 人; 10 8 3 1 在青年职工中抽取 3 200× × =120 人; 10 8 2 1 在老年职工中抽取 3 200× × =80 人; 10 8 第三步 将抽取的这 400 人合在一起,就得到所要的样本.

进行分层抽样时,应注意以下几点: (1)分层抽样中分层的原则是:层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,且互 不重叠; (2)为了保证每个个体等可能入样,所以每层应采用同一抽样比; (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.

[再练一题] 2.一个单位有职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 50 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取 100 名 职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取? 【导学号:11032035】 【解】 用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按年龄将 500 名职工分成三层:不到 35 岁的职工;35 岁至 50 岁的职工;50 岁以上的职工; 100 1 1 (2)确定每层抽取个体的个数. 抽样比为 = , 则在不到 35 岁的职工中抽取 125× = 500 5 5 25(人); 1 在 35 岁至 50 岁的职工中抽取 280× =56(人); 5 1 在 50 岁以上的职工中抽取 95× =19(人); 5 (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本; (4)综合每层抽样,组成样本. [探究共研型]
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三种抽样方法的比较 探究 1 三种抽样方法有什么联系与区别? 【提示】 ①三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的. ②三种抽样的适用范围不同, 各自的特点也不相同, 但各种方法之间又有着密切的联系, 如在系统抽样中要用到简单随机抽样,在分层抽样中要用到简单随机抽样或系统抽样等. 探究 2 三种抽样方法中抽取的样本的号码是否具有规律性? 【提示】 利用简单随机抽样抽取出的样本号码没有规律性; 利用分层抽样抽取出的样 本号码有规律性, 即在每一层抽取的号码个数 m 等于该层所含个体数目与抽样比的积, 并且 应该恰有 m 个号码在该层的号码段内; 利用系统抽样取出的样本号码也有规律性, 其号码按 从小到大的顺序排列.

在下列问题中,分别采用怎样的抽样方法较为合理? (1)从 10 台冰箱中抽取 3 台进行质量检查; (2)某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号为 1~40.有一次报告会坐满了听 众,报告会结束以后为听取意见,需留下 32 名听众进行座谈; (3)某学校有 160 名教职工,其中教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名.为了 了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本. 【精彩点拨】 根据总体中个体数的特点选择相应的抽样方法. 【自主解答】 (1)用抽签法或随机数表法. (2)用系统抽样. 将每排的 40 个人组成一组, 共 32 组, 从第 1 排至第 32 排分别为第 1~ 32 组.先在第 1 排用简单随机抽样法抽出 1 名听众,再将其他各排与此听众座位号相同的 听众全部取出. 120 (3)用分层抽样.总体容量为 160,故样本中教师人数应为 20× =15 名,行政人员 160 16 24 人数应为 20× =2 名,后勤人员人数应为 20× =3 名. 160 160

1.在解决抽样问题的综合题时,应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活选用 抽样方法. 2.由于总体的复杂性,在实际操作中,为了使样本具有代表性,通常要同时使用几种 不同抽样方法. 3.在抽样时,首先安排好抽样的顺序,看清是否存在包含关系.

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[再练一题] 3.①教育局到某学校检查工作, 打算在每个班各抽调 2 人参加座谈; ②某班期中考试有 10 人在 85 分以上,25 人在 60~84 分之间,5 人不及格,欲从中抽出 8 人参加改进教学研 讨;③某班级举行元旦晚会,要产生两名“幸运者”,则合适的抽样方法分别为 ______________. 【解析】 根据总体的特点可以分别选择系统抽样, 分层抽样和简单随机抽样抽取样本. 【答案】 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样

1.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女 生视力情况差异不大.最合理的抽样方法是________. 【解析】 结合三种抽样的特点及抽样要求求解. 由于三个学段学生的视力情况差别较 大,故需按学段分层抽样. 【答案】 分层抽样 2.某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方法从两个班 抽出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是________. 【解析】 抽样比为 7. 【答案】 9,7 3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人, 为了了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本. 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为________. 7 【解析】 青年职工、 中年职工、 老年职工三层之比为 7∶5∶3, 所以样本容量为 7÷ 15 =15. 【答案】 15 4.某高级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样 方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使 用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270; 使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段.如 果抽得号码有下列四种情况: 16 1 1 1 = ,则一班和二班分别被抽取的人数是 54× =9,42× = 54+42 6 6 6

6

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是________. (1)②③都不能为系统抽样; (2)②④都不能为分层抽样; (3)①④都可能为系统抽样; (4)①③都可能为分层抽样. 10 【解析】 如果按分层抽样时,在一年级抽取 108× =4 人,在二、三年级各抽取 270 10 81× =3 人,则在号码段 1,2,?,108 抽取 4 个号码,在号码段 109,110,?,189 抽 270 取 3 个号码,在号码段 190,191,?,270 抽取 3 个号码,①②③符合,所以①②③可能是 分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样;如果按系统抽样时,抽取出的号码应该是 “等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样,②④都不是系统抽样. 【答案】 (4) 5.某校共有教师 302 名,其中老年教师 30 名,中年教师 150 名,青年教师 122 名.为 调查他们对新课程改革的看法,从中抽取一个 60 人的样本.请写出抽样过程. 【导学号: 11032036】 【解】 (1)把 122 名青年教师编号,利用随机数表法剔除 2 个个体. 60 1 1 1 1 (2)因为 = ,30× =6,150× =30,120× =24,所以可将老年教师 30 名,中年教 300 5 5 5 5 师 150 名,青年教师 120 名编号后,运用随机数表法,分别从中抽取 6,30,24 个个体,合在 一起即为要抽取的 60 人样本.

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