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1.3等比数列的前n项和课件(北师大必修五)_图文

开始 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学点一 学点二 学点三 q?1 ?na 1 ? S n ? ? a1 (1 - q n ) a1 - anq ? 1-q ? 1-q . q ? 1 1.等比数列前n项和公式是 ? 2.教材中采用 错位相减 公式. 的方法得到等比数列的前n项和 Sn=na 3.等比数列:a,a,a,…的前n项和为 . a1 (1 - qn ) 4.等比数列前n项和公式 Sn ? 的适用条件 1- q q≠1 是 . 5.若{an}成等比数列,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n (各项不为零)也 成等比数列. 返回 返回 学点一 等比数列的前n项和 (1)在等比数列{an}中,已知a1=-3,an=-46 875,Sn=-39 063,求q和n; (2)在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,Sn=126,求n 和q. 【分析】在an,Sn公式中有5个量,“知三求二”这是基 本量的思想方法的应用. 【解析】(1)∵a1≠an,∴q≠1,由等比数列求和公 式得-39 063= 公式得-46 875=-3· (-5)n-1,解方程得n=7. - 3 ? 46 875q ,解得q=-5,又由等比数列通项 1-q 返回 (2)∵a2· an-1=a1· an,∴a1an=128. ?a 1 ? 2, ?a1a n ? 128 ? a 1 ? 64 解方程组 ? 得① ? 或② ?a ? 64. ? n ?a1 ? a n ? 66 ?a n ? 2 1 a1 (1 - qn ) 将①代入 Sn ? 1 - q ,可得q= 2 , 由an=a1qn-1可解得n=6.n a1 (1 - q ) 将②代入 Sn ? 1 - q ,可得q=2, 由an=a1qn-1可解得n=6. 【评析】解此类问题的一般思路为列方程组解出相关量, 但常运用等比数列的性质使问题由繁化简. 返回 求和:Sn=1+a+a2+…+an-1. 【解析】①当a=0时,数列1,a,a2,…不是等比数列,Sn=1; 中,而是代入公式Sn=na1中,即Sn=n. a1 (1 - qn ) ②当a=1时,尽管它是等比数列,但不能代入公式 Sn ? 1- q a1 (1 - qn ) ③最后才能直接运用公式 Sn ? 1 - q ,即当a≠0且a≠1 1 - an 时, S n ? 1 - a .另外,还应注意把结果综合在一起, 即 ?na 1 ? Sn ? ? 1 - an ? ? 1-a a ?1 a ?1 返回 学点二 灵活运用前n项和公式 已知a∈R,a非负.求1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1,…的 前n项和. 【分析】先确定通项公式,判断数列的类型,然后决定求 和的方法.找出与基本数列的联系. 返回 【解析】若a=0时,前n项和Sn=1+1+…+1=n; n (n ? 1) 若a=1时,前n项和Sn=1+2+3+…+n= ; 2 n n 1 ? (1 a ) 1 a 若a≠0且a≠1时,第n项an= , ? 1- a 1-a 1 - a 1 - a2 1 - a3 1 1 - an ∴前n项和Sn= + + +…+ = (1-a+11-a 1- a 1 a 1-a 1- a a2+1-a3+…+1-an) 1 = [n-(a+a2+…+an)]= 1-a 1 ? a(1- an)? n. ? 1- a ? 1- a ? ? 【评析】本题从解决通项公式入手,使从首项到第n项 所有各项均被化简.数列的性质、特点都明显地表露出 来,这样就便于我们用等比数列求和公式求解. 返回 已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后 面3n项的和. 【解析】 解法1:(利用等比数列的性质)由已知a1+a2+… +an=2,an+1+an+2+…+a2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n=12. 注意到(a1+a2+…+an),(an+1+an+2+…+a2n),(a2n+1+a2n+2+…+a3n), (a3n+1+a3n+2+…+a4n),…也成等比数列,其公比为qn,于是, 问题转化为已知:A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12,得q2n+qn-6=0,则qn=2或qn=-3. 故A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+qn+q2n)=2· q3n· 7=14· q3n. 当qn=2时,后面3n项的和为14· q3n=112; 当qn=-3时,后面3n项的和为14· q3n=-378. 返回 解法2:(利用求和公式)如果公比q=1,则由于 a1+a2+…+an=2,可知an+1+…+a3n=4,与已知不符, ∴q≠1.由求和公式,得Sn= 又 a1qn (1 - q 2n ) =12, 1- q a1 (1 - q n ) =2,① 1- q ② 式②除以式①得qn(1+qn)=6, ∴q2n+qn=6.∴qn=2或qn=-3, a1q 3n (1 - q 3n ) 又再后3n项的和= =S,③ 1-q 式③除以式①得 S q 3n (1 - qn ? q 2n ) ? ?S 2 1- q ∴当qn=2时,S=14×q3=112; 当qn=-3时,S=14q3n=-378. 返回 学点三 由错位相减法求和 1 3 5 7 试求 , , , ,? 的前n项和. 2 4 8 16 【分析】由错位相减法求和. 1 3 5 7 2n ? 1 【解析】∵Sn= 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2n 1 3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? = , ① 2 2 2 2 3 24 2n 3 5 7 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2Sn= , ②

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