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两条直线的位置关系

高三数学一轮复习 第十一章解析几何 第二节
编制人: 胡国栋 一.考纲要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离. 二.考点 1.两直线的位置关系 2.距离。 3.对称问题。 三、自主学习:复习必修二第二章解析几何完成下列问题 知识梳理 1.两条直线的位置关系 (1)已知直线的斜截式方程: l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 则 l1∥l2?_______________; l1⊥l2?_________; l1 与 l2 相交?_____. (2)已知直线的一般式方程: l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 则 l1⊥l2?______________; l1∥l2?______________________; l1 与 l2 相交?__________. 当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直 特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行. (3)与直线 l:Ax+By+C=0 平行的直线系方程可设为:______________;与其垂直的直线 系方程可设为____ _________;过两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交 点的直线系方程可设为:___________________ ____________________ (不含 l2). 2.点到直线的距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离为 d=――――――――。 (2)点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=_______________ (3)两平行线 Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 的距离为 d=______________ 3.有关直线的对称问题 (1)中心对称:

两条直线的位置关系

校对人:白映晖 张华伟 使用时间:2012.11.22-11.26 领导签字

?x=2a-x1, ? ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于点 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得? ? ?y=2b-y1.

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关 于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2, 由点斜式得到所求直线方程. (2)轴对称: ①点关于直线的对称: 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在对称 轴 l 上,而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l,

?A?x +x ?+B?y +y ?+C=0, ?? 2 ? ? 2 ? 由方程组? y -y ? A ?x -x ·-B?=-1, ? ? ?
1 2 1 2 2 2 1 1

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 B≠0, ②直线关于直线的对称: 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交; 二是已知直线与对称轴平行. 基础自测 1.过点 A(4,a)和 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( ) A.6 B. 2 C.2 D.不能确定

2 直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 3.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0 相交于同一点,则点(m,n)可能是( A.(1,-3) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-1,3) 4.已知点(m,1)(m>0)到直线 l:x-y+2=0 的距离为 1,则实数 m 的值为( )
A. 2 C. 2-1 B.2- 2 D. 2+1

)

5.点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( ) A.(-a-1,-b-1) B.(-b-1,-a-1) C.(-a,-b) D.(-b,-a) 6.已知直线 l 与两直线 l:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1=0 的距离相等,则 l 的方程为 __________. 四.典例分析 题型一 两条直线的平行与垂直 例1 已知两条直线 l1:x+ysinθ -1=0 和 l2:2xsinθ +y+1=0,试求θ 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.

【即时巩固 1】 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0. (1)若 l1 与 l2 相交于点 P(m,-1),求 m 与 n 的值; (2)若 l1∥l2,求 m 与 n 的值; (3)若 l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1,求 m 与 n 的值.

题型二 两条直线的交点问题 例 2(2010· 株洲调研)求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直 线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程.

题型三 距离公式的应用 例 3 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

【即时巩固 3】

已知点 P(-1,3)和直线 l:y=k(x-2). 9 5 (1)若 P 点到直线 l 的距离等于 , 求直线 l 的方程. 5

(2)求过 P 点到直线 l 的距离的最大值是多少?并求出此时直线 l 的方程.

题型四

对称问题及其应用

例 4 (1)已知直线 l:x+2y-2=0. ①求直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; ②求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程. (2)光线由 A(-5, 3)点入射到 x 轴上 B(-2,0)点,又反射到 y M 点,再经 y 轴反射,求第二次反射线所在直线 l 的方程.

(3)已知点 P(2,4)、Q(3,1),直线 l:x-y+1=0. ①在 l 上求一点 M,使|PM|+|QM|最小,并求出最小值; ②在 l 上求一点 N,使|QN|-|PN|最大,并求出最大值.

【即时巩固 4】 直线 x-y+1=0 关于直线 2x-y=0 对称的直线是 ( ) A.x-y-1=0 B.2x-4y+5=0 C.7x-y-5=0 D.7x-5y+3=0 五.随堂反馈 1.(2011· 广东江门)若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y+6=0 的图像是两条平行直 线,则 m 的值是( ) A.m=1 或 m=-2 B.m=1 C.m=-2 D.m 的值不存在 3 2.设两直线 l1:x+y 1-cosα+b=0,l2:xsinα+y 1+cosα-a=0,α∈?π,2π?,直线 l1 ? ? 和 l2 的位置关系是( )

A.平行 B.平行或重合 C.垂直 D.相交但不一定垂直 3.(2010· 北京西城区模拟)若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则 实数 k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 4.直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( ) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 5.(2010·安徽)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 6.(2009·安徽)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 7.一束光线从点 P(0,1)出发,射到 x 轴上一点 A,经 x 轴反射,反射光线过点 Q(2,3),则点 A 的坐标为__________. 8.点 P(4cosθ ,3sinθ )到直线 x+y-6=0 的距离的最小值等于__________. 9.已知 x+y+a=0 与 x+y=0 的距离为 2,则 a=__________. 10.(2011· 烟台模拟)已知 x+y+1=0,则 ?x-1?2+?y-1?2的最小值为____________. 11(2011·浙江)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m= .


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