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函数y=Asin(ωx+φ)的图象导学案[1]


函数
学习目标

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象导学案
高一数学导学案

1. 通过探究理解参数 ? , ? , A 对

y ? A sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, A ? 0 )的图象的影响。

2. 会用两种方法叙述由 y ? sin x 到 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象的变换过程. 会用 “五 点法”画出 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的简图; 3. 温故知新,认真思考,通过课件的演示达到直观感知、探究学习的目的,领会由简单 到复杂、特殊到一般的化归思想 学习过程 一、课前准备: (预习教材,找出疑惑之处,标注在学案或书上) 复习 1:回顾五点作图法作正弦函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?、余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 图像的方法 复习 2: y=f(x) ?y=f(x+a) 左右平移变换: a>0,向 y=f(x) ?y=f(x)+k 上下平移变换: k<0,向 思考:对函数

平移 a 个单位;a<0,向 平移|k|个单位; k>0,向

平移|a|个单位 平移 k 个单位

y ? A sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, A ? 0 ) ,你认为怎样讨论参数 ? , ? , A 对函数

图象的影响? 二、新课导学: 探究 1:探究 ? 对 y ? sin(x ? ? ) , x ? R 的图像的影响 (函数图象的左右平移变换) 。 新知:函数 y ? sin( x ? ? ) (其中? ? 0) 的图像,可以看作将函数 y ? sin x 的图像上所有 的点 (当 ? ? 0 )或 (当 ? ? 0 )平移 个单位长度而得到。

探究 2:探究 ? (? ? 0) 对 y ? sin(?x ? ? ) 的图像影响 (函数图象横向伸缩变换——周期变换) 。 新知:一般地,函数 y ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的图象可以看作将函数 y ? sin( x ? ? ) 的 图象上所有的点的横坐标 (纵坐标不变)而得到。 ( )或 ( )到原来的 倍

探究 3:探究 A( A ? 0 )对 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像的影响 (函数图象的纵向伸缩变换----振幅变换) 。
1

新 知 : 一 般 地 , 函 数 y ? Asin(? x ? ? ) ( ? ? 0, A ? 0 ) 的 图 象 可 以 看 作 将 函 数

y ? sin(? x ? ? ) 的图象上所有点的纵坐标
到原来的 倍(横坐标不变)而得到。



)或





探究 4:如何由 y ? sin x 图像通过图像变换得到 y=Asin(wx+ ? )的图象? 方法 1: y ? sin x

y ? sin( x ? ? ) y ? sin(? x ? ? ) y ? Asin(? x ? ? )

y ? sin( x ? ? ) y ? sin(? x ? ? )

反思: 由 y ? sin x 图像得到 y=Asin(wx+ ? )的图象需经历三步变换, 要考虑变换顺序。 方法 2: y ? sin x

y ? sin ? x y ? sin(? x ? ? ) y ? Asin(? x ? ? )
1 3

y ? sin ? x y ? sin(? x ? ? )
探究 5.新知应用 Xkb1.com

( x? 例. (1)利用图像变换法叙述如何由 y ? sin x 图像得到 y ? 2sin
方法 1:

?
6

) 的图像?

方法 2:

( x? (2)利用五点作图法画出 y ? 2sin

1 3

?
6

) 的简图?

三、总结提升: 平移变换 y ? sin(x ? ? ) 1、函数 y ? sin x 的图象 振幅变换 y ? A sin x 周期变换 y ? sin?x 2、 y ? sin x 到 y ? A sin(? x ? ? ) 的变换流程图.
2

y ? A sin( ?x ? ? )

四.课堂检测 1. 要得到函数 y ? 2sin x 的图象,只需将 y ? sin x 图象( A.横坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 )

B. 纵坐标扩大原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 )

2. 要得到函数 y ? sin 3x 的图象,只需将 y ? sin x 图象( A.横坐标扩大原来的 3 倍 C.横坐标缩小原来的 3. 要得到函数 y ? sin( x ? A. 向左平移

B.横坐标扩大到原来的 3 倍 D.横坐标缩小到原来的

1 倍 3

?

1 倍 3


? 个单位 6 ? C. 向左平移 个单位 3
4. 要得到函数 y ? sin(2 x ? A. 向左平移

3

) 的图象,只需将 y ? sin x 图象(

?
3

? 个单位 6 ? D. 向右平移 个单位 3
B. 向右平移

) 的图象,只需将 y ? sin 2 x 图象(



? ? 个单位 B. 向右平移 个单位 3 3 ? ? C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 6 6 1 1 5.将函数 y ? 2 sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 ,得到新的 2 2
函数图象,那么这个新函数的解析式是 。 答案:

y ? sin x

(2 x ? 6.如何将正弦函数 y ? sin x 的图象变为 y ? sin
五.课后作业 1、把函数 f ( x ) ?

?
4

) 的图象

1 sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,而横坐标 不变, 3
( ) D、 sin x

可得 g ( x) 的图象,则 g ( x) ? A、

1 sin x 9

B、 sin

1 3

x 3

C、 sin 3 x

1 3

x 2、将函数 y ? 2 sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到新的 2

函数图象,那么新函数的解析式为





3

A、 y ? 4 sin

? 个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标 3 1 ? 扩 大到原来的 4 倍,则所 得的图象 的解析式 是( ) . A. y ? 4sin( x ? ) 2 3 ? 1 ? ? B. y ? 4sin(2 x ? ) C. y ? 4sin( x ? ) D. y ? 4sin(2 x ? ) 3 2 3 3
3.把 y ? sin x 的图象上各点向右平移 4.下列命题正确的是( ).

x 2

B、 y ? sin

x 2

C、 y ? 2 sin

x 4

D、 y ? sin 2 x

A. y ? cosx的图象向左平移 B. y ? sinx 的图象向右平移

? 得 y ? sinx 的图象 2
?
2 得y ? cosx 的图象

C. 当 ? <0 时, y ? sinx 向左平移 ? 个单位可得 y ? sin(x? ? ) 的图象

? ? D. y ? sin(2x ? )的图象由y ? sin2x 的图象向左平移 个单位得到 3 3
5.函数 y ? 3sin(2x ? 正确的是( A.向右平移 ).

?
4

) 图象可看作是函数 y ? 3sin2x 图象,经过如下平移得到的,其中

? 4
5? 6

B.向左平移

? 4
5? 6

C.向右平移

? 8
? 12

D.向左平移

(2 x ? 6.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos
A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移

?
3

? 8


) 的图象(

D. 向右平移

? 个单位,再把横坐标伸长到原来 2 倍, 6 2 1 ? 再把纵坐标缩短到原来的 倍,所得到图象的解析式是 y ? 2sin( x ? ) ,则 f ( x ) 的解 3 2 3
7.把函数 y ? f ( x) 的图象上的各点向右平移 析式为 。

? 12

8、 用 “五点法” 列表作出函数 y ? 2sin(2x-

?
4

) 的图象, 并分析它与 y ? sin x 的变换关系.

4

情境设置:简谐运动中单摆对平衡位置的位移 y 随时间 x 的变化关系为 函数 y ? Asin(? x ? ? ),x ?[0, ??)(其中A ? 0, ? ? 0) , 物理中, 描述简谐运动的物理量, 如振幅、周期、频率、相位、初相,你知道它们与 A, ω ,φ 的关系吗? 新知:A 就是这个简谐运动的 这个简谐运动的 是 T= 谐运动的 由公式 f = = ,它是做简谐运动物体离开 的 ; ,这是做简谐运动物体往返运动一次所需的时间; 这个简 给出, 它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的 。

次数; ?x ? ? : 称为

. x ? 0 时的相位 ? 称为

例 1:图示是某简谐运动的图象, (1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? (2) 从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3) 求这个简谐运动的函数表达式.

y/cm 2A 0.4 O B C 0.8
D

E 1.2 F x/s

例 2.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 的 图象如图所示,求这个函数的解析 式。 例 3 . 若 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R
(其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的

图象与 x 轴的交点中相邻两个交点 之间的距离为

? ? 2? ? ,且图象上一个最低点为 ? , ?2 ? 2 ? 3 ?
?? ? ? 时求 f ( x ) 的值域。 , ?12 2 ? ?
5

(1)求这个函数的解析式 (2)当 x ? ?

小结: 1、A 由图像中的振幅确定; ? 由图像的周期确定;求 ? 常用两种方法(平移法、代点法) 2、 相位变换:φ >0 移;φ <0 右 周期变换: ω >1, 横坐标 振幅变换:A>1,纵坐标 3、求三角函数解析式的方法。 课后作业: 1、 函数 y ? ; 倍; 0< ω <1, 横坐标 倍;0<A<1,纵坐标 倍; 倍

1 ? sin( 3 x ? ) 的定义域是 5 3
k∈Z;周期 .

; 最小值是

, 相应 x 集合为 ;

; k∈Z;

单调递减区间是 对称中心: 相位 ;初相

;图象对称轴方程: ;振幅 ;频率

?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量,其中振幅是 2、函数 S ? A sin(

1 3 ,频率是 ,初相是 2 2?

? ,则这个函数为 6



3、用五点作图法作出函数 y ? 3 sin( 2 x ? 样的变换得到的。

?
3

) 的简图,并说明它是通过 y=sinx 的图象作怎

4、如图:函数 y=Asin(ω x+ ? ) ? A ? 0, ? ? 0? 其中| ? |<

? 的图象,求函数解析式: 2

5、已知函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0,0< ? <2π )图象的一个最高点(2, 3 ), 由这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于点(6,0),试求函数的解析式
王新敞
奎屯 新疆

6


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