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2013届高考数学一轮复习讲义第四章 4.3 三角函数的图象与性质


一轮复习讲义

三角函数的图象与性质

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要点梳理

忆一忆知识要点

1. “五点法”作图原理 在确定正弦函数y=sinx在[0, 2π]上的图象形状时, (π ,1) , _______, (0, 0) ( , 0) π 起关键作用的五个点是 _______ , _______ 2
π ( 3 , ?1) , _______ 2
y o
π
? 2π x
?3 2
?? 2

(2 , 0) π _________.
y

π

o

? 2

3? 2

x

在确定余弦函数y=cosx在[0, 2π]上的图象形状时, (π , 0) , _______, ( , ?1) π 起关键作用的五个点是 _______ , _______ (0,1) 2
π ( 3 , 0) , _______ 2

(2 ,1) π _________.
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要点梳理

忆一忆知识要点

2.三角函数的图象和性质 y=sin x 定义域 y=cos x y=tan x
π {x|x≠kπ+ , 2 k∈Z}

R

R

图象

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要点梳理
值域 对称 性 周期

忆一忆知识要点

[-1,1]
π x=kπ+ 对称轴: 2

[-1,1]

R
?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

x=kπ(k∈Z); 对称中心: 对称轴:

π (k∈Z) ;对称中心: 对称中心: (kπ+ , 2 (kπ,0)(k∈Z) 0) (k∈Z)
2π 2π

π

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要点梳理
单调增区间

忆一忆知识要点

π [2kπ- ,2kπ 2

单调性

π + ](k∈Z) 2 单调减区间 π [2kπ+ ,2kπ 2 3π + ] (k∈Z) 2

单调增区间 π -π,2kπ] (k∈Z); (kπ- ,kπ 2 单调减区间[2kπ, π + )(k∈Z) 2 2kπ+π](k∈Z)

单调增区间 [2kπ

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期, 把所 有周期中存在的最小正数, 叫做最小正周期(函数的周期一般 指最小正周期). 函数 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(ω>0 2π 且为常数)的周期 T= ω ,函数 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期 π T=ω.

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[难点正本

疑点清源]

1.关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒 有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫做 y=sin x,y =cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的下确界. 在解含有正、余弦函数的问题时,要注意深入挖掘正、余 弦函数的有界性.

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2.对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范 围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的 常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪 怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期. (2)从周期函数的定义,对于条件等式“f(x+T)=f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后,函数值不变;从图象 的角度看就是, 每相隔距离 T 图象重复出现. 因此对于 f(ωx +φ+T)=f(ωx+φ) (ω>0),常数 T 不能说是函数 f(ωx+φ) ? ? ? T? 的周期.因为 f(ωx+φ)=f?ω?x+ω?+φ?,即自变量由 x 增 ? ? ? ? T T 加到 x+ω,也就是ω才是函数的周期. 主页

与三角函数有关的函数 定义域问题
例 1 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x);(2)y= sin x-cos x.

本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零,然后利用 弦函数的图象求解;(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于 零,然后利用函数的图象或三角函数线求解.
解 (1)要使函数有意义,必须使 sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1.

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方法一

π π 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|- +2kπ<x< 2 2

+2kπ,k∈Z}.
方法二 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0<OM≤1,

∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 ? ? π π ? ? ?x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z?. 2 2 ? ? ? ?
(2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.

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方法一

利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y

=cos x 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余 4 4 弦函数的周期是 2π, ? π ? 5π ? ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. 所以定义域为 4 4 ? ? ? ?

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方法二

利用三角函数线,如图 MN 为正弦线,OM 为余弦线,

要使 sin x≥cos x,即 MN≥OM, π 5π 则 ≤x≤ (在[0,2π]内). 4 4 ∴定义域为 ? π ? 5π ? ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. 4 ? ? ? 4 ?
方法三 sin x-cos x=
? π? 2sin?x-4 ?≥0, ? ?

π 将 x- 视为一个整体,由正弦函数 y=sin x 的图象和性质可知 4 π 2kπ≤x- ≤π+2kπ,k∈Z, 4 π 5π 解得 2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 ? 4 ? π 5π ? ? 所以定义域为?x|2kπ+ 4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z?. ? ? ? ?

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探究提高
(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使解析 式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角 函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.

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变式训练 1
lg?2sin x-1?+ -tan x-1 (1)求函数 y= 的定义域; ?x π? cos?2+8 ? ? ? (2)求函数 y=
2 ? log
1 2

x + tan x的定义域.



(1)要使函数有意义, 1 ? ?sin x>2, ? ??tan x≤-1, ?x π π ? + ≠kπ+ . 2 ?2 8

?2sin x-1>0, ? ?-tan x-1≥0, 则? ? ?x π? ?cos?2+8 ?≠0 ? ? ?

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图①
π 5π ? ?2kπ+ <x<2kπ+ , 6 6 ? ? π 3π ?kπ+ <x≤kπ+ , 如图①利用单位圆得: 2 4 ? ? 3π ?x≠2kπ+ 4 ?k∈Z?. ? π 3π ∴函数的定义域为{x|2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z}. 2 4

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(2)要使函数有意义 ?2+log 1 x≥0, ? 2 ?x>0, 则?tan x≥0, ? ?x≠kπ+π,k∈Z 2 ? 利用数轴可得图② ?0<x≤4, ? ?? π ?kπ≤x<kπ+2 ?k∈Z?. ?

图②
π ∴函数的定义域是{x|0<x< 或 π≤x≤4}. 2

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三角函数的单调性与周 期性
例 2 写出下列函数的单调区间及周期: ? π? (1)y=sin?-2x+3 ?;(2)y=|tan x|. ? ?

(1)化为

? π? y=-sin?2x-3 ?,再求单调区间及周期.(2)由 ? ?

y=tan x

的图象→y=|tan x|的图象→求单调性及周期.

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? π? 解 (1)y=-sin?2x-3 ?, ? ? ? π? 它的增区间是 y=sin?2x-3 ?的减区间, ? ? ? π? 它的减区间是 y=sin?2x-3 ?的增区间. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12

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2π =π. 2 ? π? (2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+2 ?,k∈Z,减 最小正周期 T=
? ? ? ? π 区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z.最小正周期:T=π. ? ?

? π 5π? 故所给函数的减区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z; ? ? ? 5π 11π? 增区间为?kπ+12 ,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ?

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探究提高
(1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) (其中 A≠0, ω>0) 的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答.列不等 式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反).

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探究提高
π (2)对于 y=Atan(ωx+φ) (A、ω、φ 为常数),其周期 T= ,单调 |ω| ? π π? 区间利用 ωx+φ∈?kπ-2 ,kπ+2 ?,解出 x 的取值范围,即为其单 ? ? 调区间.对于复合函数 y=f(v),v=φ(x),其单调性判定方法是: 若 y=f(v)和 v=φ(x)同为增(减)函数时,y=f(φ(x))为增函数;若 y =f(v)和 v=φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函数. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象, 结合图象判定.

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变式训练 2
(1)求函数 最小值; (2)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos
? π? xsin?x+6 ?-1. ? ? ?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6 ?的周期、单调区间及最大、 ? ? ? ?

①求 f(x)的最小正周期; ? π π? ②求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ?π ? ?π ? π 解 (1)∵?3+4x?+?6-4x?= , ? ? ? ? 2 ? ?π ? π? ∴cos?4x-6 ?=cos?6-4x? ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? ? ? =cos?2-?3+4x??=sin?3+4x?. ? ?? ? ? ? ? π? 2π π ∴y=2sin?4x+3?,周期 T= = . 4 2 ? ? 主页

π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 3 2 ? 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). ? ?
π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2 ?π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). ? ? π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2

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? π? (2)①因为 f(x)=4cos xsin?x+6 ?-1 ? ? ? 3 ? 1 ? =4cos x? sin x+ cos x?-1 ? 2 ? 2 ?

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x ? π? =2sin?2x+6 ?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π ②因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

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三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ? π? ?|φ|≤ ?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. 2? ? ?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称, ? ? 那么|φ|的最小值为________. ? π? (1)f(x)=2sin?x+ 3?, ? ? ? ? π y=f(x+φ)=2sin?x+3+φ?图象关于 x=0 对称, ? ?
即 f(x+φ)为偶函数. π π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6 主页

? ? ?2π ? 4π (2)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0, ? ?

2π π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ- ,k∈Z, 3 2 6 π 取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6
答案 π (1) 6 π (2) 6

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探究提高
若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大 或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z) 即可.

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变式训练 3
(1)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是 x= 5π ,则函数 g(x)=asin x+cos x 的最大值是________. 3 (2)若函数 f(x)=asin ωx+bcos ωx (0<ω<5, ab≠0)的图象的一条 π 对称轴方程是 x= ,函数 f′(x)的图象的一个对称中心是 4ω ?π ? ? ,0?,则 f(x)的最小正周期是________. ?8 ? ?10π? 3 a ? ?,∴a=- (1)由题意得 f(0)=f 3 - . 2 2 ? ? 3 3 2 3 ? 2π? ∴a=- ,g(x)=- sin x+cos x= sin?x+ 3 ?, 3 3 3 ? ? 2 3 ∴g(x)max= . 3

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(2)由题设,有

? π ? f?4ω?=± ? ?

a2+b2,

2 即 (a+b)=± a2+b2,由此得到 a=b. 2 ?π? ? ωπ ωπ? 又 f′?8 ?=0,所以 aω?cos 8 -sin 8 ?=0, ? ? ? ? ωπ ωπ π 从而 tan =1, =kπ+ ,k∈Z, 8 8 4
即 ω=8k+2,k∈Z,而 0<ω<5,所以 ω=2, ? π? 于是 f(x)=a(sin 2x+cos 2x)= 2asin?2x+4 ?, ? ? 故 f(x)的最小正周期是 π.
答案 2 3 (1) 3 (2)π

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思想与方法
分类讨论及方程思想在三角函数中的应用
(14 分)已知函数
? π? f(x)=2asin?2x-3 ?+b ? ? ? π? 的定义域为?0,2 ?,函数 ? ?

的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

审题视角
? π? π ①求出 2x- 的范围,求出 sin?2x-3?的值域.②系数 a 的正、 3 ? ?

负影响着 f(x)的值,因而要分 a>0,a<0 两类讨论.③根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值,列方程组求解.

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规范解答 π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3 ? π? 3 ∴- ≤sin?2x-3 ?≤1, 2 ? ?

?2a+b=1 ? a>0,则? ?- 3a+b=-5 ?

[4 分]

, [8 分]

?a=12-6 3 ? 解得? ?b=-23+12 ?

3


?a=-12+6 3 ? ,解得? ?b=19-12 3 ?



?2a+b=-5 ? a<0,则? ?- 3a+b=1 ?

.

[12 分]

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3, b=19-12 3. [14 分]

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批阅笔记

(1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或 单调性求出 y=Aasin(ωx+φ)或 y=Aacos(ωx+φ)的最值,但要注 意对 a 的正负进行讨论,以便确定是最大值或是最小值.(2)再由 已知列方程求解. (3)本题的易错点恰是考生忽视对参数 a>0 或 a<0 的分类讨论,导致漏解.

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方法与技巧
1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1),求三角 函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3. 利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号).

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失误与防范
1. 闭区间上最值或值域问题, 首先要在定义域基础上分析单调 性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y= Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区 间,求出 x 所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域 内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同: ? ?π ? π? (1)y=sin?2x-4 ?;(2)y=sin?4 -2x?. ? ? ? ? 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y =sin2x-4sin x+5, t=sin x(|t|≤1), y=(t-2)2+1≥1, 令 则 解法错误.

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例1. 求函数y ? 1 ? 2 sin 2 x 的定义域、值域.
2 解:由 1 ? 2 sin 2 x ≥ 0, 得 sin 2 x ≤ , 2 得2k ? 3 ≤ 2 x ≤ 2k ? 9 , k ? Z, π π π π 4 4 3 ≤ x≤k ? 9 , π π ?k ? π π 8 8 故定义域为 { x k ? 3 ≤ x ≤ k ? 9 , k ? Z}. |π π π π 8 8

?0 ≤1 ?

2 sin 2 x ≤ 1 ?

2,
2,

此时, 0 ≤ 1 ?

2 sin 2 x ≤ 1 ?

故值域为[0, 1 ?

2 ].
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【1】已知y=a-bcos3x的最大值为3/2,最小 值为1/2, 求实数a与b的值.
3 ? ?a ? b ? 2 ? 解:当b>0时,有 ? ?a ? b ? 1 ? ? 2

解得

?a ? 1 ? ? 1 ?b ? ? 2

当b<0时,

3 ? ?a ? b ? 2 有? ? ?a ? b ? 1 ? ? 2

解得

?a ? 1 ? ? 1 ?b ? ? ? 2

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【2】已知a=tan1, b=tan2, c=tan3, 则a、 b、c的大小关系是
b<c<a

.

y

?

3? 2

??

?

?
2

o

? 2

?

3? 2

x

【3】若 tan x ≥ 3 , 则 x 的范围是
π , kπ ? π ), k ? Z [kπ ? _______________________. 3 2
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【4】关于x的方程cos2x+sinx-a=0有实数 解,则实数a的最小值是 -1 .

a ? ? sin x ? sin x ? 1
2

已知函数f ( x ) ? 2cos( k x ? π )的最小正周期不 【5】 4 3 13 大于2, 则正整数k的最小值为 __________ .

2 ? ?(sin x ? 1 ) ? 5 . 2 4

T ? 2π ≤ 2 k 4

? 8π ≤ 2 k
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? k ≥ 4π.

【6】求函数y=7-8cosx-2sin2x 的最大值 为___, 最小值是_____. -1 15
解 : y ? 7 ? 8 cos x ? 2 sin x
2

? 7 ? 8 cos x ? 2(1 ? cos x ) 2 ? 2 cos x ? 8 cos x ? 5
2

? 2(cos x ? 2) ? 3. y m ax ? 15; 当 cos x ? ? 1时 ,
2

当 cos x ? 1时 ,

y m in ? ? 1.

【7】函数y=tan2x-2tanx+3的最小值是 2 .
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【8】

如果函数y ? sin 2 x ? a cos 2 x的图象关于

直线x ? ?π 对称那么a等于 8

-1

.
2

思路:函数y=sin2x+acos2x可化为 y ? 1 ? a sin(2 x ? ? ) 要使它的图象关于直线x=-π/8对称,则图象在该 处必是处于波峰或波谷.即函数在 x=-π/8时取得最大、 小值.
2 解 :由| 2 ? ( ?π ) ? a cos 2 ? ( ?π| 1 ? a sin ) ? 8 8

解得a ? ?1.
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【例2】已知函数

f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3 . 2

(1)求 f(x)的单调增区间

(2)求 f(x)图象的对称中心;
(3)求 f(x)在
[0, ? ] 2

上的最大值和最小值 .

(4)在给定的坐标系中作出函数 f(x)在[0, π] 上的图象 .

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5 3 解 : (1) f ( x ) ? 5 sin 2 x ? 5 3 ? 1 ? cos 2 x ? 2 2 2 5 3 ? 5 sin 2 x ? cos 2 x ? 5 sin(2 x ? π ). 2 2 3

解 - π ? 2 kπ ≤ 2 x ? π ≤ π ? 2 kπ , k ? Z, 2 3 2 π 得 - π ? kπ ≤ x ≤ 5 ? kπ , k ? Z, 12 12 5 π π 所以 f(x)的单调增区间是 [- 12 ? kπ, 12 ? kπ] , k ? Z.

(2) 解 5 sin(2 x ? π ) ? 0, 得 2 x ? π ? k ? , k ? Z,? x ? kπ ? π , k ? Z. 3 3 2 6 π 故 f(x) 图象的对称中心是 ( k2 ?π , 0) , k ? Z. 6

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(3) 由已知得
?当 2x ? π 3 ?

2x ? π ? 3

?? π , 2π ? , ? 3 3 ? ? ?

π 2

, 即 x=

5 π 12

时,

f ( x ) m ax ? 5.

当 2x ?

π 3

??

π 3

, 即 x = 0时 ,

f ( x ) m in ? ? 5 3 .
2

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解:(4) ? f ( x ) ? 5 sin(2 x ? ? ), 列表如下:
3 2 x ?π 3
x

?π 3

0
π 6

π 2 5π 12

π
2π 3

3π 2 11 π 12

5π 3

0

π

f ( x)

?

5 3 2

0

5

0

?5

?

5 3 2

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y
5

3
1

o
?1

?
6

5? 12

2? 3

11? 12

?

x

?3 ?5
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考点二 【1】函 数 y ? (sin x ? 2)(cos x ? 2), x ? [0, 2? ]
9?2 2 的最大值是___________, 2 9?2 2 的最小值是___________. 2

解 :方法一

设 t ? sin x ? cos x ?

2 s in ( x ? ? ), 4

t ? [ ? 2 , 2 ],
2 则 y ? 1 t ? 2 t ? 7 ? 1 ( t ? 2)2 ? 3 . 2 2 2 2

当t?

2 时,

y m in ? 9 ? 2 2 ; 2

y m ax ? 9 ? 2 2 . 当 t ? ? 2 时, 2
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方法二

? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x ? 2 cos x y

? (sin x ? cos x ? 2)(cos x ? sin x )
π 令 y ? ? 0, 则 x ? π , 5 . 4 4

当 x ? 0, 2 时 , y ? 2; π
9 ? 2 2; π 时, y ? 当 x? m in 2 4 5 时 , y m ax ? 9 ? 2 2 . 当 x? π 2 4

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方法三

π ) ? 2]2 ? 3 . ? [sin( x ? 4 2 当 sin( x ? π ) ? 1, 即 x ? π 时 , ymin ? 9 ? 2 2; 4 2 4 π 当 sin( x ? π ) ? ? 1, 即 x ? 5 时 ymax ? 9 ? 2 2. 4 2 4

y ? 1 sin 2 x ? 2 2 sin( x ? π ) ? 4 2 4 ? ? 1 cos(2 x ? π ) ? 2 2 sin( x ? π ) ? 4 2 2 4 2 ? ? 1 [1 ? 2 sin ( x ? π )] ? 2 2 sin( x ? π ) ? 4 2 4 4 2 ? sin ( x ? π ) ? 2 2 sin( x ? π ) ? 7 4 4 2

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3k ? 1 π, 3 ),k ? Z. ( 是_____________________. 2 2
2x x? 解:由 sin(2 xx2? ?? ))π?) 0 ,, 解:由 sin( ? 解:由sin( 2 ?? 3) 3?0? , sin( 3 00 解:由 3 3 3 ? ,

【2】函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 3

3 . 图象的对称中心 2

3 2 x2 x ? π3 2x ? π ? k ? ( k ? Z ) 得 , x ? k3?31?1 ? , k ? Z . x ? 3k k ? 1 k?1 即即 ? ? ? ??k( k( k ? Z 得 , x x ? , ,k k . . ?Z 即 23 ? 3 ? kk ( kπ? ? ) 得),得? 3 2 π , ? π ,?kZ ? Z . ZZ) x ? 即 3 3 33 π 2 3 3 2 2 3 k 3? 1? 1 k 3 k ? 1? , k ? Z . 3 即对称中心的横坐标为 k ? 1 π ,? , k ? Z .. k. 即对称中心的横坐标为 即对称中心的横坐标为 2 ? , k ? Z ? Z 即对称中心的横坐标为 22 2 3 k 3? 1?π, 33 ) 3 k ? Z . 其对称中心为((( 3( ?? 1 ? ,? , 3 ,),, )k, ? ? ? .Z . k. 其对称中心为kk2 k ? ,1 2 ) k ZZ 其对称中心为 其对称中心为 3 12 22 22 2
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【3】

①③
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? f ( x ),

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走进高考
(2011·山东)若函数 f ( x ) ? sin ? x (ω>0)在区 间 [0, ? ] 上单调递增, 在区间 [ π , π ] 上单调递减, 则 3 2 3 3

? ?

2 .

2π ? π ? 4 ?? ? 3 ? 3 2

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走进高考

【解析 2】由题意可知当 x ? π 时,函数3 3 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0) 取得最大值, f ( x ) ? sin ? x (? ? 0) 取得最大值, π ? ? 2 kπ ? π ( k ? Z ) 3 2

? 时, 【解析 2】 由题意可知当 x ? 函数

3 (k ? Z ) ? ? ? 6k ? 2
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走进高考
【解析 3】 由题意可知当 x ? π 时, 函数 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0) 取 3 得极大值,则 f ?( π ) ? 0 , 3

?即 ?(cos ? ? ? 0 ,即 ? ? f ? x ) ? ? cos ? x ,
3 3

? f ?( π ) ? ? cos π ? ? 0 ? π ? ? k π ? π ( k ? Z ) 项即可得答案应选 C. 3 3 3 2

? k ? ? ? ( k ? Z ) ,结合选择 2

? ? ? 3k ? 3 ( k ? Z ) 2
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聪 明 在 于 勤 奋 ,
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天 才 在 于 积 累华 。罗 庚

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