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高中数学选修1-1(人教a版)练习:第二章圆锥曲线与方程 2.1-2.1.1椭圆及其标准方程 含解析

第二章 2.1 2.1.1 圆锥曲线与方程 椭圆 椭圆及其标准方程 A级 基础巩固 一、选择题 4 1.设定点 F1(0,-2),F2(0,2),动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=m+ (m m >2),则点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.不存在 ) B.线段 D.椭圆或线段 4 m· =4,所以点 P 的轨迹为以 F1, m 4 解析:因为 m>2,所以 m+ >2 m F2 为焦点的椭圆. 答案:A 2.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 25 169 x2 y2 ) A.(± 5,0) C.(0,±12) B.(0,±5) D.(± 12,0) 解析:因为 c2=a2-b2=169-25=122,所以 c=12.又焦点在 y 轴上,故 焦点坐标为(0,±12), 答案:C x2 y2 3.已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,到另一个焦 m 16 点的距离为 7,则 m=( A.10 B.5 ) C.15 D.25 解析:设椭圆的焦点分别为 F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a =10,所以 a=5,所以 a2=25,所以 椭圆的焦点在 x 轴上,m=25. 答案:D x3 4. 已知△ABC 的顶点 B, C 在椭圆 +y2=1 上, 顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 3,由椭圆的定义可知△ABC 的周长是 4a= ) 解析:由椭圆的方程可得 a= 4 3. 答案:C 5.如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是 a a+6 ( ) A.a>3 C.a>3 或 a<-2 B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 x2 y2 ? ?a2-a-6>0, 解析:由 a2>a+6>0 得? ? ?a+6>0, ? ?a<-2或a>3, 所以? 所以 a>3 或-6<a<-2. ? a >- 6 , ? 答案:D 二、填空题 6.已知椭圆 5x2-ky2=5 的一个焦点是(0,2),则 k=________. 解析:易知 k≠0,椭圆方程可化为 x2+ y2 - 5 k =1, 5 5 所以 a2=- ,b2=1.又 c=2,所以 - -1=4, k k 所以 k=-1. 答案:-1 7.已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 是椭圆上的一点,则|F1F2| 是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是___________. 解析:由题意得 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 所以 4c=2a=4,所以 a=2. 又 c=1,所以 b2=a2-c2=3, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 答案: + =1 4 3 8.若椭圆 y2 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直, 49 24 x2 则△PF1F2 的面积为________. 解析:设|PF1|=x,则|PF2|=14-x,又 2c=10, 根据勾股定理,得 x2+(14-x)2=100, 1 解得 x=8 或 x=6,所以 S= ×8×6=24. 2 答案:24 三、解答题 9.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)a=5,c=2; (2)经过 P1( 6,1),P2(- 3,- 2)两点; 6). (3)以椭圆 9x2+5y2=45 的焦点为焦点,且经过点 M(2, 解:(1)由 b2=a2-c2,得 b2=25-4=21. 所以 椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 21 25 21 x2 y2 y2 x2 (2)法一:①当焦点在 x 轴上时, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 6 1 ? ?a +b =1, ? ?a =9, 由已知,得? ?? ?b =3, 3 2 ? + =1, ? ?a b 2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 即所求椭圆的标准方程是 + =1. 9 3 ②当焦点在 y 轴上时, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), b a x2 y2 6 1 ? ?b +a =1, ? ?b =9, 由已知,得? ?? ? 3 2 ?a =3, + = 1 , ? ?b a 2 2 2 2 2 2 与 a>b>0 矛盾,此种情况不存在. x2 y2 综上,所求椭圆的标准方程是 + =1. 9 3 法二:由已知,设椭圆的方程是 Ax2+By2=1, 1 ? A= , ? 9 ?6A+B=1, ? 故? ?? ? 1 ?3A+2B=1, B = ? ? 3, x2 y2 即所求椭圆的标准方程是 + =1. 9 3 (3)法一:方程 9x2+5y2=45 x2 y2 可化为 + =1, 5 9 则焦点是 F1(0,2),F2(0,-2). 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为点 M 在椭圆上, 所以 2a=|MF1|+|MF2| = =(2 (2-0)2+( 3- 2)+(2 6-2)2+ 3+ 2)=4 (2-0)2+( 3, 6+2)2 y2 x2 所以 a=2 3,即 a2=12, 所以 b2=a2-c2=12-4=8, 所以 椭圆的标准方程为 x2 + =1. 12 8 y2 法二:由题意,知焦点 F1(0,2),F2(0,-2), 设所求椭圆方程为 x2 + =1(λ>0), λ+4 λ 4 + =1, λ+4 λ 6 y2 将 x=2,y= 6代入,得 解得 λ=8 或 λ=-2(舍去). x2 所求椭圆的标准方程为 + =1. 12 8 10.已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 且与 圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程. 解:如图,设圆 P 的半径为

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