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热点12 函数与导数综合大题-2018届高考数学三轮核心热点深度剖析与训练 (江苏版)


热点 12 函数与导数综合大题 【名师精讲指南篇】 【热点深度剖析】 1. 从近几年的高考试题来看,利用导数来研究函数的性质问题已成为炙手可热的考点,与导数知识相比, 导数方法更显重要,它比初等数学的方法刻画更精细、计算更快捷、运用更广泛,所以高考真正重视的是 对导数方法的考查.预测 2018 年高考仍将以利用导数研究函数的性质为主要考向. 2. 在高考题的大题中,每年都要设计一道函数大题 . 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方 程根的情况,基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式 (实际上就是证明这个不等式),研究不 等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围,研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式 的方程在某个区间上的根的个数等,这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力,就需要根据导数的 方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数,通过导数的方法研究这个函数 的单调性、极值和特殊点的函数值,根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数.因为导 数的引入,为函数问题的解决提供了操作工具 .因此入手大家比较清楚,但是深入解决函数与不等式相结 合的题目时,往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点,不清楚解决技巧.解题技巧总结如下 (1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来) ,如函 数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进 行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数) ,移项通分等等.要注意变形的方向:因为要 利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行 解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”. 4.预计 18 年函数依然是考查重点,必考大题,只不过函数题可以有初等方法或导数方法两种思路的区别. 也可以在同一解中,初等方法和导数方法交替使用. 【重点知识整合】 1. 导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时,?y 与 ?x 的比 变化率)有极限即 作 y? x ? x0 ?y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,即 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x ?y (也叫函数的平均 ?x 注意:在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 ,因此,导数的定义 式可写成 f ?( x0 ) ? lim ?x ?o f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim . x ? x0 ?x x ? x0 2. 导数的几何意义: f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反映的函数 y ? f ( x) ?x ? 0 ?x 在点 x0 处变化 的快慢程度. 它的几何意义是曲线 y

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