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2016年高中数学苏教版必修一3.1.2《指数函数第1课时》word学案

3.1.2 指数函数 第 1 课时 指数函数的定义及性质 1.理解指数函数的定义. 2.掌握指数函数的定义域、值域和单调性. 3.能根据指数函数的性质比较一些数值的大小. 1.指数函数的定义 x 函数 y=a (a>0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域为 R. 【做一做 1】下列函数中是指数函数的是__________. x 4 x x x x ①y=4 ②y=x ③y=-4 ④y=(-4) ⑤y=π ⑥y=x 答案:①⑤ 2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象 定义域:R 值域:(0,+∞) 性 图象过定点(0,1) 质 在(-∞,+∞)上 在(-∞,+∞)上 是增函数 是减函数[ZB)] 【做一做 2-1】比较大小: 2.5 3 (1)1.7 __________1.7 ; -0.1 -0.2 (2)0.8 __________0.8 . 答案:(1)< (2)< x 【做一做 2-2】已知指数函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象经过点(3,π ),求 f(0), f(1)和 f(-3)的值. 3 3 解:由条件得 π =a ,a= π , 1 3 3 x 所以 f(x)=( π ) .从而 f(0)=1,f(1)= π ,f(-3)= . π ?1? 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 下 列 各 函 数 的 图 象 : ①y = 2 ; ②y = 5 ; ③ y ? ? ? ; ?5? x x x ?1? x ④ y ? ? ? .观察四个函数图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗? ?2? 剖析:(1)指数函数 y=a (a>0,a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过 (0,1),又分别经过(1,2),(1,5), ?1, ? , ?1, ? .再由函数的单调性就可以画出四个函 数的大致图象(如下图). x x ? 1? ? 5? ? 1? ? 2? (2)从上图中总结出一般性结论为: ①观察指数函数的图象, 既不关于原点对称, 也不关于 y 轴对称, 所以是非奇非偶函数. ?1? x ②y=a 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称,分析指数函数 y=a 的图象时,需找两个关 a ? ? x x 键点:(1,a)和(0,1). ③指数函数的图象永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图象越接近于 y 轴,底数 a 越大; 当 0<a<1 时,图象越接近于 y 轴,底数 a 越小. 题型一 利用指数函数的单调性比较大小 ? 2 ?3 -0.2 0.7 【例 1】将三个数 1.5 ,1.3 , ? ? 按从小到大的顺序排列. ?3? 分析: 当两个幂指数的底数相同时, 要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应 的指数函数,借助函数的单调性来比较大小. x ? ? 2 ?0.2 ? ? 2 ? 3 2 ?2? -0.2 解: 先比较 1.5 ?即? ? ? 和 ? ? 的大小, 考察指数函数 y = ? ? , 由于底数 在 3 ?3? ? ? ?3? ? ? ?3? 1 1 区间(0,1)内, 1 1 ?2? ?2? 所以指数函数 y = ? ? 在(-∞,+∞)上是减函数.由 0.2= < ,得 1> ? ? > 5 3 ?3? ?3? x 0.2 ? 2 ?3 ? ? . ?3? 另一方面,由于 1.3>1,0.7>0,得 1.3 >1. 0.7 1 ? 2 ?3 -0.2 0.7 所以 ? ? <1.5 <1.3 . ?3? 反思:处理比较大小的问题的一般方法是:先和特殊值比,比如说和 0 比,和 1 比,然 后将同范围(如大于 0)的数化成同一函数在自变量 x 取两值时所对应的两函数值,再利用函 数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系. 题型二 定义域和值域问题 【例 2】求下列函数的定义域与值域. (1) y =2 1 x ?3 1 ; x+1 ?1? (2) y = ? ? ; ? 3? x ?1 |x| (3)y=4 +2 +1; (4) y =2 x?1 . x 解: (1)因为指数函数 y=2 的定义域为 x∈R, 值域为 y∈(0, +∞); 若 x≠0, 则 y≠1. 由 x 1 于 y =2 x ?3 中的 1 ≠0, 所以 y≠1. 所以所求函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠3}, 值域为{y|y x-3 >0 且 y≠1}. ?1? (2)因为 y = ? ? 中的|x|≥0,所以 x∈R,0<y≤1.所以所求函数的定义域为 R,值 ? 3? 域为{y|0<y≤1}. x x+1 x 2 x x 2 (3)将已知函数整理成 y=4 +2 +1=(2 ) +2(2 )+1=(2 +1) .由此可知定义域为 R,值域为{y|y>1}. ?1 1 1 ≥0 得 x>1; 又由 >0, 得 y =2 x?1 >1. x-1 x-1 所以定义域为{x|x>1},值域为{y|y>1}. 反思: 本题求定义域均为求自然定义域的问题, 即要求表达式有意义时相应的 x 的取值 范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是:先 求出定义域, 然后求出内层函数的值域, 由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是 复合函数的值域. 题型三 指数方程与不等式 3x+1 -2x 【例 3】设 y1=a ,y2=a ,其中 a>0,a≠1.确定 x 为何值时,有(1)y1=y2;(2)y1 >y2? 1 解:(1)若 y1=y2,则 3x+1=-2x,解得 x=- . 5 3x+1 -2x (2)若 y1>y2,则 a >a . 1 ? 1 ? 当 a>1 时,原不等式可化为 3x+1>-2x,x>- ,解集为 ? ? , ? ? ?; 5 ? 5 ? |x| (4)已知函数可化为 y =2 x ?1 x ?1 x

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