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宁夏银川一中2015届高三第二次模拟考试 数学理 Word版含答案


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|ax=1},B={0,1},若 A ? B ,则由 a 的取值构成的集合为 A.{1} 2.复数 B.{0} C.{0,1} D. ?

1 ? 2i 的共轭复数是 a+bi(a,b∈R) ,i 是虛数单位,则点(a,b)为 i

A. (2,1)

B. (2,﹣i)

C. (1,2)

D. (1,﹣2)

3.在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好 落在正方形与曲线 y ? x 围成的区域内(阴影部分)的 概率为 A.
1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

4.等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? ?12 , S 13 ? 0 ,使得 a n ? 0 的最小正整数 n 为 理科数学试卷 第 1 页(共 6 页) A.10 B.9 C.8 D.7 5.定义在区间 [a , b](b ? a ) 上的函数 f ( x ) ?
1 1 3 sin x ? cos x 的值域是 [? ,1] , 2 2 2

-1-

则 b ? a 的最大值M和最小值m分别是 A. m ? C. m ?

?
6

,M ?

?
3

B. m ? D. m ?

?
3

,M ?

2? 3

4? , M ? 2? 3

2? 4? ,M ? 3 3
b a

6.已知 (1 ? 2 x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,则 A.

128 5

B.

256 7

C.

512 5

D.

128 7

7.下列命题中正确命题的个数是 (1) cos ? ? 0 是 ? ? 2k? ? (2)若 a ? 0, b ? 0, 且

?
2

(k ? Z ) 的充分必要条件;

2 1 ? ? 1 ,则 ab ? 4 ; a b

(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变; (4)设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1),若 P (? ? 1) ? p ,则 P (?1 ? ? ? 0) ? A.4 B.3 C.2 D.1
1 ? p. 2

8.下列图象中,有一个是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? 1(a ? R, a ? 0) 的导函数 f ?( x) 的 图象,则 f (?1) ?

1 3

A.

1 3

B. ?

1 3

C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3

9.若 f ( x ) ? 2 cos(? x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f (t ? 则实数 m 的值等于 A..± 1 B. ± 3 C.-1 或 3

?
4

) ? f (? t ) ,且 f ( ) ? ?1 , 8

?

D.-3 或 1

10.设 f ( x) ? x ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ,则对于任意的实数 a 和 b,a+b ? 0 是 f (a ) ? f (b) ? 0 的 A.充分且必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

11.已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA= 2 3 ,AB=1,
-2-

AC=2,∠BAC=60° ,则球 O 的表面积为 A. 4? 12.设双曲线 B. 12? C. 16? D. 64?

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 a 2 b2

近线于 A、B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点, 若 OP ? ? OA ? ?OB(? , ? ? R) , ?? ? A.
2 3 3
3 ,则该双曲线的离心率为 16

B.

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 右图所示的程序是计算函数 f ( x ) 函数值的程序, 若输出的 y 值为 4,则输入的 x 值是 . INPUT x IF x ? 0 THEN y ? ( x ? 2)^2 ELSE IF
x?0 y?4

THEN

ELSE y ? ( x ? 2)^2 END IF END IF PRINT “ y ? ”; y END

14.从某地高中男生中随机抽取

频率 组距 100 名同学,将他们的体重 理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 0.035 (单位:kg)数据绘制成频 0.030 率分布直方图(如图) .由图 0.025 0.020 0.015 kg;若要从身高 0.010 在[60,70) ,[70,80),[80,90]三 0.005 中数据可知体重的平均值为 组内的男生中,用分层抽样 40 50 60 70 80 90 体重(kg)

的方法选取 12 人参加一项活动,再从这 12 人选两人当正负队长,则这两人体重不在同一 组内的概率为 .
2

15.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 、 B 在抛物线 y ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 ,

F 是抛物线的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ___________.
-3-

16.已知 M={a| f(x)=2sinax 在 [?

? ?

, ] 上是增函数},N={b|方程 3?| x ?1| ? b ? 1 ? 0 有实数解}, 3 4 x?n 在 D 内没有最小值,则 m 的取 x2 ? m

设 D ? M ? N ,且定义在 R 上的奇函数 f ( x) ? 值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 如图,在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山, 山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮 船在岛北偏东 30°,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60°,俯角 为 60°的 C 处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米? (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?

18.(本小题满分 12 分 已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC= E 是 BC 的中点,将△BAE 沿 AE 翻折成 △B1AE,使面 B1AE⊥面 AECD, F 为 B1D 的中点. (1)求四棱锥 B1-AECD 的体积; (2)证明:B1E∥面 ACF; (3)求面 ADB1 与面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.
1 BC=a, 2

19.(本小题满分 12 分) 某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合格品, 小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 芯片甲 芯片乙 [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

-4-

(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(1)的前提下, (i)记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率.

20.(本小题满分 12 分) 设直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? a 2 (a ? 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴 相交于点 C,记 O 为坐标原点. (1)证明: a ?
2

3k 2 ; 1 ? 3k 2

(2)若 AC ? 2CB, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

21. (本题满分 12 分) 第 5 页(共 6 页) a ? 0 . 已知函数 f ( x) ?理科数学试卷 0,其中 x ? ln( x ? a) 的最小值为 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)已知结论:若函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a) 在区间(m,n)内导数都存在 ,且 m>- a , 则 存在 x0 ? (m, n) ,使得 f ?( x0 ) ?
g( x ) ?

f ( n ) ? f ( m) .试用这个结论证明:若 ?a ? x1 ? x2 , 设函数 n?m

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ( x ? x 1 ) ? f ( x 1 ) ,则 对任意 x ∈ ( x 1 , x 2 ) ,都有 f ( x )< g ( x ) ; x1 ? x 2
t ?n

(Ⅲ )若 e t 的 最小值 .

? 1 ? n 对任 意的正整数 n 都成 立 (其中 e 为自然对 数的底 ) ,求实数

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 ,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 A 点作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1 . (1)证明: AC 平分 ? BAD ; (2)求 BC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

-5-

在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: ?

? x ? cos? (? 为参数),将 C1 上的所有点的横坐 ? y ? sin?

标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 C2. 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
l : ? ( 2 cos? ? sin? ) ? 4 .

(1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 函数 f ( x) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a . (1)若 a ? 5 ,求函数 f ( x ) 的定义域 A; (2)设 B ? { x | ?1 ? x ? 2} ,当实数 a, b ? ( B ? C R A) 时,证明: 一、选择题 题号 1 答案 C 二、填空题
|a?b| ab ?| 1 ? | .银川一 2 4

中 2015 届高三第二次模拟考试数学(理科)参考答案
2 A
2 3

3 B

4 C 15. 2

5 D 16. m ?

6 A

7 B

8 B

9 D

10 A

11 C

12 A

13.-4,0,4 14. 64.5, 三、解答题:

3 2

17.解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60°PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30° ,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30° +60° =90°

3 (千米)…………3 分 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

…….6 分

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90° -60° =30° ,sin∠DCA=sin(180° -∠ACB)=sin∠ACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sin∠CDA=sin(∠ACB-30° )=sin∠ACB· cos30° -cos∠ACB· sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? ……….9 分 2 2 10 20 AD AC 在△ACD 中,据正弦定理得 , ? sin DCA sinCDA 9? 3 ∴答:此时船距岛 A 为 千米…………..12 分 13
18、解:(1)取 AE 的中点 M,连结 B1M,因为 BA=AD=DC=

1 BC=a,△ABE 为等边三角 2

-6-

3 a ,又因为面 B1AE⊥面 AECD,所以 B1M⊥面 AECD, 2 1 3 ? a3 a ? a ? a ? sin ? 所以 V ? ? ---------4 分 3 2 3 4 (2)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1E / /面ACF 。---------7 分
形,则 B1M= (3)连结 MD,则∠AMD= 90 0 ,分别以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系,则 3 3 3 a a a ,0) A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a) , 所 以 1 , E ( ,0,0) , C (a , 2 2 2 2 2 a 3a a 3a a 3a EB 1 ? (? ,0, ) ,AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) ,设面 ECB1 的法向 2 2 2 2 2 2 ?a 3 ay ? 0 ? x ? 3 3 ?2 2 , ) ,同理面 量为 u ? (x , y , z ) , ? ,令 x=1, u ? (1,? 3 3 3 ? a ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2 1 1 1? ? 3 3 3 3 3 ,? ) , 所以 c o s ADB1 的法向量为v ? (1,? ? u ,v ?? ? , 3 3 5 1 1 1 1 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 19. (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为 芯片乙为合格品的概率约为 .

3 5
, …(3 分) ; .

(Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ; 所以,随机变量 X 的分布列为: X 90 45 30 ﹣15 P . …(8 分) (ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意,得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .所以 n=4,或 n=5. ;

设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 . …(12 分)

20. (I)解:依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴,故 y ? k ( x ? 1)可化为 x ? 将x ?

1 y ? 1. k
①由

1 1 2 2 2 y ? 1代入 x 2 ? 3 y 2 ? a 2 , 消去 x , 得 ( 2 ? 3) y ? y ? 1 ? a ? 0. k k k

直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得

-7-

3k 2 1 2 2 a ? .… 5 分 ? 3 ) a ? 3 ,即 k2 1 ? 3k 2 2k (II)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).由①,得 y1 ? y 2 ? 因为 1 ? 3k 2 ? 2k . ……………8 分 AC ? 2CB, 得y1 ? ?2 y2 ,代入上式,得 y 2 ? 1 ? 3k 2 3|k | 3|k | 3 1 3 ? ? 于是,△OAB 的面积 S ? | OC | ? | y1 ? y 2 |? | y 2 | ? 2 2 1 ? 3k 2 3 |k| 2 2 ? 2k 3 3 其中,上式取等号的条件是 3k 2 ? 1,即k ? ? , 可得y 2 ? ? .将 . 由 y2 ? 2 3 3 1 ? 3k 3 3 3 3 这两组值分别代入①,均可解出 a 2 ? 5. k? , y2 ? ? 及k ? ? , y2 ? 3 3 3 3 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x 2 ? 3 y 2 ? 5. ………12 分
?? 4 1 ? 4( 2 ? 3)(1 ? a 2 ) ? 0, 2 k k 整理得 (
21.

22. 解: (1)连接 OC ,因为 OA ? OC , 所以 ?OAC ? ?OCA CD 为半圆的切线

? AD ? CD ,? OC / / AD

? AC 平分 ?BAD ……… (5 分) (2)连接 CE ,由??OCA ? ?CAD 知 BC ? CE ? c o s? B ? cos ? CED 所以 A、B、C、E 四点共圆 ,

?? O C A ? ?C A D ?? O A C ? ?C A D

-8-

?

DE CB ? ,? BC ? 2 CE AB

(10 分)

24. 解:(1)由 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ,得 A ? {x | x ? ?4或x ? 1} (2)

(5 分)

B CR A ? (?1,1) |a?b| ab ?|1 ? |? 2 | a ? b |?| 4 ? ab | 又 2 4


4(a ? b) 2 ? (4 ? ab) 2 ? 4(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (16 ? 8ab ? a 2b 2 ) ? 4a 2 ? 4b 2 ? a 2b 2 ? 16 ? a 2 (4 ? b 2 ) ? 4(b 2 ? 4) ? (b 2 ? 4)(4 ? a 2 ) a, b ? (?1,1) ?(b2 ? 4)(4 ? a2 ) ? 0 ?4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 |a?b| ab ? ?|1 ? | ……(10 分) 2 4

-9-

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- 10 -


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