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[最新]高中数学 1.1命题练习 北师大版选修1-1试题及答案解析


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高中数学 1.1 命题练习 北师大版选修 1-1

一、选择题 1.下列语句中命题的个数为( )

①{0}∈N;②他长得很高;③地球上的四大洋; ④5 的平方是 20. A.0 C.2 [答案] C [解析] ①④是命题,②③不是命题.地球上的四大洋是不完整的句子. 2.给定下列命题:①若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实数根;②若 a>b>0,c>d>0,则
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B.1 D.3

ac>bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0.其中是真命
题的是( ) B.①②④ D.②③④

A.①②③ C.①③④ [答案] B

[解析] ①中 Δ =4-4(-k)=4+4k>0,所以①为真命题;②由不等式的乘法性质知 命题正确,所以②为真命题;③如等腰梯形对角线相等,不是矩形,所以③是假命题;④由 等式性质知命题正确,所以④是真命题,故选 B. 3.(2015·山东文,5)设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否 命题是( )
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A.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0 [答案] D [解析] 一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论都加以否定,并且加以互换位 置,故选 D. 4.“若 x、y∈R 且 x +y =0,则 x、y 全为 0”的否命题是( A.若 x、y∈R 且 x +y ≠0,则 x、y 全不为 0 B.若 x、y∈R 且 x +y ≠0,则 x、y 不全为 0 C.若 x、y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 D.若 x、y∈R 且 xy≠0,则 x +y ≠0
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[答案] B [解析] “全为 0”的否定是“不全为 0”,故选 B. 5.命题“如果 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的逆否命题是( A.如果 ab 是奇数,则 a、b 都是奇数 B.如果 ab 不是奇数,则 a、b 不都是奇数 C.如果 a、b 都是奇数,则 ab 不是奇数 D.如果 a、b 不都是奇数,则 ab 不是奇数 [答案] B [解析] 命题“如果 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的逆否命题是“如果 ab 不是奇 数,则 a、b 不都是奇数”. 6.在平面直角坐标系中,给出命题 p:“如果两直线平行,则它们的斜率相等”,则 ( ) A.p 的逆命题是真命题 B.p 的否命题是真命题 C.p 的逆否命题是真命题 D.p 的四种命题都不是真命题 [答案] D [解析] 在平面直角坐标系中,两直线平行,它们的斜率可能不存在,所以命题 p 是假 命题;两直线斜率相等,它们可能重合,因此命题 p 的逆命题也是假命题;而原命题与逆否 命题同真假,逆命题与否命题同真假,所以 p 的四种命题都是假命题. 二、填空题 7.下面是关于四棱柱的四个命题: ①如果有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③如果四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④如果四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). [答案] ②④ [解析] ②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行, 可知命题成立, ④中 由题意,可知对角面均为长方形,即可证命题成立.①、③错误,反例如有一对侧面与底面 垂直的斜四棱柱. 8.设 a、b、c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 也是异面直线;
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③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是________. [答案] 0 [解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行,∴命题①不正确; ∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面,也可以异面,∴命题②不正确; ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交, 也可以平行或异面, ∴命题③不正 确; ∵当两平面的相交直线为直线 b 时,两平面内分别可以作出直线 a 与 c,即直线 a 与 c 不一定共面,∴命题④不正确. 综上所述,真命题的个数为 0. 9.给出下列命题: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (3)若一个四边形不是平行四边形,则这个四边形的对角线不能互相平分; (4)若一个四边形的对角线不能互相平分,则这个四边形不是平行四边形. ①若(1)为原命题,则(2)为(1)的________命题,(3)为(1)的________命题,(4)为(1) 的________命题. ②若(4)为原命题,则(1)为(4)的________命题,(2)为(4)的________命题,(3)为(4) 的________命题. [答案] ①逆 否 逆否 ②逆否 否 逆 三、解答题 10.把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并判断其真假. (1)对顶角相等; (2)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除; (3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. [答案] “若 p 则 q”形式略,全为真 [解析] (1)若两个角是对顶角,则这两个角相等.是真命题. (2)若一个数能被 6 整除,则它既能被 3 整除也能被 2 整除.是真命题. (3)若一条直线是弦的垂直平分线, 则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧. 是真命题.

一、选择题 1.已知 a、b、c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3
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B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 [答案] A [解析] 确定原命题的条件和结论后,同时进行否定,即可写出否命题.原命题的条件 是:a+b+c=3,结论是:a +b +c ≥3,所以否命题是:若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3. 2.设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ ,使 a=λ b+μ c; ③给定向量 b 和正数 μ ,总存在单位向量 c,使 a=λ b+μ c. ④给定正数 λ 和 μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λ b+μ c. 上述命题中的向量 b、c 和 a 在同一平面内,且两两不共线,则真命题的个数是( A.1 C.3 [答案] C [解析] 对于①, 由向量的三角形加法法则可知其正确; 由平面向量基本定理知②正确; 对③,可设 e 与 b 是不共线单位向量,则存在实数 λ ,y 使 a=λ b+ye,若 y>0,则取 μ =y,c=e,若 y<0,则取 μ =-y,c=-e,故③正确;④显然错误,给定正数 λ 和 μ , 不一定满足“以|a|,|λ b|,|μ c|为三边长可以构成一个三角形”,这里单位向量 b 和 c 就不存在.可举反例:λ =μ =1,b 与 c 垂直,此时必须 a 的模为 2才成立. 3.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,p 的逆命题为 t,则 s 是 t 的( A.逆否命题 C.否命题 [答案] C [解析] 特例:△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. B.逆命题 D.原命题 ) B.2 D.4 )
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p:若∠A=∠B,则 a=b, r:若∠A≠∠B,则 a≠b, s:若 a≠b,则∠A≠∠B, t:若 a=b,则∠A=∠B.故 s 是 t 的否命题.
4.已知命题 p:“若 a>b>0,则log1 a<log1 b+1”,则命题 p 及它的逆命题、否命题、 2 2 逆否命题中正确命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.4

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[答案] C [解析] 对于命题 p,当 a>b>0 时,有log1 a<log1 b,则必有log1 a<log1 b+1,因 2 2 2 2 1 b b 此原命题正确,逆否命题也正确;但当log1 a<log b+1 时,得log1 a<log1 ,即 a> >0, 2 2 2 2 2 2 此时不一定有 a>b>0,因此逆命题不正确,则命 题 p 的否命题也不正确.因此一共有 2 个正确命题,故选 C. 二、填空题 5.原命题:在空间中,若四点不共面,则这四个点中任何三点都不共线,其逆命题为 ________命题(填真、假). [答案] 假 [解析] 逆命题为:在空间中,若四个点中任何三点不共线,则这四点不共面,假命

题.如:正方形 ABCD 的四个顶点,任意三点不共线,但这四点共面. 6. 命题“若实数 a 满足 a≤2, 则 a <4”的否命题是________命题. (填“真”或“假”) [答案] 真 [解析] 原命题的否命题为:若实数 a 满足 a>2,则 a ≥4,这是一个真命题. 三、解答题 7.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假. (1)如果两圆外切,那么两圆心距等于两圆半径之和; (2)平面内,两条平行直线不相交. [解析] (1)逆命题:如果两圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,真; 否命题:如果两圆不外切,那么两圆心距不等于两圆半径之和,真; 逆否命题:如果两圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,真. (2)原命题:在同一平面内,若两条直线是平行直线,则它们不相交,真; 逆命题:在同一平面内,若两条直线不相交,则它们平行,假; 否命题:在同一平面内,若两条直线不是平行直线,则它们相交,假; 逆否命题:在同一平面内,若两条直线相交,则它们不平行,真. 8.证明:“若 a +2ab+b +a+b-2≠0,则 a+b≠1”为真命题. [证明] 原命题等价为:若 a+b=1,则 a +2ab+b +a+b-2=0,a +2ab+b +a+b -2=(a+b) +(a+b)-2=(a+b+2)(a+b-1),∵a+b=1, ∴(a+b+2)(a+b-1)=0,∴a +2ab+b +a+b-2=0. ∴命题“若 a+b=1,则 a +2ab+b +a+b-2=0”为真命题,即证明原命题为真命题.
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