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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 数列与三角函数的综合应用 新人教A版


八、数列与三角函数的综合应用:
数列与三角函数的结合是一类创新试题,利用三角函数的周期性体现数列的变化。 典型例题: 例 1. 设 函 数 f ( x) ? 2 x? c o sx, {an } 是 公 差 为
2 [ f (a 3 ) ]? a 2 a 3? 【

? 的 等 差 数 列 , f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , 则 8

】 B、

A、 0 【答案】D。

1 2 ? 16

C、 ?

1 8

2

D、

13 2 ? 16

【考点】等差数列性质,三角函数性质。 【解析】∵ f ( x) ? 2 x ? cos x , f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , ∴( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? 。 ∵ {an } 是公差为

? 的等差数列, 8

2 a1 ? a2 ? ? ? a5)=2 ? 5a3 ? 10a3 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 。 ∴(
∴ 10a3 ? 5? ,解得 a3 ?
2 2

?
2

, a2 ?

3? 。 8

∴ [ f (a3 )] ? a2 a3 ? ? ?

3? ? 13? 2 ? ? 。故选 D。 8 2 16

关于 cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 可化为 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 。 由 10a3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 10a3 , 设 f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos x, g ? x ? ? 5? ? 10 x ,作图可得二者交点在 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 处:

?

?

?

?

?

?

?

?

1

例 2.设函数 f ( x ) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】解: (I)∵ f ( x ) ?

x 1 ? sin x ,∴ f ?( x) ? ? cos x 。 2 2 2? (k ? Z ) 。 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2k? ? 3 2? 2? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) ; 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? 4? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 。 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值。 ∴当 x ? 2k? ? 3 2? ∴数列 {xn } : xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: , xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? ∴ Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 。 3 3
当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ; 当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin

2? 3 ; ? 3 2 4? 3 。 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin ∴当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? 0 ; 当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ?

3 ; 2 3 。 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

【考点】三角函数的极值,导数的应用,数列。 【解析】 (I)求函数 f ( x ) ? 情况,得出结果。 (II)求出 {xn } 的前 n 项和为 S n ,分类讨论,求出 sin S n 。
2

x ? sin x 的所有正的极小值点,即要讨论 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 的 2

2 例 3. ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b ? 3ac ,求 A.

【答案】解:∵ ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列, ∴?

? A ? B ? C ? 1800 ?2 B ? A ? C

。∴ B ? 60 , A ? C ? 120 。
0
0

2 2 又∵ 2b ? 3ac ,∴根据正弦定理,得 2sin B ? 3sin A sin C 。∴ sin A sin C ?

1 。 2

由“ A ? C ? 120 ”进行均值换元,设 ?
0

? A=600 ? ? ? , ?600 < ? < 600 。 0 C =60 ? ? ? ?

则 sin 60 +? sin 60 ? ? ?
0 0

?

? ?

?

1 3 3 2 ,化简,得 cos ? = ? cos ? = ? 。 2 4 2
0

∴ ? = ? 30 。∴ A=90 或 A=30 。
0 0

【考点】解三角形的运用,等差数列的性质,三角形的内角和定理,正弦定理,两角和的三角函数。 【解析】根据角 A 、 B 、 C 成等差数列和三角形内角和定理可得 B ? 60 , A ? C ? 120 。运用均值换元
0
0

法,由 2b ? 3ac 应用正弦定理和两角和的三角函数,化简等式,求出答案。
2

例 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C .

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ABC 的面积 S. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C) ? sin A sin C ,即 sin B sin ? A+C? ? sin Asin C 。 ∵ A+C=? ? B,sin ? A+C? =sin ?? ? B? =sinB , ∴ sin 2 B ? sin Asin C 。 由正弦定理,得 b 2 =a ? c ,∴ a, b, c 成等比数列。 (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 =a ? c=2 , 由余弦定理,得 cos B= ∴ sin B= 1 ? cos 2 B=

a 2 +c2 ? b 2 1 ? 4 ? 2 3 = = , 2ac 4 4

7 。 4

1 1 7 7 ? ∴△ABC 的面积 S= ? a ? c ? sin B= ? 1 ? 2 ? 。 2 2 4 4
【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和的三角函数公式,同角三角函数公式,等比数列的判定。 【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简,求得三角正弦之间的关系,由正弦定理推出结论。
3

(Ⅱ)由余弦定理求出 B 的余弦,从而根据同角三角函数公式得到正弦,应用面积公式求解。 例 5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数 列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】解: (Ⅰ)∵角 A,B,C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C 。 又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B =60°。∴ cos B =

1 。 2

(Ⅱ)∵边 a,b,c 成等比数列,∴ b 2 ? ac 。∴根据正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 。 ∵ B =60°,∴ sin B =

3 3 。∴ sin Asin C = 。 4 2

【考点】数列与三角函数的综合,正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由角 A、B、C 成等差数列可知 B =60°,从而可得 cos B 的值。 (Ⅱ) 由 a, b, c 成等比数列, 得 b 2 ? ac , 由 B 的值得到 sin B 的值, 结合正弦定理可求得 sin A sin C 的值。 另解:由余弦定理求得 a=c 得到 ?ABC 是等边三角形,每个内角等于 60 求解。
0

例 6.设 a n ? A.25

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是【 n 25
B.50 C.75 D.100



【答案】 D。 【考点】正弦函数的周期性。 【解析】 ∵对于 1 ? k ? 25,ak ? 0(只有 a25 =0 ), ∴ Sk ?1 ? k ? 25? 都为正数。 当 26 ? k ? 49 时,令

?
25

? ? ,则

k? ? k? ,画出 k? 终边如右, 25

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , ∴ Sk ? sin ? + sin 2? + ??? +

1 1

1 2

1 1 1 1 sin 24? +0+ sin 26? + sin 27? + ??+ sin k? 24 26 27 k

1 1 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? sin ? + sin 2? + ??? + ? ? ? sin 24? + ? ? ? sin 23? + ??+ ? ? ? sin ? 50 ? k ?? 其 1 2 ? 24 26 ? ? 23 27 ? ? 50 ? k k ?
中 k =26,27,?,49,此时 0 ? 50 ? k ? k 。

4



1 1 ? ? 0 , 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,∴ sin(50 ? k )? ? 0 。 50 ? k k

从而当 k =26,27,?,49 时, Sk 都是正数。 又 S50 ? S49 ? a50 ? S49 ? 0 ? S49 ? 0 。 同上可得,对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数,故选 D。 例 7. ()已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为 ▲ 【答案】 ? .

2 。 4

【考点】等比数列的性质,余弦定理的应用。 【解析】∵△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,∴设三角形的三边分别是: ∵最大角所对的边是 2a, 2 a、a、 2a。 2

? 2 ? a +? a ? ? 2a 2 ? ? ∴根据三角形中大边对大角的性质,结合余弦定理得: cos? = 2 2? a?a 2
2

2

?

?

2

=?

2 。 4

∴最大角的余弦值为 ?

2 。 4

5



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