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2016年山东省威海市中考数学试卷及解析

2016 年山东省威海市中考数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分 1.(3 分)﹣ 的相反数是( )

A.3 B.﹣3 C. D.﹣

2.(3 分)函数 y=

的自变量 x 的取值范围是( )

A.x≥﹣2 B.x≥﹣2 且 x≠0 C.x≠0 D.x>0 且 x≠﹣2 3.(3 分)如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为 A,若∠ADC=35°,则∠1 的度数为( )

A.65° B.55° C.45° D.35° 4.(3 分)下列运算正确的是( ) A.x3+x2=x5 B.a3?a4=a12 C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3?(﹣xy)﹣2=﹣xy 5.(3 分)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,且 x1+x2=﹣2,x1?x2=1, 则 ba 的值是( ) A. B.﹣ C.4 D.﹣1 6.(3 分)一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则搭 成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6 7.(3 分)若 x2﹣3y﹣5=0,则 6y﹣2x2﹣6 的值为( ) A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16 8.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,则|a|﹣|b|可化简为( )
A.a﹣b B.b﹣a C.a+b D.﹣a﹣b 9.(3 分)某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对 20 位销售员本月的销售量进 行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、 众数分别是( )
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A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20 10.(3 分)如图,在△ ABC 中,∠B=∠C=36°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于 点 H,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 AC 于点 G,连接 AD,AE,则下列结论错误的 是( )

A. =

B.AD,AE 将∠BAC 三等分

C.△ ABE≌△ACD D.S△ ADH=S△ CEG 11.(3 分)已知二次函数 y=﹣(x﹣a)2﹣b 的图象如图所示,则反比例函数 y= 与一次

函数 y=ax+b 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

12.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 为 BC 的中点,将△ ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在矩形内点 F 处,连接 CF,则 CF 的长为( )

A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分

13.(3 分)蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为 0.000073 米,将 0.000073 用科学记

数法表示为



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14.(3 分)化简:

=



15.(3 分)分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2=



16.(3 分)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,其边长为 4,则⊙O 的内接正三角形 EFG 的

边长为



17.(3 分)如图,直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,△ BOC 与△ B′O′C′是以

点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,则点 B 的对应点 B′的坐标为



18.(3 分)如图,点 A1 的坐标为(1,0),A2 在 y 轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点

A2 作 A2A3⊥A1A2,垂足为 A2,交 x 轴于点 A3;过点 A3 作 A3A4⊥A2A3,垂足为 A3,交 y

轴于点 A4;过点 A4 作 A4A5⊥A3A4,垂足为 A4,交 x 轴于点 A5;过点 A5 作 A5A6⊥A4A5,

垂足为 A5,交 y 轴于点 A6;…按此规律进行下去,则点 A2016 的纵坐标为



三、解答题:本大题共 7 小题,共 66 分 19.(7 分)解不等式组,并把解集表示在数轴上.


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20.(8 分)某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有 48 人达标,乙 班有 45 人达标,甲班的达标率比乙班高 6%,求乙班的达标率.
21.(9 分)一个盒子里有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的六个小球,这些小球除标号数字 外都相同. (1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率; (2)甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标 号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次 摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一 偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
22.(9 分)如图,在△ BCE 中,点 A 时边 BE 上一点,以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于 点 D,AD∥OC,点 F 为 OC 与⊙O 的交点,连接 AF. (1)求证:CB 是⊙O 的切线; (2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
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23.(10 分)如图,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A,B 两点,点 A 的坐标为(2,6),点 B 的坐标为(n,1). (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△ AEB=5,求点 E 的坐标.
24.(11 分)如图,在△ ABC 和△ BCD 中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点 E,使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF.延长 DB 交 EF 于点 N.
(1)求证:AD=AF; (2)求证:BD=EF; (3)试判断四边形 ABNE 的形状,并说明理由.
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25.(12 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣2,0),点 B(4,0),点 D(2, 4),与 y 轴交于点 C,作直线 BC,连接 AC,CD. (1)求抛物线的函数表达式; (2)E 是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO 的点 E 的坐标; (3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 BC 上,点 P 为第一象限内抛物线上一 点,若以点 C,M,N,P 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
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2016 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分 1.(3 分) 【考点】相反数. 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
【解答】解:﹣ 的相反数是 ,
故选 C 2.(3 分) 【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,x+2≥0 且 x≠0, 解得 x≥﹣2 且 x≠0, 故选:B. 3.(3 分) 【考点】平行线的性质. 【分析】利用已知条件易求∠ACD 的度数,再根据两线平行同位角相等即可求出∠1 的度 数. 【解答】解: ∵DA⊥AC,垂足为 A, ∴∠CAD=90°, ∵∠ADC=35°, ∴∠ACD=55°, ∵AB∥CD, ∴∠1=∠ACD=55°, 故选 B. 4.(3 分) 【考点】整式的混合运算;负整数指数幂. 【分析】A、原式不能合并,即可作出判断; B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断; C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断; D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式不能合并,错误; B、原式=a7,错误; C、原式=x6÷x5=x,错误; D、原式=﹣xy,正确. 故选 D. 5.(3 分) 【考点】根与系数的关系. 【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2 和 x1?x2 的值,可求 a、b 的值,再代入求值即可.
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【解答】解:∵x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根, ∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1?x2=﹣2b=1,
解得 a=2,b=﹣ ,

∴ba=(﹣ )2= .

故选:A. 6.(3 分) 【考点】由三视图判断几何体. 【分析】易得这个几何体共有 2 层,由俯视图可得第一层立方体的个数,由左视图可得第二 层立方体的个数,相加即可. 【解答】解:由题中所给出的俯视图知,底层有 3 个小正方体; 由左视图可知,第 2 层有 1 个小正方体. 故则搭成这个几何体的小正方体的个数是 3+1=4 个. 故选:B. 7.(3 分) 【考点】代数式求值. 【分析】把(x2﹣3y)看作一个整体并求出其值,然后代入代数式进行计算即可得解. 【解答】解:∵x2﹣3y﹣5=0, ∴x2﹣3y=5, 则 6y﹣2x2﹣6=﹣2(x2﹣3y)﹣6 =﹣2×5﹣6 =﹣16, 故选:D. 8.(3 分) 【考点】实数与数轴. 【分析】根据数轴可以判断 a、b 的正负,从而可以化简|a|﹣|b|,本题得以解决. 【解答】解:由数轴可得:a>0,b<0, 则|a|﹣|b|=a﹣(﹣b)=a+b. 故选 C. 9.【考点】众数;扇形统计图;加权平均数;中位数. 【分析】根据扇形统计图给出的数据,先求出销售各台的人数,再根据平均数、中位数和众 数的定义分别进行求解即可. 【解答】解:根据题意得: 销售 20 台的人数是:20×40%=8(人), 销售 30 台的人数是:20×15%=3(人), 销售 12 台的人数是:20×20%=4(人), 销售 14 台的人数是:20×25%=5(人),

则这 20 位销售人员本月销售量的平均数是

=18.4(台);

把这些数从小到大排列,最中间的数是第 10、11 个数的平均数,

则中位数是

=20(台);

∵销售 20 台的人数最多,

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∴这组数据的众数是 20. 故选 C. 10.(3 分) 【考点】黄金分割;全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质. 【分析】由题意知 AB=AC、∠BAC=108°,根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
从而知△ BDA∽△BAC,得 = ,由∠ADC=∠DAC=72°得 CD=CA=BA,进而根据黄金

分割定义知 = =

,可判断 A;根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断 B;

根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD,可证△ BAE≌△CAD,即可 判断 C;由△ BAE≌△CAD 知 S△ BAD=S△ CAE,根据 DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC 可 得 S△ ADH=S△ CEG,可判断 D. 【解答】解:∵∠B=∠C=36°, ∴AB=AC,∠BAC=108°, ∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC, ∴DB=DA,EA=EC, ∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°, ∴△BDA∽△BAC,

∴=,

又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°, ∴∠ADC=∠DAC, ∴CD=CA=BA, ∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB,



=

,即 = =

,故 A 错误;

∵∠BAC=108°,∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°, ∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°, 即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°, ∴AD,AE 将∠BAC 三等分,故 B 正确;

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°, ∴∠BAE=∠CAD, 在△ BAE 和△ CAD 中,





∴△BAE≌△CAD,故 C 正确;

由△ BAE≌△CAD 可得 S△ BAE=S△ CAD,即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴S△ BAD=S△ CAE, 又∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC,

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∴S△ ADH= S△ ABD,S△ CEG= S△ CAE,
∴S△ ADH=S△ CEG,故 D 正确. 故选:A. 11.(3 分) 【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象. 【分析】观察二次函数图象,找出 a>0,b>0,再结合反比例(一次)函数图象与系数的 关系,即可得出结论. 【解答】解:观察二次函数图象,发现: 图象与 y 轴交于负半轴,﹣b<0,b>0; 抛物线的对称轴 a>0.

∵反比例函数 y= 中 ab>0,

∴反比例函数图象在第一、三象限; ∵一次函数 y=ax+b,a>0,b>0, ∴一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、三象限. 故选 B. 12.(3 分) 【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题). 【分析】连接 BF,根据三角形的面积公式求出 BH,得到 BF,根据直角三角形的判定得到 ∠BFC=90°,根据勾股定理求出答案. 【解答】解:连接 BF, ∵BC=6,点 E 为 BC 的中点, ∴BE=3, 又∵AB=4,

∴AE=

=5,

∴BH= ,

则 BF= , ∵FE=BE=EC, ∴∠BFC=90°, ∴CF= 故选:D.

=.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 13.(3 分)
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【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定. 【解答】解:将 0.000073 用科学记数法表示为 7.3×10﹣5. 故答案为:7.3×10﹣5. 14.(3 分) 【考点】二次根式的加减法. 【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可. 【解答】解:原式=3 ﹣2 = . 故答案为: . 15.(3 分) 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】原式利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=(2a+b+a+2b)(2a+b﹣a﹣2b) =3(a+b)(a﹣b). 故答案为:3(a+b)(a﹣b). 16.(3 分) 【考点】正多边形和圆. 【分析】连接 AC、OE、OF,作 OM⊥EF 于 M,先求出圆的半径,在 RT△ OEM 中利用 30 度角的性质即可解决问题. 【解答】解;连接 AC、OE、OF,作 OM⊥EF 于 M, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=4,∠ABC=90°, ∴AC 是直径,AC=4 , ∴OE=OF=2 ,∵OM⊥EF, ∴EM=MF, ∵△EFG 是等边三角形, ∴∠GEF=60°,
在 RT△ OME 中,∵OE=2 ,∠OEM= ∠CEF=30°,
∴OM= ,EM= OM= , ∴EF=2 . 故答案为 2 .
17.(3 分)(3 分) 【考点】位似变换;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标,再利用位似变换可得结果.
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【解答】解:∵直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,

令 x=0 可得 y=1; 令 y=0 可得 x=﹣2, ∴点 A 和点 B 的坐标分别为(﹣2,0);(0,1), ∵△BOC 与△ B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,



= =,

∴O′B′=3,AO′=6,

∴B′的坐标为(﹣8,﹣3)或(4,3).

故答案为:(﹣8,﹣3)或(4,3).

18.(3 分)

【考点】坐标与图形性质.

【分析】先求出 A1、A2、A3、A4、A5 坐标,探究规律,利用规律解决问题. 【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,( )1],A3[﹣( )2,0].A4[0,﹣( )3],A5[( ) 4,0]…,

∴序号除以 4 整除的话在 y 轴的负半轴上,余数是 1 在 x 轴的正半轴上,余数是 2 在 y 轴的

正半轴上,余数是 3 在 x 轴的负半轴上,

∵2016÷4=504,
∴A2016 在 y 轴的负半轴上,纵坐标为﹣( 故答案为﹣( )2015.

)2015.

三、解答题:本大题共 7 小题,共 66 分 19.(7 分) 【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可. 【解答】解:由①得:x≥﹣1,
由②得:x< ,

∴不等式组的解集为﹣1≤x< , 表示在数轴上,如图所示:

20.(8 分) 【考点】分式方程的应用. 【分析】设乙班的达标率是 x,则甲班的达标率为(x+6%),根据“甲、乙两班的学生数相 同”列出方程并解答. 【解答】解:设乙班的达标率是 x,则甲班的达标率为(x+6%),

依题意得:

=,

解这个方程,得 x=0.9,

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经检验,x=0.9 是所列方程的根,并符合题意. 答:乙班的达标率为 90%. 21.(9 分) 【考点】游戏公平性;列表法与树状图法. 【分析】(1)直接利用概率公式进而得出答案; (2)画出树状图,得出所有等可能的情况数,找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同 为偶数的情况数,即可求出所求的概率. 【解答】解:(1)∵1,2,3,4,5,6 六个小球,
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为: = ;
(2)画树状图:

如图所示,共有 36 种等可能的情况,两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有 18 种, 摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种,
∴P(甲)= = ,P(乙)= = ,
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的. 22.(9 分) 【考点】切线的判定与性质;扇形面积的计算. 【分析】(1)欲证明 CB 是⊙O 的切线,只要证明 BC⊥OB,可以证明△ CDO≌△CBO 解 决问题. (2)首先证明 S 阴=S 扇形 ODF,然后利用扇形面积公式计算即可. 【解答】(1)证明:连接 OD,与 AF 相交于点 G, ∵CE 与⊙O 相切于点 D, ∴OD⊥CE, ∴∠CDO=90°, ∵AD∥OC, ∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2, ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠DAO, ∴∠1=∠2, 在△ CDO 和△ CBO 中,



∴△CDO≌△CBO,

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∴∠CBO=∠CDO=90°, ∴CB 是⊙O 的切线. (2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2, ∵∠ECB=60°,
∴∠3= ∠ECB=30°,
∴∠1=∠2=60°, ∴∠4=60°, ∵OA=OD, ∴△OAD 是等边三角形, ∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO, 在△ ADG 和△ FOG 中,



∴△ADG≌△FOG, ∴S△ ADG=S△ FOG, ∵AB=6, ∴⊙O 的半径 r=3,

∴S 阴=S 扇形 ODF=

= π.

23.(10 分) 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】(1)把点 A 的坐标代入 y= ,求出反比例函数的解析式,把点 B 的坐标代入 y= ,

得出 n 的值,得出点 B 的坐标,再把 A、B 的坐标代入直线 y=kx+b,求出 k、b 的值,从而 得出一次函数的解析式; (2)设点 E 的坐标为(0,m),连接 AE,BE,先求出点 P 的坐标(0,7),得出 PE=|m﹣ 7|,根据 S△ AEB=S△ BEP﹣S△ AEP=5,求出 m 的值,从而得出点 E 的坐标.
【解答】解:(1)把点 A(2,6)代入 y= ,得 m=12,

则 y= .

把点 B(n,1)代入 y= ,得 n=12,

则点 B 的坐标为(12,1).

由直线 y=kx+b 过点 A(2,6),点 B(12,1)得



解得



则所求一次函数的表达式为 y=﹣ x+7.

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(2)如图,直线 AB 与 y 轴的交点为 P,设点 E 的坐标为(0,m),连接 AE,BE, 则点 P 的坐标为(0,7). ∴PE=|m﹣7|. ∵S△ AEB=S△ BEP﹣S△ AEP=5, ∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5. ∴|m﹣7|=1. ∴m1=6,m2=8. ∴点 E 的坐标为(0,6)或(0,8).
24.(11 分) 【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定. 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°,求出∠ABF=135°, ∠ABF=∠ACD,证出 BF=CD,由 SAS 证明△ ABF≌△ACD,即可得出 AD=AF; (2)由(1)知 AF=AD,△ ABF≌△ACD,得出∠FAB=∠DAC,证出∠EAF=∠BAD,由 SAS 证明△ AEF≌△ABD,得出对应边相等即可; (3)由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°,证出四边形 ABNE 是矩形,由 AE=AB,即可得出四边形 ABNE 是正方形. 【解答】(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABF=135°, ∵∠BCD=90°, ∴∠ABF=∠ACD, ∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD, 在△ ABF 和△ ACD 中,

∴△ABF≌△ACD(SAS), ∴AD=AF; (2)证明:由(1)知,AF=AD,△ ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠DAC, ∵∠BAC=90°, ∴∠EAB=∠BAC=90°, ∴∠EAF=∠BAD, 在△ AEF 和△ ABD 中,
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∴△AEF≌△ABD(SAS), ∴BD=EF; (3)解:四边形 ABNE 是正方形;理由如下: ∵CD=CB,∠BCD=90°, ∴∠CBD=45°, 由(2)知,∠EAB=90°,△ AEF≌△ABD, ∴∠AEF=∠ABD=90°, ∴四边形 ABNE 是矩形, 又∵AE=AB, ∴四边形 ABNE 是正方形. 25.(12 分) 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可. (2)分①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况, 用三角函数求解即可; (3)分①CM 为菱形的边和②CM 为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算; 【解答】解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣2,0),点 B(4,0),点 D(2, 4), ∴设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x﹣4), ∴﹣8a=4, ∴a=﹣ ,
∴抛物线解析式为 y=﹣ (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+x+4; (2)如图 1,
①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上,记 E′, 连接 CE′,过 E′作 E′F′⊥CD,垂足为 F′, 由(1)知,OC=4, ∵∠ACO=∠E′CF′, ∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
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=,

设线段 E′F′=h,则 CF′=2h, ∴点 E′(2h,h+4) ∵点 E′在抛物线上,
∴﹣ (2h)2+2h+4=h+4,

∴h=0(舍)h=

∴E′(1, ), ②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上,记 E, 同①的方法得,E(3, ),

点 E 的坐标为(1, ),(3, ) (3)①CM 为菱形的边,如图 2,

在第一象限内取点 P′,过点 P′作 P′N′∥y 轴,交 BC 于 N′,过点 P′作 P′M′∥BC, 交 y 轴于 M′, ∴四边形 CM′P′N′是平行四边形, ∵四边形 CM′P′N′是菱形, ∴P′M′=P′N′, 过点 P′作 P′Q′⊥y 轴,垂足为 Q′, ∵OC=OB,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°, ∴∠P′M′C=45°,
设点 P′(m,﹣ m2+m+4),
在 Rt△ P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′= m, ∵B(4,0),C(0,4), ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+4, ∵P′N′∥y 轴, ∴N′(m,﹣m+4),
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∴P′N′=﹣ m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣ m2+2m,

∴ m=﹣ m2+2m,

∴m=0(舍)或 m=4﹣2 , 菱形 CM′P′N′的边长为 (4﹣2 )=4 ②CM 为菱形的对角线,如图 3,

﹣4.

在第一象限内抛物线上取点 P,过点 P 作 PM∥BC, 交 y 轴于点 M,连接 CP,过点 M 作 MN∥CP,交 BC 于 N, ∴四边形 CPMN 是平行四边形,连接 PN 交 CM 于点 Q, ∵四边形 CPMN 是菱形, ∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ, ∵∠OCB=45°, ∴∠NCQ=45°, ∴∠PCQ=45°, ∴∠CPQ=∠PCQ=45°, ∴PQ=CQ, 设点 P(n,﹣ n2+n+4), ∴CQ=n,OQ=n+2, ∴n+4=﹣ n2+n+4, ∴n=0(舍), ∴此种情况不存在. ∴菱形的边长为 4 ﹣4.
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