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2017高考数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时训练 理


第一章

集合与常用逻辑用语
第 1 课时 集合的概念

1. (2014·南通一模)已知集合 A={x|x≥3}∪{x|x<-1},则?RA=________. 答案:[-1,3) 解析:?RA=[-1,3). 2. (2014·苏北三市期末)已知集合 A={2+ a,a},B={-1,1,3},且 A ? B,则实 数 a 的值是________. 答案:1 解析:由题设 a=1,2+ a=3,从而 a=1. 3. 已知集合 A={-1,1},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合 B=________. 答案:{-2,0,2} 解析:因为 x∈A,y∈A,所以 x+y=-2,0 或 2,所以集合 B={-2,0,2}. 2 4. 已知 A={x|x -2x-3≤0},若实数 a∈A,则 a 的取值范围是________. 答案:[-1,3] 2 解析:由条件知 a -2a-3≤0,从而 a∈[-1,3]. 2 5. 已知 A={1,2,3},B={x∈R|x -ax+1=0,a∈A},则 B ? A 时,a=________. 答案:1 或 2 解析:验证 a=1 时 B= ?满足条件;验证 a=2 时 B={1}也满足条件. 2 6. 已知集合 A={x|x + mx+1=0},若 A 只有一个子集,则实数 m 的取值范围是 ____________. 答案:[0,4) 2 解析:由题意,A=?,∴ Δ =( m) -4<0,∴ 0≤m<4. 7. 若集合{x|ax +2x+1=0}与集合{x -1=0}的元素个数相同,则实数 a 的取值集合 为__________. 答案:{0,1} 2 2 解析:∵ 集合{x -1=0}的元素个数为 1,∴ 方程 ax +2x+1=0 有且只有一个实数 ? ?a≠0, 解.∴ a=0 或? 即 a=0 或 1. ?Δ =0, ? 8. 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A ? B,则实数 a 的取值范围是(c, +∞),其中 c=________. 答案:4 解析:A={x|0<x≤4},B=(-∞,a),A ? B,故 c=4. 2 9. (2014·江苏检测)已知集合 A={x|x -3x-10≤0},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1}, 且 B ? A,则实数 m 的取值范围是____________. 答案:m≤3 解析:由已知,集合 A={x|-2≤x≤5},因为 B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B ? A,所 ?m+1≤2m-1, 以当 B= ?时, 有 m+1>2m-1, 即 m<2 时, 符合题意; 当 B≠ ?时, ?-2≤m+1, 解得 2≤m
2 2

?

? ?2m-1≤5,

≤3.综上得实数 m 的取值范围是 m≤3. 10. (2014·宁夏月考改)设集合 Sn={1,2,3,?,n},若 x 是 Sn 的子集,把 x 中的 所有数的乘积称为 x 的容量(若 x 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空 集的容量为 0).若 x 的容量为奇(偶)数,则称 x 为 Sn 的奇(偶)子集.若 n=4,求 Sn 的所有 奇子集的容量之和.
1

解:由奇子集的定义可知:奇子集一定是 Sn 中为奇数的元素构成的子集.由题意可知, 若 n=4,Sn 中为奇数的元素只有 1,3,所有奇子集只有 3 个,分别是{1},{3},{1,3}, 则它们的容量之和为 1+3+1×3=7. 1-x 2 2 11. (2014·如皋中学期中)已知集合 A={x| >0},B={x|x -2x-a -2a<0}. x-7 (1) 当 a=4 时,求 A∩B; (2) 若 A ? B,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A={x|1<x<7}, 2 当 a=4 时,B={x|x -2x-24<0}={x|-4<x<6}, ∴ A∩B=(1,6). (2) B={x|(x+a)(x-a-2)<0}, ① 当 a=-1 时,B= ?,∴ A ? B 不成立; ② 当 a+2>-a,即 a>-1 时,B=(-a,a+2), ? ?-a≤1, ∵ A ? B,∴ ? 解得 a≥5; ?a+2≥7, ? ③ 当 a+2<-a,即 a<-1 时,B=(a+2,-a), ? ?a+2≤1, ∵ A ? B,∴ ? 解得 a≤-7. ?-a≥7, ? 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞). 第 2 课时 集合的基本运算 1. (2014·南师附中冲刺)设集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则 A∩B =________. 答案:{1} 解析:A、B 的公共元素是 1,∴ A∩B={1}. ? ? 3? 2. 已知集合 P={-1,m},Q=?x?-1<x< ?.若 P∩Q≠ ?,则整数 m=________. 4? ? ? 答案:0 3 解析:m∈Q,即-1<m< ,而 m∈Z,∴ m=0. 4 3. (2014·苏锡常镇一模)已知集合 A={1,2,3,4},B={m,4,7}.若 A∩B={1, 4},则 A∪B=________. 答案:{1,2,3,4,7} 解析:由 A∩B={1,4},知 m=1,从而 A∪B={1,2,3,4,7}. 4. 已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x、y∈Z}, 则 A∩B=________. 答案:{(0,1),(-1,2)} 解析:A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 5. 已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=________. 答案:0 或 3 解析:∵ A∪B=A,∴ B ? A.又 A={1,3, m},B={1,m},∴ m=3 或 m= m.由 m = m得 m=0 或 m=1.但 m=1 不符合集合中元素的互异性,故舍去,故 m=0 或 m=3. π 6. (原创)集合 A={x|kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z},B={x|-2≤x≤2},则集合 A∩B 4 =________. ?π ? 答案:[-2,0]∪? ,2? ?4 ?
2

π π π 解析:由已知集合 A=?∪[-π + ,-π +π ]∪[ ,π ]∪[π + ,π +π ]∪?, 4 4 4 π B={x|-2≤x≤2},利用数轴表示易得 A∩B=[-2,0]∪[ ,2]. 4

7. 已知集合 A={y|y= -x +2x},B={x||x-m|<2 015},若 A∩B=A,则 m 的取值 范围是________. 答案:(-2 014,2 015) 2 2 2 解析:集合 A 表示函数 y= -x +2x的值域,由 t=-x +2x=-(x-1) +1≤1,可 得 0≤y≤1, 故 A=[0, 1]. 集合 B 是不等式|x-m|<2 015 的解集, 解得 m-2 015<x<m+2 015, 所以 B=(m-2 015,m+2 015).因为 A∩B=A,所以 A ? B. ? ?m-2 015<0, 如图,由数轴可得? ?m+2 015>1, ? 解得-2 014<m<2 015. 8. 给定集合 A,若对于任意 a、b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭集合, 给出如下三个结论: ① 集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ② 集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③ 若集合 A1、A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确的结论是________.(填序号) 答案:② 解析:-4+(-2)=-6 ? A,所以①不正确;设 n1、n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1、k2 ∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;令 A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈ Z},则 A1、A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所以③不正确. 9. (2014·济南模拟)已知集合 A={-1,1},B={x|ax+1=0},若 B ? A,则实数 a 的所有可能取值组成的集合为______________. 答案:{-1,0,1} ? 1? 解析:若 a=0,B= ?,满足 B ? A;若 a≠0,B=?- ?, ? a? 1 1 ∵ B ? A,∴ - =-1 或- =1, a a ∴ a=1 或 a=-1.∴ a=0 或 a=1 或 a=-1 组成的集合为{-1,0,1}. 2 2 10. (2014·启东检测)已知集合 A={x|x -2x-3>0},B={x|x -4x+a=0,a∈R}. (1) 存在 x∈B,使得 A∩B≠ ?,求 a 的取值范围; (2) 若 A∩B=B,求 a 的取值范围. 解:(1) 由题意得 B≠ ?,故Δ =16-4a≥0,解得 a≤4. ① 2 2 令 f(x)=x -4x+a=(x-2) +a-4,对称轴为 x=2, ∵ A∩B≠ ?,又 A=(-∞,-1)∪(3,+∞), ∴ f(3)<0,解得 a<3. ② 由①②得 a 的取值范围为(-∞,3). (2) ∵ A∩B=B,∴ B ? A. 当Δ =16-4a<0,即 a>4 时,B 是空集,这时满足 A∩B=B; 当Δ =16-4a≥0 时,a≤4. ③ 2 令 f(x)=x -4x+a,对称轴为 x=2, ∵ A=(-∞,-1)∪(3,+∞)≠ ?, ∴ f(-1)<0,解得 a<-5. ④ 由③④得 a<-5. 综上得 a 的取值范围为(-∞,-5)∪(4,+∞).
3

2

11. 已知集合 A={y|y=-2 ,x∈[2,3]},B={x|x +3x-a -3a>0}. (1) 当 a=4 时,求 A∩B; (2) 若 A∩(?RB)= ?,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A=[-8,-4],当 a=4 时,B=(-∞,-7)∪(4,+∞).由数轴图得 A∩B =[-8,-7). (2) ∵ A∩(?RB)= ?,∴ A ? B. 2 2 又方程 x +3x-a -3a=0 的两根分别为 a,-a-3, 3? ? 3 3 ? ? ① 当 a=-a-3 时,即 a=- 时,B=?-∞,- ?∪?- ,+∞?,满足 A ? B; 2? ? 2 2 ? ? 3 ② 当 a<- 时,a<-a-3,B=(-∞,a)∪(-a-3,+∞),则 a>-4 或-a-3<-8, 2 3 得-4<a<- ,满足 A ? B; 2 3 ③ 当 a>- 时,a>-a-3,B=(-∞,-a-3)∪(a,+∞),则 a<-8 或-a-3>-4, 2 3 得- <a<1,满足 A ? B. 2 综上所述,实数 a 的取值范围是(-4,1).

x

2

2

第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1. (2014·南京调研)命题“ " x∈R,x -2x+2>0”的否定是______________. 2 答案:? x∈R,x -2x+2≤0 解析:根据全称命题的否定是存在性命题可得答案. 2 2 2. (2014·九江一模改)命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命题是______________. 2 2 答案:“若 x≤y,则 x ≤y ” 2 2 解析: 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x >y , 则 x>y”的逆否命 2 2 题是“若 x≤y,则 x ≤y ” . 2 2 x y 3. 方程 + =1 表示双曲线的充要条件是 k∈____________. k+1 k-5 答案:(-1,5) 2 2 x y 解析:方程 + =1 表示双曲线的充要条件是(k+1)(k-5)<0,解得-1<k<5. k+1 k-5 4. (2014·南京、盐城一模)设函数 f(x)=cos(2x+φ ),则“f(x)为奇函数”是“φ π = ” 的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 2 条件. 答案:必要不充分 π 解析:必要性,当 φ = 时,f(x)=cos(2x+φ )可化为 f(x)=-sin2x,它为奇函数; 2 π 而当 φ = +2π 时,f(x)=cos(2x+φ )可化为 f(x)=-sin2x,也是奇函数,所以充分性 2 不成立,故应填必要不充分. 1 1 2 2 5. 已知命题 p:若实数 x、y 满足 x +y =0,则 x、y 全为零.命题 q:若 a>b,则 < . a b 给出下列四个复合命题:①p 且 q;②p 或 q;③非 p;④非 q.其中真命题是________.(填 序号) 答案:②④
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2

1 1 1 解析:命题 p 为真命题.若 a=2>b=-1,而 = > =-1,命题 q 为假命题.由真值 a 2 b 表可知, p 或 q、非 q 为真命题. 5 6. (2014·中华中学调研)已知命题 p: $ x∈R,使 sinx= ;命题 q: " x∈R,都 2 2 有 x +x+1>0.给出下列命题: ① 命题“p∧q”是真命题; ② 命题“p∧( ? q)”是假命题; ③ 命题“( ? p)∨q”是真命题; ④ 命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题. 其中正确的是__________.(填序号) 答案:②③ 解析:由已知,p 假 q 真,由真值表知,正确命题为②③.
3 2

7. (2014·扬州中学月考)设 f(x)=x +lg(x+ x +1), 则对任意实数 a、 b, “a+b≥0” 是“f(a)+f(b)≥0”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”)条件. 答案:充要 3 2 解析:∵ f(x)=x +lg(x+ x +1), 1 ? ? 3 2 3 3 2 ∴ f(-x)=-x +lg(-x+ x +1)=-x +lg? ?=-x -lg(x+ x +1)= 2 ?x+ x +1? -f(x), 3 2 ∴ f(x)是奇函数.又可证 f(x)=x +lg(x+ x +1)是增函数,由 a+b≥0 得 a≥-b, ∴ f(a)≥f(-b),即 f(a)≥-f(b),∴ f(a)+f(b)≥0,反之也成立.故“a+b≥0”是 “f(a)+f(b)≥0”的充要条件. 2 8. 若存在实数 x,使得 x -4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是________. ?3 ? 答案:(-∞,0)∪? ,+∞? ?4 ? 2 2 解析:由题意知只需满足相应方程 x -4bx+3b=0 的判别式Δ >0,则 4b -3b>0,解得 3 b<0 或 b> . 4 9. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1) 全等三角形一定相似; (2) 末位数字是零的自然数能被 5 整除. 解:(1) 逆命题:若两个三角形相似,则它们全等,为假命题;否命题:若两个三角形 不全等,则它们不相似,为假命题;逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不全等,为真 命题. (2) 逆命题:能被 5 整除的自然数末位数字是零,为假命题;否命题:末位数字不是零 的自然数不能被 5 整除,为假命题;逆否命题:不能被 5 整除的自然数末位数字不是零,为 真命题. 2 2 10. 设条件 p:2x -3x+1≤0,条件 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的 充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. ? 1? 1 解:条件 p 为 ≤x≤1,条件 q 为 a≤x≤a+1. ? p 对应的集合 A=?x|x>1或x< ?, ? q 2? 2 ? 对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a}. ∵ ? p 是 ? q 的充分不必要条件,∴ B 真属于 A, 1 1 ∴ a+1>1 且 a≤ 或 a+1≥1 且 a< . 2 2

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1 ? 1? ∴ 0≤a≤ .故 a 的取值范围为?0, ?. 2 ? 2? 2 2 2 11. 已知集合 A={x|x -3x+2≤0}, 集合 B 为函数 y=x -2x+a 的值域, 集合 C={x|x -ax-4≤0},命题 p:A∩B≠ ?;命题 q:A ? C. (1) 若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2) 若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A=[1,2],B=[a-1,+∞),若 p 为假命题,则 A∩B= ?,故 a-1>2,即 a>3.故 a 的取值范围为(3,+∞). (2) 若命题 p∧q 为真命题,则 p 和 q 都为真命题.命题 p 为真,则 a≤3.命题 q 为真, 2 即转化为当 x∈[1,2]时,f(x)=x -ax-4≤0 恒成立. ? ?f(1)=1-a-4≤0, (解法 1)由? 解得 a≥0. ?f(2)=4-2a-4≤0, ? 4 4 ? 4? (解法 2)当 x∈[1,2]时,a≥x- 恒成立,而 x- 在[1,2]上单调递增,故 a≥?x- ? x x ? x? =0. max 综上,a 的取值范围为[0,3].

6


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