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河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科)


河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. ) 1. (5 分)已知集合 M={x|y= M∩N=() A.{x|0<x≤1} },集合 N={y|y=e ,x∈R}(e 是自然对数的底数) ,则
x

B.{x|0<x<1}
2

C.{x|0<x<1}

D.?

2. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)若 sinatana>0,且 A.第一象限 <0,则角 a 是() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

4. (5 分)下列命题中正确的是() A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 5. (5 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b
0.1 0.1 2 2 2 2

D.b>c>a

6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,则该几何体的体积等于 ()

A.4

B. 3

C. 2

D.

7. (5 分)若向量 与 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2, = + ,则有() A. ⊥ B. ⊥ C. ∥ D. ∥

8. (5 分)执行如图的程序框图,若输出的 n=5,则输入整数 p 的最大值是()

A.15

B.14
2

C. 7

D.6

9. (5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则△ POF 的面积为() A. B. C. 2 D.3 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C.
x 2

D.

11. (5 分)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x ﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是() A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C. f(1)<f(a) <f(b) D. f(b)<f(1)<f(a) 12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(﹣1,3]时,f(x) = 则 t 的取值范围为() A.(0, ) B.( ,2) C.( ,3) D.( ,+∞) ,其中 t>0,若方程 f(x)= 恰有 3 个不同的实数根,

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 井)

13. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=x +y 的最小值是.

2

2

14. (5 分)若直线 y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原 点) ,则 k 的值为.

2

2

15. (5 分)定义行列式运算

=a1b2﹣a2b2,将函数 f(x)=

的图象向左平

移 t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为. 16. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,BC= 面积为 1,则 AC 边的长为. ,D 是 AB 边上的一点,CD= ,△ CBD 的

三、解答题: (本丈题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 2 2 17. (12 分)已知函数 f(x)=cos ωx﹣sin ωx+2 cosωxsinωx(ω>0) ,f(x)的图象的两 条相邻对称轴间的距离等于 , 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c, 若 a= ,

b+c=3,f(A)=1,求△ ABC 的面积. 18. (12 分)对某校 2015 届高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生 作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率 上的最大值. (其中 e 为自然对数的底数)

四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于 E,AB=2BE. (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

【选修 4--4:坐标系与参数方程】

23.己知圆 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 cos(θ﹣ ) .

为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数,f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为, + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. ) 1. (5 分)已知集合 M={x|y= M∩N=() A.{x|0<x≤1} },集合 N={y|y=e ,x∈R}(e 是自然对数的底数) ,则
x

B.{x|0<x<1}

C.{x|0<x<1}

D.?

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解函数的定义域及值域化简集合 M,N,然后求交集得答案. 解答: 解:∵M={x|y= ∴M={x|x≤1}. ∵N={y|y=e ,x∈R}, ∴N={y|y>0}. 则 M∩N={x|0<x≤1}. 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域及值域的求法,是基础题. 2. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 x

},

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,可得
2

,解得 a=﹣1.即可判断出.

解答: 解:若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,则
2

2

,解得 a=﹣1.

∴“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”必要也不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义,属于基础题.

3. (5 分)若 sinatana>0,且 A.第一象限

<0,则角 a 是() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由任意角三角函数的符号与象限的对应直接得出即可. 解答: 解:由 sinatana>0 可得角是一、四象限,由 <0 得角是四、三象限角,

可得角 a 是第四象限角. 故选:D. 点评: 本题考查三角 函数值的符号,属于基本概念考查题. 4. (5 分)下列命题中正确的是() A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: 2 2 C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出原命题的否定判断 A; 直接判断原命题的真假得到命题“若 cosx=cosy, 则 x=y” 的逆否命题的真假; 写出命题的否命题判断 C;举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断 D. 2 2 解答: 解:命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1≥0”,命题 A 为假命 题; 当 cosx=cosy 时,x 与 y 要么终边相同,要么终边关于 x 轴对称, ∴命题“若 cosx=cosy,则 x=y”为假命题,则其逆否命题是假命题,命题 B 为假命题; 2 2 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0,命题 C 为真命题; 所有菱形的四边相等,
2 2

∴命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题,命题 D 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了原命题、否命题、逆否命题的写法与真 假判断,是中档题. 5. (5 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数的性质求解. 解答: 解:∵a=4 >4 =1, b=log40.1<log41=0, 0.1 0 0<c=0.4 <0.4 =1. ∴a>c>b. 故选:C. 点评: 本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对 数函数的性质的合理运用. 6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,则该几何体的体积等于 ()
0.1 0 0.1 0.1

D.b>c>a

A.4

B. 3

C. 2

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据已知三视图, 我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥, 结合三视图 中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高,代入棱锥体积公式即可得到答案. 解答: 解:由已知三视图我们可得:几何体为四棱锥,棱锥以俯视图为底面以侧视图高为 高 由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形,故 h= 结合三视图中标识的其它数据,S 底面= ×(1+2)×2=3 故 V= ×S 底面×h= 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积, 其中根据已知三视图, 结合简单 几何体的结构特征易判断出几何体的形状,和相关的几何量(底面边长,高)是解答本题的 关键.

7. (5 分)若向量 与 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2, = + ,则有() A. ⊥ B. ⊥ C. ∥ D. ∥

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 求两个向量的数量积 ,利用向量的分配律展开,将向量的平方用向量模的平

方表示,再利用向量的数量积公式求出值;利用向量垂直的充要条件得到判断结论. 解答: 解:∵ ∴ 故选 A 点评: 解决向量的特殊关系问题,一般考虑向量的数量积是否为 0;考虑向量是否存在数 乘关系. 8. (5 分)执行如图的程序框图,若输出的 n=5,则输入整数 p 的最大 值是() = = =1﹣1=0

A.15

B.14

C. 7

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 S 的值,并输出满足退出循环条件时的 n 值,模拟程序的运行,用表 格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.

解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故 S=15 时,满足条件 S<p S=31 时,不满足条件 S<p 故 p 的最大值 15. 故选 A.

点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 9. (5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则△ POF 的面积为() A. B. C. 2 D.3 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标,利用|PF|=4,求得 P 点的横坐 标,代入抛物线方程求得纵坐标,代入三角形面积公式计算. 解答: 解:由抛物线方程得:抛物线的准线方程为:x=﹣1,焦点 F(1,0) , 又 P 为 C 上一点,|PF|=4,∴xP=3, 代入抛物线方程得:|yP|=2 ,
2

∴S△ POF= ×|0F|×|yP|=



故选:B. 点评: 本题考查了抛物线的定义及几何性质, 熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题 的关键. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C. D.
2

考点: 数列的求和. 专 题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用导数的几何意义赇 出 f(x)=x +x,从而得到 an=
2

=

=



由此利用裂项求和法能求出 S2014. 2 解答: 解:∵f(x)=x +bx,∴f′(x)=2x+b ∵直线 3x﹣y+2=0 的斜率为 k=3, 2 函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行, ∴f′(1)=2+b=3,解得 b=1, 2 ∴f(x)=x +x, ∴an= = = , )=1﹣ = ,

∴Sn=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ∴S2014= .

故选:B. 点评: 本题考查数列的前 2014 项的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数 的几何意义和裂项求和法的合理运用. 11. (5 分)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x ﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是() A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C. f(1)<f(a) <f(b) D. f(b)<f(1)<f(a) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数的零点的判定定理, 可得 0<a<1<b<2, 再由函数 f (x) =e +x﹣2 在 (0, +∞) 上是增函数, 可得结论. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,∴0< a<1.
x

∵函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,g(1)=﹣1<0,g(2)=ln2>0,∴1<b<2. 综上可得,0<a<1<b<2. 再由函数 f(x)=e +x﹣2 在(0,+∞)上是增函数,可得 f(a)<f(1)<f(b) , 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理,函数的单调性的应用,属于中档题. 12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(﹣1,3]时,f(x) = 则 t 的取值范围为() A.(0, ) B.( ,2) C.( ,3) D.( ,+∞) ,其中 t>0,若方程 f(x)= 恰有 3 个不同的实数根,
x

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的周期性. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 确定 f(x)的周期为 4,x∈(5,6)时,f(x)=t(x﹣5) ,x∈(6,7)时,f(x) =t(7﹣x) ,再利用 t>0,f(x)= 恰有 3 个不同的实数根,可得 t(2﹣1)> ,t(6﹣1) <2,即可求出 t 的取值范围. 解答: 解:由 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ,故 f(x)的周期为 4, ∵x∈(1,2)时,f(x)=t(x﹣1) ,x∈(2,3)时,f(x)=t(3﹣x) , ∴x∈(5,6)时,f(x)=t(x﹣5) ,x∈(6,7)时,f(x)=t(7﹣x) , ∵t>0,f(x)= 恰有 3 个不同的实数根, ∴t(2﹣1)> ,t(6﹣1)<2 ∴2>t> , 故选:B. 点评: 本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断,考查学生的计算能力,属于 中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 井)
2 2

13. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=x +y 的最小值是 .

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由约束条件作出可行域如图,然后由 z=x +y 的几何意义求其最小值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如,

z=x +y 的最小值为定点 O 到直线 x+y=1 的距离的平方, 等于 .

2

2

故答案为: . 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14. (5 分)若直线 y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原 点) ,则 k 的值为± . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出弦心距 d= ,再由题意可得 cos = = ,求得 k 的值.
2 2

解答: 解:弦心距 d=

=

,再由题意可得 cos

= = =



解得 k=± , 故答案为:± . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 基础题.

15. (5 分)定义行列式运算

=a1b2﹣a2b2,将函数 f(x)= .

的图象向左平

移 t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为

考点: 矩阵与向量乘法的意义. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由题意求得 f(x)=﹣2sin(2x﹣ 2sin 为奇函数,可得 2t﹣ ) ,把它的图象变换后对应的函数解析式 y=﹣

=kπ,k∈z,由此求得 t 的最小值. = cos2x﹣sin2x=﹣2sin(2x﹣ ) ,

解答: 解:由题意可得函数 f(x)=

把它的图象向左平移 t(t>0)个单位,得到的图象对应的函数为 y=﹣2sin, 由于 y=﹣2sin=﹣sin(2x+2t﹣ ∴t 的最小值为 故答案为: . , )为奇函数,∴2t﹣ =kπ,k∈z.

点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中根据已知中行列式运 算法则及辅助角公式,求出函数的解析式是解答本题的关键. 16. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,BC= 面积为 1,则 AC 边的长为 . ,D 是 AB 边上的一点,CD= ,△ CBD 的

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ BDC 中,通过三角形的面积,求出 cos∠DCB,由余弦定理求出 cos∠BDC,即 可求解∠DCB,然后在△ ADC 中,由正弦定理可求 AC. 解答: 解:∵BC= sin∠DCB=
2 2

,CD=

,△ CBD 的面积为 1,

sin∠DCB=1,

.cos∠DCB=
2

BD =CB +CD ﹣2CD?CBcos∠DCB=4,BD=2, △ BDC 中,由余弦定理可得 cos∠BDC= ∴∠BDC=135°,∠ADC=45° ∵△ADC 中,∠ADC=45°,A=60°,DC= 由正弦定理可得, ∴AC= 故答案为: . . , = ,

点评: 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用, 解题的关键是熟 练掌握基本知识

三、解答题: (本丈题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=cos ωx﹣sin ωx+2 条相邻对称轴间的距离等于
2 2

cosωxsinωx(ω>0) ,f(x)的图象的两 ,

, 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c, 若 a=

b+c=3,f(A)=1,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的余弦函 数公式化为一个角的余弦函数,根据 f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离等于 ,确

定出 f(x)周期为 π,确定出 ω 的值,得出 f(x)解析式,由 f(A)=1,求出 A 的度数, 再由 a 的值,利用余弦定理列出关系式,与 b+c=3 联立求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用 三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解:f(x)=cos2ωx+ sin2ωx=2cos(2ωx﹣ ) , ,

∵ω>0,f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离等于 ∴函数 f(x)的最小正周期为 π,即 ω=1, ∴f(x)=2cos(2x﹣ ) , )=1,即 cos(2A﹣

由 f(A)=1,得到 2cos(2A﹣ ∴2A﹣ = ,即 A= ,

)= ,

∵a= , 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c ﹣bc①, ∵b+c=3, 2 2 2 ∴(b+c) =b +c +2bc=9②, 联立①②,解得:bc=2, 则 S△ ABC= bcsinA= .

点评: 此题考查了余弦定理,三角函数的周期性及其求法,以及三角形的面积公式,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)对某校 2015 届高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生 作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率

勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值,可得 A1D⊥DE.进而求得 棱锥 C﹣A1DE 的体积 为 ? ?CD,运算求得结果.

的值,再根据三

解答: 解: (Ⅰ)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. ∵直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,故 DF 为三角形 ABC1 的中位 线,故 DF∥BC1. 由于 DF?平面 A1CD,而 BC1 不在平面 A1CD 中,故有 BC1∥平面 A1CD.

(Ⅱ)∵AA1=AC=CB=2,AB=2

,故此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形. = . ,A1E=3.

由 D 为 AB 的中点可得 CD⊥平面 ABB1A1 ,∴CD= ∵A1D= 再由勾股定理可得 ∴ ∴ = = ? = ,同理,利用勾股定理求得 DE= +DE = = , ?CD=1.
2

,∴A1D⊥DE.

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用, 求三棱锥的体积, 体现了数形结 合的数学思想,属于中档题. 20. (12 分)设数列满足 a1=2,an+1﹣an=3?2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由题意得 an+1=+a1=3(2 +2 +…+2)+2=2 .由此可知数列{an} 2n﹣1 的通项公式为 an=2 . 2n﹣1 3 5 2n﹣1 (Ⅱ)由 bn=nan=n?2 知 Sn=1?2+2?2 +3?2 ++n?2 ,由此入手可知答案. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,an+1=+a1
2n﹣1 2n﹣3 2(n+1)﹣1 2n﹣1

=3(2

2n﹣1

+2

2n﹣3

+…+2)+2=3×

+2=2

2(n+1)﹣1



而 a1=2, 2n﹣1 所以数列{an}的通项公式为 an=2 . 2n﹣1 3 5 2n﹣1 (Ⅱ)由 bn=nan=n?2 知 Sn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ① 2 3 5 2n+1 从而 2 Sn=1?2 +2?2 +…+n?2 ② 2 3 5 2n﹣1 2n+1 ①﹣②得(1﹣2 )?Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 . 即 .

点评: 本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及 相应运算能力.

21. (12 分)已知函数

,其中 a>0.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; 2 (Ⅲ)设 g(x)=xlnx﹣x f(x) ,求 g(x)在区间上的最大值. (其中 e 为自然对数的底数) 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)先求导函数,直接让导函数大于 0 求出增区间,导函数小于 0 求出减区间即 可; (Ⅱ) 直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即 可求实数 a 的值; (Ⅲ)先求出 g(x)的导函数,分情况讨论出函数在区间上的单调性,进而求得其在区间 上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)′因为函数 ,

∴f′(x)=

=

f′(x)>0?0<x<2,f′(x)<0?x<0,x>2, 故函数在(0,2)上递增,在(﹣∞,0)和(2,+∞)上递减. (Ⅱ)设切点为(x,y) , 由切线斜率 k=1= ,?x =﹣ax+2,①
2 3

由 x﹣y﹣1=x﹣ 把 x=1 代入①得 a=1,

﹣1=0?(x ﹣a) (x﹣1)=0?x=1,x=±



把 x= 代入①得 a=1, 把 x=﹣ 代入①得 a=﹣1, ∵a>0. 故所求实数 a 的值为 1 2 (Ⅲ)∵g(x)=xlnx﹣x f(x)=xlnx﹣a(x﹣1) , ∴g′(x)=lnx+1﹣a,且 g′(1)=1﹣a,g′(e)=2﹣a. 当 a<1 时,g′(1)>0,g′(e)>0,故 g(x)在区间上递增,其最大值为 g(e)=a+e(1 ﹣a) ; 当 1<a<2 时,g′(1)<0,g′(e)>0,故 g(x)在区间上先减后增且 g(1)=0,g(e) >0.所以 g(x )在区间上的最大值为 g(e)=a+e(1﹣a) ; 当 a>2 时,g′(1)<0,g′(e)<0,g(x)在区间上递减,故最大值为 g(1)=0. 点评: 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性, 是 2015 届高考的常考题型. 四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于 E,AB=2BE. (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;立体几何. 分析: (Ⅰ)连接 DE,证明△ DBE∽△CBA,即可证明 BC=2BD; (Ⅱ)先求 DE,利用 CD 是∠ACB 的平分线,可得 DA=1,根据割线定理求出 BD. 解答: (Ⅰ)证明:连接 DE,∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA, ∴ = , …(5 分) = ,

又 AB=2BE,∴BC=2BD

(Ⅱ)由(Ⅰ)△ DBE∽△CBA,知

又 AB=2BE,∴AC=2DE, ∵AC=2,∴DE=1,而 CD 是∠ACB 的平分线,∴DA=1, 设 BD=x,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC 即 x(x+1)= (x+1) , 解得 x=1,即 BD=1 …(10 分)

点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 【选修 4--4:坐标系与参数方程】 23.己知圆 C1 的参数方程为 (φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 cos(θ﹣ ) .

为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将 圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 sin φ+cos φ=1 即可把圆 C1 的参数方程
2 2 2 2 2 2

,化为直角坐标方程.

(II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1.利用点到 直线的距离公式可得圆心(0,0)到此直线的距离 d,即可得出弦长|AB|=2 解答: 解: (I)由圆 C1 的参数方程 消去参数 φ 可得:x +y =1. 由圆 C2 的极坐标方程 ρ=2
2 2 2 2





co s(θ﹣
2 2

) ,化为

?ρ,

∴x +y =2x+2y.即(x﹣1) +(y﹣1) =2. 2 2 2 2 (II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1. 圆心(0,0)到此直线的距离 d= = .

∴弦长|AB|=2

=



点评: 本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、 两圆的相交弦长、 点到 直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数,f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为, + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

考点: 绝对值不等式的解法;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=2,不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5.由绝对值的意义可得﹣1 和 4 到 1、2 的 距离之和正好等于 5,从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5 的解集.

(Ⅱ)由 f(x)≤1 求得 a﹣1≤x≤a+1,再根据 f(x)≤1 的解集为,可得 a=1,再根据 m+2n= (m+2n) ( + )=2+ + ,利用基本不等式证得要证的不等式.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=2,不等式 f(x)≥5﹣|x﹣1|,即|x﹣2|+|x﹣1|≥5. 由绝对值的意义可得,|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到 1、2 的距离之和,而﹣1 和 4 到 1、2 的距离之和正好等于 5, 故|x﹣2|+|x﹣1|≥5 的解集为(﹣∞,﹣1]∪,可得 a=1. 故有 + =1(m>0,n>0) ,∴m+2n=(m+2n) ( + = 时,等号成立,故 m+2n≥4 成立. )=2+ + ≥ 4,

当且仅当

点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,属于基础 题.



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