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椭圆的标准方程


中学数学 高中二年级上学期第6课

椭圆-1
主讲人

官琪

北京市第九中学

如何研究椭圆

如何研究椭圆
(1)由椭圆曲线求它的方程

如何研究椭圆
(1)由椭圆曲线求它的方程 (2)利用方程研究椭圆的性质

实验:绘制椭圆

实验:绘制椭圆
将一条没有弹性的细绳的两端 拉开一段距离,分别固定在图板上 不同的两点 处,并用笔尖拉 紧绳子,再移动笔尖一周,这时笔 尖画出的轨迹是什么图形呢?

F1

F2

实验思考

实验思考
(1)如果调整细绳两端的相对位 置,细绳的长度不变,猜想轨迹会 发生怎样的变化?

实验思考
(2)如果调整细绳的长度,细绳 两端的相对位置不变,猜想轨迹会 发生怎样的变化?

实验思考
(3)细绳两端的距离与绳长等于 或大于绳长,画出的图形还是椭 圆吗?还能画出图形吗?

实验小结

实验小结
设M为曲线上任意一点,

1.当
曲线为椭圆;

时,

实验小结
设M为曲线上任意一点,

2.当
曲线为线段;

时,

实验小结
3.当 时,

曲线不存在。

椭圆定义

椭圆定义
平面内与两个定点 , 的距 离和等于常数(大于 )的点 的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距.

椭圆定义
平面内与两个定点 , 的距 离和等于常数(大于 )的点 的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距.

椭圆定义
平面内与两个定点 , 的距 离和等于常数(大于 )的点 的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距.

椭圆定义
平面内与两个定点 , 的距 离和等于常数(大于 )的点 的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距.

思考:如何求椭圆的方程?

思考:如何求椭圆的方程?
求曲线方程的一般步骤:

思考:如何求椭圆的方程?
求曲线方程的一般步骤:

1.建系设点;

思考:如何求椭圆的方程?
求曲线方程的一般步骤:

1.建系设点;
2.找关系;

思考:如何求椭圆的方程?
求曲线方程的一般步骤:

1.建系设点;
2.找关系;

3.列方程;

思考:如何求椭圆的方程?
求曲线方程的一般步骤:

1.建系设点;
2.找关系;

3.列方程;
4.化简.

建系设点:对称、简洁

建系设点:对称、简洁
y M

F1

o

F2

x

建系设点:对称、简洁
y F1 M o F2

x

找关系
设 为椭圆上任意一点,

找关系
设 为椭圆上任意一点,



找关系
设 为椭圆上任意一点,

,其中

.

列方程(以焦点在x轴为例)
y M

F1

o

F2

x

列方程(以焦点在x轴为例)
因为 ,

列方程(以焦点在x轴为例)
因为 ,

,

列方程(以焦点在x轴为例)
因为 ,

,
所以,

列方程(以焦点在x轴为例)
因为 ,

,
所以, .

……①

化简
整理得,
.

化简
整理得, . ……②

化简
由①②,得:

…… ③

化简
由①②,得:

…… ③

化简
由①②,得:

…… ③

化简,得

化简
化简,得
…… ④

不妨令

不妨令
则④式化为,

不妨令
则④式化为,

椭圆的标准方程
焦点在x轴:
y

M

其中,

F1

o

F2

x

如何求得焦点在 圆的标准方程呢?

轴的椭

如何求得焦点在 圆的标准方程呢?

轴的椭

分析:当焦点在 轴时,只要 将焦点在 轴的椭圆方程中的 的 , 互换,就可以得到它的 方程。

椭圆的标准方程
焦点在y轴:
M y

F1 o F2
x

其中,

椭圆的标准方程
焦点在x轴:

焦点在y轴:

探索椭圆的两种标准方程的异同

探索椭圆的两种标准方程的异同
相同点:形状相同、大小相同;
都有

探索椭圆的两种标准方程的异同
不同点:两种椭圆相对于坐标系的 位置不同,它们的焦点坐标也不同.

探索椭圆的两种标准方程的异同
不同点:两种椭圆相对于坐标系的 位置不同,它们的焦点坐标也不同.

焦点在 轴

标准方程中 的 分母较大

探索椭圆的两种标准方程的异同
不同点:两种椭圆相对于坐标系的 位置不同,它们的焦点坐标也不同.

焦点在 轴

标准方程中 的 分母较大

例题讲解
例1 求下列方程所表示的椭圆的焦 点坐标:

分析:根据椭圆的标准方程,能
够确定椭圆焦点所在坐标轴,然

后再根据
写出焦点坐标.

的关系求出 值

例题讲解
例1 求下列方程所表示的椭圆的焦 点坐标:

解:(1)已知方程就是椭圆的标准 方程,因为 ,可知这个方程的 焦点在x轴上,

解:(1)已知方程就是椭圆的标准 方程,因为 ,可知这个方程的 焦点在x轴上,

解:(1)已知方程就是椭圆的标准 方程,因为 ,可知这个方程的 焦点在x轴上, 且 ,得

解:(1)已知方程就是椭圆的标准 方程,因为 ,可知这个方程的 焦点在x轴上, 且 ,得 因此,椭圆的焦点坐标为

例题讲解
例1 求下列方程所表示的椭圆的焦 点坐标:

(2)把已知椭圆方程化为标准方程

(2)把已知椭圆方程化为标准方程

由8>3可知这个方程的焦点在y轴上,

(2)把已知椭圆方程化为标准方程

由8>3可知这个方程的焦点在y轴上, 且 得

(2)把已知椭圆方程化为标准方程

由8>3可知这个方程的焦点在y轴上, 且 得 因此,椭圆的焦点坐标为

小结:
已知椭圆方程求焦点坐标的一般步骤:

小结:
已知椭圆方程求焦点坐标的一般步骤: 1、化标准方程;

小结:
已知椭圆方程求焦点坐标的一般步骤: 1、化标准方程; 2、判断焦点位置;

小结:
已知椭圆方程求焦点坐标的一般步骤: 1、化标准方程; 2、判断焦点位置; 3、计算c值;

小结:
已知椭圆方程求焦点坐标的一般步骤: 1、化标准方程; 2、判断焦点位置; 3、计算c值; 4、写焦点坐标.

例2 已知椭圆

的焦距

为4, 求 的值.

解:若椭圆焦点在 轴,

解:若椭圆焦点在 轴, 则

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4,

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4, 则

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4, 则 所以,

解:若椭圆焦点在 轴,

解:若椭圆焦点在 轴, 则

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4,

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4, 则

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4, 则 所以,

解:若椭圆焦点在 轴, 则 得 又因为焦距为4, 则 所以, 综上, 的值为5或13.

点评:先定位,后定量

例3 求适合下列条件的椭圆的标准 方程: (1)已知椭圆焦点的坐标分别是
椭圆上一点到 两焦

点的距离的和等于10;

分析:求椭圆的标准方程应先确定 焦点位置,设出标准方程,若不能 确定焦点位置,则应分类讨论,再 用待定系数法确定 的值.

解:(1)椭圆的焦点在
设它的标准方程为

轴上,

由已知得,



由已知得,



又因为

所以

由已知得,



又因为

所以

因此,所求椭圆的标准方程为

(2)已知椭圆焦点的坐标分别是 且经过点

求椭圆的标准方程;

解:椭圆的焦点在 标准方程为

轴上,设它的

解法一:椭圆的焦点在 它的标准方程为

轴上,设

由已知得,

所以,所求椭圆的方程为

解法二:椭圆的焦点在 它的标准方程为

轴上,设

解法二:椭圆的焦点在 它的标准方程为

轴上,设

由已知得,

所以

又因为点

在曲线上,所以

所求椭圆的方程为

整理,得

整理,得

解得,

整理,得

解得, 因此,所求椭圆的标准方程为

(3)已知中心在原点,焦点在坐标

轴上,且过点
求椭圆的标准方程.

解法一:若椭圆的焦点在 设它的标准方程为

轴上,



在椭圆上,



在椭圆上,





② ② ①,得



③ 将③带入②,得

③ 将③带入②,得 因此,所求椭圆的标准方程为

若椭圆的焦点在 准方程为

轴上,设它的标



在椭圆上,



在椭圆上,





⑤ ⑤ ④, 得



⑥ 将⑥带入⑤,得

⑥ 将⑥带入⑤,得 这与 矛盾,舍去.

⑥ 将⑥带入⑤,得 这与 矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为

解法二:设椭圆方程为



在椭圆上,

解得,

解得,

因此,所求椭圆的标准方程为

例4 已知 是两个定点,且 的周长等于18,求这个三角形的 顶点A的轨迹方程。 A

B

C

解:以过 两点的直线为 轴, 线段 的垂直平分线为 轴,建立 直角坐标系 ,如图:y
A

B

O

C x

解:以过 两点的直线为 轴, 线段 的垂直平分线为 轴,建立 直角坐标系 ,如图:y 由 可知 点 点
A

B

O

C x










所以,点 不在x轴上. 的轨迹是以 为焦点 且点A 的椭圆,该椭圆




所以,点 的轨迹是以 为焦点 且点A 的椭圆,该椭圆

不在x轴上.因此,点 的轨迹方程为

例6 已知点 过点 的直线 与过点 的直线 相交于 点 ,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 .如果 ,求 点 的轨迹方程,并说明此轨迹是 何种曲线.

A

解:设

点坐标为



A

解:设

点坐标为



A

解:设

点坐标为



整理,得

整理,得 此点的轨迹是椭圆(除与x轴交点).

点评 求椭圆方程的一般方法:

点评 求椭圆方程的一般方法:

1.待定系数法

点评 求椭圆方程的一般方法:

1.待定系数法
2.定义法

点评 求椭圆方程的一般方法:

1.待定系数法
2.定义法 3.坐标法

例5 已知点
上任意一点, 点,求:

为椭圆
为椭圆的两个焦

(1)
(2)

的最大值;
的最小值.

解:(1)

解:(1) 解法一:

解:(1) 解法一:

解:(1) 解法一:

解:(1) 解法一:

解法一:

解法一:



时取得最大值为4.

解法二:
设点 的坐标为 ,

解法二:
设点 的坐标为 ,

解法二:
设点 的坐标为 ,



时,取得最大值为4.

解法三:

解法三:

当且仅当

,取得最大值4.

例5 已知点
上任意一点, 点,求:

为椭圆
为椭圆的两个焦

(2)

的最小值.

解:

解:

解:

解:



时取得最小值为8.

点评 几何中最值问题的解决方法:

点评 几何中最值问题的解决方法: 1.几何法

点评 几何中最值问题的解决方法: 1.几何法 2.函数法

点评 几何中最值问题的解决方法: 1.几何法 2.函数法 3.不等式法

课堂小结
知识: 方法: 思想:

课堂小结
知识:椭圆的定义及其标准方程; 方法: 思想:

课堂小结
知识:椭圆的定义及其标准方程; 方法:坐标法,待定系数法; 思想:

课堂小结
知识:椭圆的定义及其标准方程; 方法:坐标法,待定系数法; 思想:方程思想,函数思想等.

课后反馈
1.必做:教科书上习题2-2A第 1,2, 3,4题,习题2-2B第 1题; 2.选做:阅读数学史资料,尝试回 答“为什么平面斜截圆锥,截口曲 线是椭圆”.


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