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2017年马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及答案


2017 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试





【注意事项】 1.本试卷共 4 页,总分 150 分,答题时长 120 分钟,请掌握好时间。
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项的代号填入答题卷相应表格中 . ) .......... 1.将一些棱长为 1 的正方体摆放在 3 ? 3 的平面上(如图 1 所示) ,其正视图和侧视图分别如图 2、图 3,记摆放的正方 体个数的最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? ( A. 4 B. 5 C. 6 ) D. 7

图1

图2

图3

第1题图
2.多项式 4( x ? 1) ? ( x ? 1) ( x ? 3) ? ( x ? 1) 等于下列哪个选项(
2 2 3

) D. 2( x ? 1) ( x ? 1)
2

A. 2 x( x ? 1)

2

B. 2 x ( x ? 1)( x ? 1)

C. x( x ? 1)( x ? 1)

3.甲、乙两人在玩一种纸牌,纸牌共有 40 张.每张纸牌上有 1 至 10 中的一个数,每个数有四种不同的花色.开始时,每 人有 20 张牌,每人将各自牌中相差为 5 的两张牌拿掉,最后甲还有两张牌,牌上的数分别为 4 和 a ,乙也还有两张 牌,牌上的数分别为 7 和 b ,则 b ? a 的值是( A. 3 B. 4 C. 6 ) D. 7 ) :

4.已知 x 为实数,且 | 3x ? 1 | ? | 4 x ? 1 | ? A. 5 B. 10

? |17 x ? 1 | 的值是一个确定的常数,则这个常数的值是(
C. 15 D. 75

5. [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数(如[? ]=3,[-? ]=-4,[ ? 4]=-4),记 M=[x]+[2x]+[3x]. 将不能表示成 M 形式的正 整数称为“隐形数”.则不超过 2014 的“隐形数”的个数是( A. 335 B. 336 C. 670 ) D. 671
B

6.如图,点 O 为锐角 ?ABC 的外心,点 D 为劣弧 AB 的中点, 若 ?BAC ? ? , ?ABC ? ? , 且? ? ? , 则 ?DCO ? ( A. )

D O A 第6题图 C

? ??

2 3 3 4 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分.将答案填在答题卷中 ......
上 . ) .
数学试卷 第1 页 共4页

B.

???

C.

? ??

D.

? ??

相应横线 ....

7.如果不等式 | x ? a | ? | x |? 2 没有实数解,则实数 a 的取值范围 8.已知实数 x 满足 2 x 2 ? x3 ? x ? 2 ? x ,则 x 的取值范围是 9.函数 y ? ; ;



x 2 ? 4 x ? 13 ?

x 2 ? 4 x ? 8 的最大值为

10. 设 a、 b 为实数,已知坐标平面上的抛物线 y ? x2 ? ax ? b与 x 轴交于 P、 Q 两点,且线段 PQ ? 7 . 若抛物线

y ? x2 ? ax ? b ?8 与 x 轴交于 R、 S 两点,则线段 RS =



11.正方形 ABCD 中,两个顶点到直线 l 的距离相等,且均为另两个顶点到直线 l 的距离的两倍,则这样的 直线有 条; ;

12.使二次方程 x 2 ? 2 px ? p2 ? 5 p ? 1 ? 0 的两根均为整数的质数 p 的所有可能值为

13.在平面直角坐标系中,不管实数 a 取什么实数,抛物线 y ? ax 2 ? 2 x ? 3 的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关 系式是 ;
1 a?b?c ? 1 b?c?a ? 1 c?a ?b ? 1 ,则 abc ?

14.已知实数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,

; ;

15.如图, P 为等边 ?ABC 内一点, PA ? 2, PB ? 1, PC ? 3, 则 ?ABC 的面积为

16.如图,在 ?AOB 的边 OA 上过到点 O 的距离为 1, 3, 5, 7, …的点作互相平行的直线,分别与 OB 相交,得到如图中所 示的阴影梯形,它们的面积依次记为 S1 , S2 , S3 , …. 则

S 2014 S2013

?



A
S3 9 11… A

B

P B
第15题图

S2

C

O 1

S1 3

5 7

第16题图

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.将答案填在答题卷中相应 位置处 ,答题应写出文字说明、证明过程或演算步 ........ ... 骤. ) 17.(本题满分 10 分)计算

1 4 ? 59 ? 30 2

?

1 3 ? 66 ? 40 2

数学试卷

第2 页

共4页

18.(本题满分 12 分)甲、乙两辆汽车同时从同一地点 A 出发,沿同方向直线行驶,每辆车最多只能带 240 L 汽油(含 油箱中的油) ,途中不能再加油,每升油可使一辆车前进 12 km ,两辆车都必须沿原路返回出发点 A ,但是两车相 互可借用对方的油.请你设计一种方案,使其中一辆车尽可能地远离出发点 A ,并求这辆车一共行驶了多少千米?

C 2 ?C EC ?A . 19.(本题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 内接于 O , AB 是 O 的直径, AC 和 BD 相交于点 E , 且D
(1)求证: BC ? CD (2)分别延长 AB , DC 交于点 P ,过点 A 作 AF ? CD 交 CD 的延长线于点 F ,若 PB ? OB ,CD ? 2 2, 求 DF 的 长.

第19题图

20.(本题满分 13 分)如图,已知抛物线 y ?

k 8

( x ? 2)( x ? 4) ( k 为常数,且 k ? 0 )与 x 轴从左至右依次交于 A, B

两点,与 y 轴交于点 C ,经过点 B 的直线 y ? ?

3 3

x ? b 与抛物线的另一交点为 D .

(1)若点 D 的横坐标为 ?5 ,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点 P ,使得以 A, B , P 为顶点的三角形与 ?ABC 相似,求 k 的值;
数学试卷 第3 页 共4页

(3)在(1)的条件下,设 F 为线段 BD 上一点(不含端点) ,连接 AF ,一动点 M 从点 A 出发,沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F ,再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止,当点 F 的坐标是多少时,点 M 在整 个运动过程中用时最少?

第20题图

21.(本题满分 13 分)一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差,则称这个自然数为“好数”.例如,

16 ? 52 ? 32 就是一个“好数”.
(1) 2014 是不是“好数”?说明理由. (2)从小到大排列,第 2014 个“好数”是哪个自然数?

数学试卷

第4 页

共4页

数学试题答案及评分标准
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )
题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分. )
题号 答案 题号 答案 (7) (8) ( 9) (10) 9 (15) (11) 12 条 (16)

a ? 2或a ? ?2

0? x?2
(13)

17
(14) 0

(12) 3或7

y ? x?3

7 3 4

4027 4025

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.答题应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 ) ......... .........
17.解:原式=

1 4 ? 50 ? 2 450 ? 9
1 4 ? (5 2 ? 3)
2

?

1 3 ? 50 ? 2 800 ? 16
1

?

?

3 ? (5 2 ? 4) 2

?

1 1 ? ………………………………………………5 分 7?5 2 7?5 2

? 5 2 ?7?7?5 2
? ?14 ………………………………………………………………10 分
18.解:设尽可能远离出发点 A 的甲汽车行驶了 xkm ,乙汽车行驶了 ykm ,则

? x ? y ? 240 ? 12 ? 2 ? ? x ? y ? 240 ? 12
1 1 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 4320 ,即甲车一共行驶了 4320km .………………………6 分 2 2 具体的方案是:两辆汽车行驶了 720km 后,乙车借给甲车 60 L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进 1440km 后返回,碰到乙 车时再借 60 L 汽油,然后两车回到出发点 A .………………12 分
而x? 19.(1)证明:

DC 2 ? CE ? CA,
∴ ?CDE ∽ ?CAD ∴ ?CDB ? ?DBC , ∵四边形 ABCD 内接于 O ,
数学试卷 第5 页 共4页

∴ BC ? CD ………………………………………………3 分 (2)解:如图,连接 OC , ∵ BC ? CD ,∴ ?DAC ? ?CAB , 又∵ AO ? CO ,∴ ?CAB ? ?ACO ,∴ ?DAC ? ?ACO , ∴ AD ∥ OC ,∴

PC PO ? , PD PA

∵ PB ? OB, CD ? 2 2, ∴

PC 2 ? ,? PC ? 4 2. PC ? 2 2 3

又∵ PC ? PD ? PB ? PA ∴ PA ? 4 也就是半径

OB ? 4 ,……………………6 分
在 RT ?ACB 中, AC ?

第 19 题图

AB 2 ? BC 2 ? 82 ? (2 2)2 ? 2 14,
? ? ?

∵ AB 是直径,∴ ?ADB ? ?ACB ? 90 ∴ ?FDA ? ?BDC ? 90 , ?CBA ? CAB ? 90 ∵ ?BDC ? ?CAB ∴ ?FDA ? ?CBA 又∵ ?AFD ? ?ACB ? 90 ,∠AFD=∠ACB=90° ∴ ?AFD ∽ ?ACB ∴
?

AF AC 2 14 ? ? ? 7, ………………………………9 分 FD CB 2 2

在 RT ?APF ,设 FD ? x ,则 AF ?

7x ,
3 2 .………………………………12 分 2

∴ ( 7 x)2 ? ( x ? 6 2)2 ? 122 , 求得 DF ? 20.解: (1)抛物线 y ?

k 8

( x ? 2)( x ? 4) ,令 y ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? 4 ,

∴ A( ?2,0) , B(4,0) .∵直线 y ? ?

3 3

x ? b 经过点 B(4,0) ,∴解得 b ?

4 3 , 3

∴直线 BD 解析式为: y ? ?

3 3

x?

4 3
3



当 x ? ?5 时, y ? 3 3 ,∴ D(?5,3 3) 在抛物线 y ?

k 8

( x ? 2)( x ? 4) 上,

解得 b ?

8 3 .………………………………………………………………………3 分 9

(2)由抛物线解析式,令 x ? 0 ,得 y ? ? k ,∴ C (0, ?k ) , OC ? k . 点 P 在第一象限内的抛物线上,所以 ?ABP 为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是 ?ABC ∽ ?APB 或
?ABC ∽ ?ABP .
数学试卷 第6 页 共4页

①若 ?ABC ∽ ?APB ,则有 ?BAC ? ?PAB ,如答图 2﹣1 所示.设 P ( x , y ) ,过点 P 作 PN ? x 轴于点 N ,则

ON ? x, PN ? y .
tan ?BAC ? tan ?PAB ,即:

k y k ? ,? y ? x ? k . 2 x?2 2

∴ P ( x,

k x ? k ) ,代入抛物线解析式整理得: x 2 ? 6 x ? 16 ? 0 , 2

解得: x ? 8 或 x ? 2 (与点 A 重合,舍去) ,∴ P(8,5k ) . ∵ ?ABC ∽ ?APB ,∴

AC AB ? , AB AP
,解得: k ?



k2 ? 4 ? 6

6 25k 2 ? 100

4 5 .……………………………………7 分 5
2.

②若 ?ABC ∽ ?ABP ,则有 ?ABC ? ?PAB ,如答图 2﹣2 所示.同理,可求得 k ?

综上所述, k ?

4 5 或 k ? 2 .………………………9 分 5
则 DN ? 3 3 ,

(3) 由 (1) 知:D(?5,3 3) , 如答图 3, 过点 D 作 DN ? x 轴于点 N ,

ON ? 5, BN ? 9, ∴ tan ?DBA ?
过点 D 作 DK

DN 3 ? , ∴ ?DBA ? 30? , BN 3

x 轴,则 ?KDF ? ?DBA ? 30? ,
1 DF .由题意,动点 M 运动的路径为折线 AF ? DF ,运动时间: 2

过点 F 作 FG ? DK 于点 G ,则 FG ?

t ? AF ?

1 DF ? AF ? FG . 2

由垂线段最短可知,折线 AF ? FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段.过点 A 作 AH ? DK 于点 H ,则

tmin ? AH , AH 与直线 BD 的交点,即为所求之 F 点.
∵ A 点横坐标为 ?2 ,直线 BD 解析式为:
数学试卷 第7 页 共4页

y??

3 3

x?

4 3
3

∴ F (?2,2 3) .………………………………………………………13 分

21、 (1) 2014 不是 “好数” .如果 2014 是 “好数” , 不妨设 2014 ? m2 ? n2 (m、n为自然数), 则 (m ? n)(m ? n)=2 ? 1007 , 而 m ? n、m ? n 的 奇 、 偶 性 相 同 , 即 (m ? n) (m? n)要 么 是 奇 数 要 么 能 被 4 整 除 . 所 以 2014 不 是 “ 好 数”.…………………………………………4 分 (2)设 k 为自然数,由(1)类似可得如 4k ? 2 的自然数都不是“好数”

(k ? 1)2 ? (k ? 1)2 ? 4k ,(k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 1 ,
故 4 k , 2k ? 1 的自然数都是“好数” ,……………………………………………………10 分 所以从小到大的“好数”为:0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第 n 个“好数”为 n ? 1 ? [ ] ,所以第 2014 个“好数” 为 2684.…………………………………………………………13 分

n 3

数学试卷

第8 页

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