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江苏省徐州市2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)


徐州市 2016-2017 学年度第一学期期中考试

高一数学试题
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx? 1 是偶函数,则 m ? .

2. 集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2} , N ? { y | 0 ? y ? 2} 给出下列四个图形,其中能表示 以 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是 .

3. 已知函数 f ( x) 与 g ( x) 分别由下表给出,那么 g ( f (2)) ?

. 2 3 3 4 4 1

x
f ( x)

1 2
0

2 3

3 4
?1

4 1

x
f ( x)

1 2 .

? 2? ?9? 2 4. 化简: ? ? ? 2?2 ? ? ? ? (lg8 ? lg125) ? ? 3? ? 16 ?

5. 用“ ? ”将 0.2?0.2 、 2.3?2.3 、 log0.2 2.3 从小到大排列是

. .

?1? 6. 函数 f ( x) ? ? ? ? 1 , x ?[?1,1] 的值域是 ?2?

x

7. 已知集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? m} ,若 B 是 A 的子集,则实数 m 的取值 范围为 . .

? f ( x ? 2), ( x ? 2) 8. 若函数 f ( x) ? ? ,则 f (?4) ? log x , ( x ? 2 ) ? 2
9. 函数 f ( x) ?
x ?1 的定义域为 x?2

.

10.设 f ( x) 为奇函数,且 f ( x) 在 (??,0) 内是增函数, f (?2) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的 解集为 . .
1

11.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 的单调增区间为

12.已知 f ( x) ? mx2 ? mx? 1 的定义域是一切实数,则 m 的范围是 13.已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?2) ? 10 ,则 f (2) ? .

.

14.已知函数 f ( x) ? e|x| ? | x | ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实 数 k 的取值范围是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本题满分 14 分)二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ( x ? R) ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式;(2)当 x ?[?1,1] 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的值域.

16.(本题满分 14 分)设集合 A ? {x | x 2 ? 9} , B ? {x | ( x ? 2)(x ? 4) ? 0} . (1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求 a、 b 的值.

2

17.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? x .(1)用分段函数的形式表示该函 数,并在所给的坐标系中划出该函数的图象;(2)写出该函数的值域、单调区 间(不要求证明);(3)若对任意 x ? R ,不等式 | 2 x ? 1 |? a ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 15 分)某企业生产一种机器的固定成本为 0.5 万元, 但每生产 1 百台 时,又需可变成本(即另增加投入) 0.25 万元. 市场对此商品的年需求量为 5
1 百台,销售的收入(单位:万元)函数为: R( x) ? 5 x ? x 2 (0 ? x ? 5) ,其中 x 是 2

产品生产的数量(单位:百台).(1)将利润表示为产量的函数;(2)年产量是多 少时,企业所得利润最大?

3

1? 2x 19.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 是奇函数. (1)求实数 a 的值; a ? 2 x ?1

(2)判断函数 f ( x) 的单调性,并给以证明;

(3)求函数 f ( x) 的值域.

20.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 2a ?1 (a ? 0) . (1)若 f ( x) 在区间 [1,2] 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式;

1 ?1? (3)设 h( x) ? ? ? ? log2 ,若对任意 x1 , x2 ?[1,2] ,不等式 f ( x1 ) ? h( x2 ) 恒 x ?1 ? 2?
成立,求实数 a 的取值范围.

x

4

2016~2017 学年度第一学期期中考试

高一数学试题参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 0; 2. ②; 3. 4; 4.
13 ; 3

5. log0.2 2.3 ? 2.3?2.3 ? 0.2 ?0.2 ;

?3 ? 6. ? , 3? ;7. m ? 2 ;8. 1; ?2 ?

9. [1,2)∪(2,+∞);10. (??,?2) ? (2,??) ; 12. 0 ? m ? 4 ; 13. ? 8 ;
( 1, ? ?) 14. .

11. (?4,?1) (或 [?4,?1] );

二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分. 15.【答案】(1)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,得 a( x ? 1 ? x) ? b ? 2 x , ……… 1 分 即 2ax ? (a ? b) ? 2 x , …………………………………… 3 分

?2a ? 2 ?a ? 1 所以 ? ,解得 ? , ………………………… 5 分 ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
又 f (0) ? c ? 1 ,所以 f ( x) ? x2 ? x ? 1 .…………………… 7 分
3 5 (2) g ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? , x ?[?1,1] ,…………… 9 分 2 4

对称轴方程为 x ?

3 ,对称轴在区间的右边, 2

所以 g ( x) 在 [ ?1,1] 上递减, ……………………………… 11 分 因为 f (?1) ? 5 , f (1) ? ?1 , 所以 g ( x) 的值域为 [?1,5] . ……………………………… 14 分

16.解: (1)因为 A ? {x | x 2<9} ? {x | ?3<x<3} ,

…………………2 分 ……………4 分

B ? {x( | x ? 2)(x ? 4)<0} ? {x | ?4<x<2}.

? A ? B ? {x | ?3<x<3} ? {x | ?4<x<2} ? {x | ?3<x<2} ; ……6 分

(2) A ? B ? {x | ?3<x<3} ? {x | ?4<x<2} ? {x | ?4<x<3} 因为 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B , 所以 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | ?4<x<3} ,

……8 分

………………10 分

5

所以 4 和 3 为 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,
? a ? ? ?4 ? 3 ? ? 2 故? , ? b ? ?4 ? 3 ? ?2

…………………12 分

解得: a ? 2, b ? ?24 .

……………………………… 14 分

? 1? ? ?1 ? 3x? x ? 2 ? ? ? ? 17. 解: (1) f ?x ? ? ? ,图像如图所示: …………………………… 3 分 1 ? ? ? x ? 1? x ? ? ? 2? ? ?

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x

………………………………6 分

1? ? ?1 ? (2) f ?x ? 在 ? - ?, ? 上单调递减,在 ? , ? ? ? 上单调递增,……………8 分 2? ? ?2 ?

? 1 ? f ?x ? 的值域是 ?- , ? ? ? . …………………………………………10 分 ? 2 ?
(3)∵对任意 x ? R ,不等式 2x ?1 ? a ? x 恒成立, ∴ a ? 2x ?1 - x 对任意 x ? R 恒成立,………………………………12 分
? 1 ? 又∵函数 f ?x? ? 2x ?1 ? x 的值域是 ?- , ? ?? , ? 2 ?
1 ∴ a ? ? . …………………………………………………………15 分 2

18.解: (1)当 0 ? x ? 5 时,产品能全部售出 成本为 0.25 x ? 0.5 ,收入为 5 x ?
1 2 x 2

6

1 1 利润 f ? x ? ? 5 x ? x 2 ? 0.25 x ? 0.5 ? ? x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ……………3 分 2 2

当 x ? 5 时,只能销售 5 百台成本为 0.25 x ? 0.5 ,
1 25 销售收入为 5 ? 5 ? ? 52 ? , 2 2

利润 f ? x ? ?

25 ? 0.25 x ? 0.5 ? ?0.25 x ? 12 , 2

……………………….6 分

??0.5 x 2 ? 4.75 x ? 0.5 综上, 利润函数 f ? x ? ? ? ??0.25 x ? 12
(2)当 0 ? x ? 5 时, f ? x ? ? ?
1 2 ? x ? 4.75? ? 10.78125 2

0? x?5 x?5

………..8 分

当 x ? 4.75 时, f ? x ?max ? 10.78125 万元 当 x ? 5 时,函数 f ? x ? 是减函数 则 f ? x ? ? 12 ? 0.25 ? 5 ? 10.75 万元,

………………………11 分

………………………………..14 分 ……………………….15 分 ………………2 分

综上,当年产量是 475 台时,利润最大, 另: (1)成本为 0.25 x ? 0.5 ,收入为 5 x ?
1 2 x , 2

1 1 利润 f ? x ? ? 5 x ? x 2 ? 0.25 x ? 0.5 ? ? x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ( 0 ? x ? 5 )…8 分 2 2
1 1 2 (2) f ? x ? ? ? x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ? ? ? x ? 4.75 ? ? 10.78125 …………..12 分 2 2

当 x ? 4.75 时, f ? x ?max ? 10.78125 万元

………………………..14 分

答:当年产量是 475 台时,利润最大。…………………………..15 分 注:无定义域扣 2 分

19.解: (1)由题得 f (? x) ? f ( x) ,即 化简得 2x ?1 ?a ? 2? ? 0 ,

1 ? 2? x 1? 2x ? ? , a ? 21? x a ? 2 x ?1

?

?

因为此式恒成立,所以 a ? 2 . ……………………………………5 分

(2)函数 f ( x) 在 R 上是单调减函数.…………………………………7 分

7

f ( x) ?

1 ? 2x 1? 2 ? ? ? ?1 ? x ? x ?1 2?2 2 ? 2 ?1?

设 x1 , x2 是 R 上任意两个值,且 x1 ? x2 ,

1? 2 ? 1? 2 ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ?1 ? x1 ? ? ?1 ? x2 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? 2 ?1?

1 1 2 x2 ? 2 x1 ? x1 ? ? 2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

?

??

?

? x1 ? x2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ,又? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

?

??

?

? 函数 f ( x) 在 R 上是单调减函数.
x 1? 2 y (3)由 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 得 2 x ? , 2 y ?1 2?2

……………………………10 分



1 1 1? 2 y ? 0 解得 ? ? y ? , 2 2 2 y ?1

? 1 1? 所以函数 f ( x) 的值域为 ? ? , ? . ? 2 2?

…………………………16 分

20.解: f ( x) 在区间 [1,2] 为单调增函数
?1 1 ? ?1 所以 ? 2a ,所以 a ? , 2 ? ?a?0

??????????????2 分[m]

(2)当 x ? [1,2] 时, f ( x) ? ax2 ? x ? 2a ? 1. ∵ f ( x) ? a( x ?
1 2 1 ) ? 2a ? ? 1, 2a 4a
1 . 2a

f ( x) 图像的对称轴是直线 x ?

①当 0 ?

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, f ( x) 在区间 [1,2] 上时增函数, 2 2a

g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 , ?????????????????6 分

②当 1 ?

1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 时, 2a 4 2

g (a) ? f (

1 1 ) ? 2a ? ? 1 , ???????????????7 分 2a 4a
8

③当

1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在区间 [1,2] 上是减函数, 2a 4

g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 , ?????????????????8 分

? ? 1? ?6a ? 3, a ? ? 0, 4 ? ? ? ? ? 1 ?1 1? ? 1, a ? ? , ? , 综上所述: g (a ) ? ?2a ? 4a ?4 2? ? ? ?1 ? ?3a ? 2, a ? ? ,?? ? ?2 ? ?

?????????10 分

(3) 对任意 x1 , x2 ? ?1,2? ,不等式 f ( x1 ) ? h( x2 ) 恒成立, 即 f ( x) min ? h( x) max 由(2)知, f ( x) min ? g (a)
1 1 ?1? ? ? ? ? log 1 ( x ? 1) 又因为函数 h( x) ? ( ) x ? log 2 2 x ?1 ? 2 ? 2
x

所以函数 h( x) 在 [1,2] 上为单调减函数, 所以 h( x) max ? h(1) ? ①当 0 ? a ?

1 1 ? log 1 2 ? ? ,???????????12 分 2 2 2

1 时,由 g (a) ? h( x) max 得 4

5 1 6a ? 3 ? ? ,解得 a ? , (舍?13 分 12 2

②当

1 1 1 1 ? a ? 时,由 g (a) ? h( x) max 得 2a ? ?1 ? ? , 4 2 4a 2

即 8a 2 ? 2a ? 1 ? 0,? (4a ? 1)(2a ? 1) ? 0 解得 a ? 所以 a ? ③当

1 1 或a ? ? 2 4

1 ,?????????????????? ???1 5 分 2

1 1 1 ? a 时,由 g (a) ? h( x) max 得 3a ? 2 ? ? ,解得 a ? , 2 2 2 1 2

所以 a ?

?1 ? 综上所述:实数 a 的取值范围为 ? ,?? ? , ?????????16 分 ?2 ?

9


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