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江苏省常州市2013-2014学年高二下学期期末学业水平监测数学理试题 Word版含答案(苏教版)


2013-2014 学年江苏省常州市高二(下)期末数学试卷(理 科)
一、填空题(本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知复数 z1=1+i, z2=m﹣( i m∈R, i 是虚数单位) , 若 z1?z2 为纯虚数, 则 m= 2.二项式(x﹣ ) 的展开式中第 5 项的二项式系数为
6

_________ .

_________ . (用数字作答)

3.若随机变量 X~B(3, ) ,则 P(X=2)= _________ . 4.计算: + = _________ . (用数字作答)

5.抛掷一颗质地均匀的骰子,设 A 表示事件“正面向上的数字为奇数”、B 表示事件“正面向 上的数字大于 3”,则 P(A|B)= _________ . 6. 用 0, 1, 2, 3 四个数字, 组成没有重复数字的四位数, 则其中偶数的个数为 _________ . 7.已知函数 f(x)=sin(2x﹣
*

) ,那么 f′ (

)的值是 _________ .

8.记 n!=1×2×…n(n∈N ) ,则 1!+2!+3!+…+2014!的末位数字是 _________ . 9.已知随机变量 X 的概率分布如下表所示,且其数学期望 E(X)=2, X 0 1 2 3 P a b 则随机变量 X 的方差是 _________ . 10. 已知在等比数列{an}中, 若 m+2n+p=s+2t+r, m, n, p, s, t, r∈N , 则 am?an ?ap=as?at ?ar. 类 比此结论,可得到等差数列{bn}的一个正确命题,该命题为:在等差数列{bn}中,若 * m+2n+p=s+2t+r,m,n,p,s,t,r∈N ,则 _________ . 11.设正四棱锥的侧棱长为 3,则其体积的最大值为 _________ . 12.已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为 和 ,若两人各投 2 次,则两人投中次数相等 的概率为 _________ . 13.已知函数 f(x)的导函数 f′ (x)是二次函数,且 f′ (x)=0 的两根为 0 和 2,若函数 f(x)在开区间(2m﹣3, )上存在最大值和最小值,则实数 m 的取值范围为
* 2 2

_________ . 14. 某宿舍的 5 位同学每人写一张明信片并放在一个不透明的箱子中, 每人从中任意取出一 张,记一个“恰当”为有一位同学取到的明信片不是自己写的,用 ξ 表示“恰当”的个数,则随 机变量 ξ 的数学期望是 _________ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分)某小组有 4 名男生,3 名女生. (1)若从男,女生中各选 1 人主持节目,有多少种不同的选法? (2)若从男,女生中各选 2 人,组成一个小合唱队,要求站成一排且 2 名女生不相邻,共 有多少种不同的排法?

16. (12 分)设(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x 求: (1)a0+a1+a2+a3+a4 2 2 (2) (a0+a2+a4) ﹣(a1+a3+a5) . 17. (12 分)已知函数 f(x)= (x>﹣1) .

5

2

3

4

5

(1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求 f(x)的最小值. 18. (14 分)在 1,2,3,…,9 这 9 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中恰有 2 个是奇数的概率; (2)设 X 为所取 3 个数中奇数的个数,求随机变量 X 的概率分布及数学期望. 19. (15 分) 已知数列{an}的首项 a1=1, 设 Tn=a1 +a2 +a3 +…+an +an+1 (n∈N ) .
*

(1)若数列{an}是等差数列,且公差 d=2,求 Tn; (2)若数列{an}是等比数列,且公比 q=2. ① 求 Tn; 2 * ② 用数学归纳法证明:Tn>n +2n(n∈N ,n≥2) . 20. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣alnx,a∈R. (1)若 a=2,求函数 f(x)的极小值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)若方程 f(x)=0 在区间[ ,e]上有且只有一个解,求实数 a 的取值范围. 三、选做题(在 21、22、23、24 题中只能选做 1 题,每小题 10 分) 【选修 4-1:几何证明 选讲】 21. (10 分) 如图, AB 为圆 O 的直径, BC 与圆 O 相切于点 B, D 为圆 O 上的一点, AD∥ OC, 连接 CD. 求证:CD 为圆 O 的切线.
2

【选修 4-2:矩阵与变换】 22. 已知矩阵 A= , 向量 = , 求矩阵 A 的逆矩阵, 及使得 A = 成立的向量 .

【选修 4-4:坐标系及参数方程】 23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为 C(2, ) ,半径为 1,求圆 C 的极坐标方程.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.求函数 y= + 的最大值.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. 解: (1)完成这是事情可分为两步进行: 第一步,从 4 名男生中选 1 名男生,有 4 种选法, 第二步,从 3 名女生中选 1 名女生,有 3 种选法, 根据分步计数原理,共有 4×3=12 种选法 答:有 12 种不同的选法; (2)完成这是事情可分为四步进行: 第一步第一步,从 4 名男生中选 2 名男生,有 第二步,从 3 名女生中选 2 名女生,有 第三步,将选取的 2 名男生排成一排,有 =6 种选法,

=3 种选法, =2 种排法, =6,

第四步,在 2 名男生之间及两端共 3 个位置选 2 个排 2 个女生,有

根据分步计数原理,不同的排法种数为 6×3×2×6=216 答:有 216 种不同的排法. 5 4 3 2 16. 解:当 x=1 时,a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1; 5 4 3 2 当 x=﹣1 时,a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243; 5 (1)∵ a5=2 =32 ∴ a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31 2 2 (2)∵ (a0+a2+a4) ﹣(a1+a3+a5) . =(a5+a4+a3+a2+a1+a0) (﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0) =1×(﹣243)=﹣243 17. 解: (1)∵ f(x)= , ,

∴ f′ (x)=

∴ f′ (1)= , ∵ f(1)= ,

∴ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 ex﹣4y+e=0; (2)令 f′ (x)=0,可得 x=0, x∈(﹣1,0)时,f′ (x)<0,函数单调递减,x∈(0,+∞)时,f′ (x)>0,函数单调递 增, ∴ x=0 时,f(x)的最小值为 1. 18. 解: (1)记“3 个数中恰有 2 个是奇数”为事件 A, 从 9 个自然数中,任取 3 个不同的数, 共会出现 =84 种等可能的结果, =40 种, .

其中 3 个数中恰有 2 个是奇数的结果有

故这 3 个数中恰有 2 个是奇数的概率 P(A)= (2)由题意得 X 的取值范围为 0,1,2,3, P(X=0)= ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=



P(X=3)=



∴ 随机变量 X 的分布列为: X 0 P EX= 19. Tn=a1 ∴ Tn=an+1

1

2

3

= . 解: (1)由题意得,an=2n﹣1,∵ = +a2 +an +a3 +…+an +…+a2 +a1 +an+1 =an+1 , +an +…+a2 +a1 ,… 2 分 , ,

∴ 2Tn=(a1+an+1) =(a1+an+1) (
n

+(a2+an) +…+ +

+…+(an+a2)
n

+(an+1+a1)

+

)=(1+2n+1)2 ,

∴ Tn=(n+1)?2 …4 分 (2)① 由题得,an=2
n﹣1

,Tn=a1

+a2

+…+an

+an+1

=

+2

+2

2

+…+2

n﹣1 2

+2

n 2

=(1+2) =3 …7 分

n

n

② 证明: (i)当 n=2 时,T2=3 =9,2 +2×2=8,T2>8,不等式成立,…9 分 k 2 (ii)假设 n=k(k∈N,k≥2)时,不等式成立,即 3 >k +2k,…10 分 k+1 k 2 当 n=k+1 时,3 =3?3 >3(k +2k)…11 分 2 2 2 ∵ 3(k +2k)﹣[(k+1) +2(k+1)]=2k +2k﹣3, 2 ∵ k≥2,∴ 2k +2k﹣3>2k﹣3>0, k+1 2 ∴ 3 >(k+1) +2(k+1) . 即当 n=k+1 时,不等式也成立…14 分 * 根据(i) (ii)可知,对任意 n∈N (n≥2) ,不等式成立…15 分 2 20. 解: (1)a=2 时,f(x)=x ﹣2lnx,x>0, ∴ f′ (x)= ,

令 f′ (x)>0,解得:x>1,x<﹣1(舍) , 令 f′ (x)<0,解得:0<x<1, ∴ f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增, ∴ x=1 时,f(x)取到极小值 f(1)=1, (2)∵ f′ (x)= ,x>0,

① a≤0 时,f′ (x)>0,f(x)在(0,+∞)递增, ② a>0 时, 令 f′ (x)>0,解得:x> ,x<﹣ , ,+∞)递增; (舍) ,

令 f′ (x)<0,解得:0<x< ∴ f(x)在(0, )递减,在(

综上:a≤0 时,f(x)在(0,+∞)递增 a>0 时,f(x)在(0, (3)由题意得:方程 a= 令 g(x)= )递减,在( 在区间[ ,+∞)递增;

,e]上有且只有一个解, ,

,则 g′ (x)=

令 g′ (x)=0,解得:x= , ∴ g(x)在( , )上递减,在( 又 g( ∴ 方程 a= )= <g(e)=e ,
2

,e)递增,

在区间[

,e]上有且只有一个解时,



<a≤e ,或 a=2e, <a≤e 或 a=2e}.
2

2

∴ 实数 a 的取值范围时:{a|

三、选做题(在 21、22、23、24 题中只能选做 1 题,每小题 10 分) 【选修 4-1:几何证明 选讲】 21. 证明:连接 OD, ∵ AD∥ OC, ∴ ∠ A=∠ COB,∠ ADO=∠ COD, ∵ OA=OD, ∴ ∠ A=∠ ADO, ∴ ∠ COB=∠ COD, 在△ COB 和△ COD 中,OB=OD,∠ COB=∠ COD,OC=OC, ∴ △ COB≌ △ COD(SAS) , ∴ ∠ ODC=∠ OBC, ∵ BC 与⊙ O 相切于点 B, ∴ OB⊥ BC, ∴ ∠ OBC=90°, ∴ ∠ ODC=90°, 即 OD⊥ CD, ∴ CD 是⊙ O 的切线.

22.

解:矩阵的行列式为

=﹣2,

∴ 矩阵 A 的逆矩阵 A =

﹣1



∴ =A 23.
2

﹣1

=



解:在圆 C 上任意取一点 P(ρ,θ) ,在△ POC 中,由余弦定理可得
2 2 2

CP =OC +OP ﹣2OC?OP?cos∠ POC,即 1=4+ρ ﹣2×2×ρcos(θ﹣ 化简可得 ρ ﹣4ρcos(θ﹣
2

) ,

)+3=0.
2

当 O、P、C 共线时,此方程也成立,故圆 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρcos(θ﹣

)+3=0.

24.

解:由柯西不等式可得 y =(

2

+

) ≤[1 +(

2

2

) ](1+x+1﹣x)=6,

2

当且仅当 ∵ y≥0,

=

,即 x=﹣ 时取等号,

∴ x=﹣ 时,y 的最大值为





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