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四川省成都外国语学校2012-2013学年高一数学上期期中考试


成都外国语学校 2012-2013 学年度上期期中考试 高一数学试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 2.下列图象中表示函数图象的是( C y 0 A C D 0 y 0 ) y 0 y

x

x

x

x B

? 1 x ?( ) , ?1 ? x ? 0, 3.若函数 f ( x ) ? ? 4 则 f (log4 3) = ( B ? 4 x , 0 ? x ? 1, ?
A.



1 3

B. 3

C.

1 4


D. 4

4.已知函数 f ( x ) ? 3 x ?

3 ( x ? 0) ,则函数( C x

A.是奇函数,且在 (0, ??) 上是减函数 C.是奇函数,且在 (0, ??) 上是增函数
1 2

B.是偶函数,且在 (0, ??) 上是减函数 D.是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数
x ?1

5

.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2
2

,其中在区间(0,1)

上单调递减的函数序号是( A. ①④ 8. 设 m, n,

C B. ①②
1 3

) C. ②③ D.③④
1 3

p 均为正数,且 3m ? log m , ( 1 ) p ? log 3 p , ( 1 )q ? log q ,则(
3 3
B. p>m>q C. m>q>p

D



A.m>p>q

D. p>q>m
-1-

9 .已知 f ( x ) 为偶函数,在 [0, ??) 上为增函数,若 f (l o g2 x) ? f (1) , 则 x 的取值范围为 ( B )写一个定义域外的答案也就是负无穷

A. (2, ??)

B. (0, ) ? (2, ??)

1 2

C. ( , 2)

1 2

D. (0,1) ? (2, ??) C )

10.已知 f ( x) ? 3 ? log2 x, x ?[1, 4] ,则 g ( x) ? f ( x2 ) ? [ f ( x)]2 有( A.最大值-2,最小值-18 C.最大值-6,最小值-11 11.设函数 B.最大值-6,最小值-18 D.最大值-2,最小值-11

f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

,对于给定的正数 K,定义函数

2 ? f ( x), f ( x) ? K 若 对 于 函 数 f ( x ) ? 2 ? x ? x?2 定 义 域 内 的 任 意 x , 恒 有 f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K ,

,则( f K ( x)? f ( x) A.K 的最小值为 1

C

) B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

C.K 的最小值为 2 2

12.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设函数 . ?b, a ? b ? 1

f ( x) ? ( x2 ? 2) ? ( x ? x2 ) , x ? R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则
实数 c 的取值范围是( A ) B. ( ??, ?2] D. (?1, ? ) 第Ⅱ卷 二.填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13.函数 y ? log 1 ( x 2 ? x ? 6) 的单调递增区间是
2

3 ( ?1, ? ) 4 1 1 C. (?1, ) ( , ??) 4 4
A. ( ??, ?2]

3 ( ?1, ) 2

3 4

1 [ , ??) 4

(??, ?2)

15. 已知 a 2 ? a

1

?

1 2

? 3 ,则 a 2 ? a

3

?

3 2

的值等于___ _18_____.

三.解答题. (解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.本题共 6 小题,满分 70 分) 17.(本题满分 12 分)已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)} ,

B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1} .

-2-

(1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 17. 解:由已知得 A ? {x | x ? 1或x ? 2} , B ? {x | a ? x ? a ? 2}

?CU A ? {x |1 ? x ? 2}
(1)当 a=时, B ? {x |1 ? x ? 3} , ?(CU A)

B ? {x |1 ? x ? 2}

(2)若 (CU A) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1 ,? a ? 2 或 a ? 1 . 即 a 的取值范围为 (??,1] [2, ??)

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R) (1)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像, 并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集.

18.







1



f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ?1|? f ( x)

? f ( x) 是偶函数
( x ? ?1) ? ?2 x (2) f ( x) ? ? 2 (?1 ? x ? 1) ? ? 2x ( x ? 1) ?

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??) (3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2}

-3-

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2a ? 4x ? 2x ?1. (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

20. 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 x ? 2 x ? 1 ? 2(2 x ) 2 ? 2 x ? 1,
x 令 t ? 2 , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] ,

1 8

故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?
2 2

1 4

9 1 9 , t ? [ ,1] ,故值域为 [ ? ,0] 8 8 8
2

(2)关于 x 的方程 2a(2 x ) 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解, 等价于方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有 解 解法一:记 g ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? 当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a 所以, a ? 0 x ?1 1 1 1 2 1 2 ? ( ? ) ? 解法二:方程 2ax ? x ? 1 ? 0 可化为 a ? 2 x2 2 x 2 8 1 1 1 1 所以, a ? 0 ? a 的范围即为函数 g ( x) ? ( ? ) 2 ? 在 (0, ??) 上的值域 2 x 2 8

21.已知函数 f ( x ) 定义在 ? ?1,1? 上,对于任意的 x, y ? (?1,1) ,有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 1 ? xy
(1)判断 f ( x ) 的奇偶性并说明理由; (2)若 f (

a?b a?b ) ? 1, f ( ) ? 2 ,且 a ? 1, b ? 1 ,求 f (a), f (b) 的值. 1 ? ab 1 ? ab

-4-

(3)若 f ( ? ) ? 1 ,试解关于 x 的方程 f ( x) ? ?

1 2

1 . 2

21. 解: (1)令 x ? y ? 0 ,? f (0) ? 0 ,令 y ? ? x ,有 f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,

? f ( x) 为奇函数
(2)由条件得 ?

? f ( a ) ? f ( b) ? 1 3 1 ,解得 f ( a ) ? , f (b) ? ? . 2 2 ? f ( a ) ? f ( b) ? 2
x1 ? x2 ? 0, 1 ? x1 x2

(3)设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 1 ? x1 x2

? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是减函数

1 1 f (? ) ? 1? f ( ) ? ?1 2 2 2x 1 )? f( ), 原方程即为 2 f ( x) ? ?1 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( 2 1? x 2 2x 1 ? ? ? x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 3 2 1? x 2


x ? (?1,1) ? x ? 2 ? 3

故原方程的解为 x ? 2 ? 3 。

22.已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

22. 解析:(1) a ? 1

1 3 ? (x ? )2 ? , x ? 0 2 ? ? x ? x ? 1 , x ? 0 ? ? 2 4 f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ? ? 2 ?? ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ?( x ? 1 ) 2 ? 3 , x ? 0 ? 2 4 ?
1 2 1 ,0) 2
2

∴ f ( x ) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 1 f ( x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2

(2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a ( x ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

-5-

1 2 3

0

0

0

1 1 ?1 即a ? f ( x)在[1,2]为增函数 g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 2 2a 1 1 1 1 1 1? ?2 g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ?1 即 ? a ? 时, 2a 4 2 2a 4a 1 1 ?2 即 0 ? a ? 时 f ( x)在[1,2]上是减函数 g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 2a 4

0?

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?
2a ? 1 ?1 x
在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2

(3) h( x) ? ax ?

则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? (ax2

?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x1 x

? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2

∵ h( x)在[1,2]上是增函数 ∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 1 2 3
0

当 a ? 0时, 上式显然成立

0

a?0 a?0

0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a x1 x2 ?
1 2

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?1 a

解得 0 ? a ? 1

2a ? 1 ?4 a

得?

1 ?a?0 2

所以实数 a 的取值范围是 [ ? ,1]

? 3x ( x ? 0) 10.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) ? t (t ? R) .关于 ?log3 (- x) ( x ? 0) g ( x) 的零点,下列判断不正确 的是( ) ...
1 A.若 t ? , g ( x) 有一个零点 4 t ? 2, g ( x) 有三个零点 C.若
先判断 FX 有几个解 再根据图像
-6-

1 B.若 - 2 ? t ? , g ( x) 有两个零点 4 t ? 2 , g ( x) 有四个零点 D.若

32 已知

(a 为常数),求

的值

16.解: (1)∵x-3+1=a,∴x-3=a-1.

x-6=(x-3)2,∴x-6=(a-1)2.
∴a2-2ax-3+x-6=a2-2a(a-1)+(a-1)2 =a2-(2a2-2a)+(a2-2a+1)=1.
22. (14 分)设函数 f ( x) 对于 x、y∈R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x<0 时, f ( x) <0,

f (?1) ? ?2 .
(1)求证:函数 f ( x) 是奇函数; (2)试问 f ( x) 在 x ? [?4, 4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由. (3)解关于 x 的不等式

1 1 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) ( b ? 0 ). 2 2

2.解: (1)证明:令 x=y=0,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ,从而 f (0) ? 0

令 y ? ? x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0 , 从而 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是奇函数. …… 4 分

(2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 , 又 f ( x1 ? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ∴当 x ?[?4, 4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,∴ f (1) ? 2 ∴当 x ? ?4 时, f ( x)min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ; 当 x ? 4 时, f ( x)max ? f (4) ? 4 f (1) ? 8 . (3)由已知得 [ f (bx2 ) ? f (b2 x)] ? f ( x) ? f (b) .
1 2

…… 9 分

-7-



1 f (bx 2 ? b 2 x) ? f ( x ? b) . 2

∴ f (bx2 ? b2 x) ? 2 f ( x ? b) ,即 f (bx2 ? b2 x) ? f (2x ? 2b) . ∵ f ( x) 为 R 上增函数,∴ bx2 ? b2 x ? 2 x ? 2b . ∴ bx2 ? (b2 ? 2) x ? 2b ? 0 ∴ (bx ? 2)(x ? b) ? 0 .

当 b=0 时, ? 2 x ? 0 ,∴不等式的解集为 ?x x < 0? . 当 b<0 时, (?bx ? 2)(x ? b) ? 0 . ① 当 ? 2 ? b ? 0 时,不等式的解集为 ?x ②当 b ? ? 2 时,不等式的解集为 ? . ③当 b ? ? 2 时,不等式的解集为
18. (12 分)已知函数 f ( x) ?

2 ? x ? b ?. b

?x

b?x?

2 b

?.

…… 14 分

x?a , f ?2? ? 1 . ax ? a - 2

(1)求 a 的值; (2) 求证:函数 f ( x) 在 ?? ?, 0? 内是减函数.

2?a ? 1 ,? a ? 2. …… 4 分 2a ? a - 2 x?2 1 1 ? ? ( x ? 0), 设任意 x1, x2 ? (??,0), 且 x1 ? x2 . (2) 由(1)得 f ( x) ? 2x 2 x
18.解:(1)由已知,得 f (2) ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ?

1 2

1 1 1 x ?x )?( ? ) ? 2 1 . x1 2 x2 x1 x2

…… 8 分

? x1, x2 ? (??,0), 且 x1 ? x2 .? x2 ? x1 >0, x1x2 >0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) .
所以, 函数 f ( x) 在 ?? ?, 0? 内是减函数

-8-


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