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上海市奉贤区2014届高三1月调研(期末)测试数学理试题


2013 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(理科)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分)

2014.1.

一. 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 1-13 题每个空格填对得 4 分,14 题每空填对得 2 分否则一律得零分. 1、设 U ? R , A ? {x | x ? 0}, B ? {x | y ? lg ?1 ? x ?} , 则 A ? B = 2、函数 f ( x) ? 4 x ( x ? 1)的反函数f ?1 ( x) = 3、执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入角 ? ? 4、已知 ?a n ? 是公比为 2 的等比数列,若 a3 ? a1 ? 6 , 则 a1 ? a 2 ? ? ? a n = 5、函数 y ? A sin??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0) 图像上一个最高点为 P ?

?1 ? ,1? , 相 ?2 ?

邻的一个最低点为 Q? ,?1? ,则 ? ? 6、?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设向量 p ? ?a ? c, b ? , q ? ?b ? a, c ? a ? ,若
?

?1 ?4

? ?

p ∥ q ,则角 C 的大小为

?



7、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是
2 8、已知定点 A?4,0? 和圆 x + y =4 上的动点 B ,动点 P?x, y ? 满足 OA ? OB ? 2OP ,则点 P 的轨
2

迹方程为 9、直角 ?ABC 的两条直角边长分别为 3,4,若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是

V ,则 V ?
10、数列 a n ?1 ? a n ? 4 ? 2?n ? N *? ,如果 ?a n ?是一个等差数列,则 a1 ?
·1 ·

11 、在棱长为 a 的正方体 ABCD? A 1 B 1C 1 D 1 中 , P 是 C1 B1 的中点 , 若 E , F 都是 AB 上的点 , 且

EF ?

a , Q 是 A1 B1 上的点, 则四面体 EFPQ 的体积是 2

12、函数 y1 ? f ?x ? 的定义域 D1 ,它的零点组成的集合是 E1 , y 2 ? g ?x ? 的 定义域 D2 ,它的零点组成的集合是 E 2 , 则函数 y ? f ?x ?g ?x ? 零点组成的集 合是 (答案用 E1 、 E 2 、 D1 、 D2 的集合运算来表示)

13 、已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,当 ?1 ? x ? 1 时,

f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 只有 4 个零点,则 a 取值范围是
14、已知函数 y ? f ?x ? ,任取 t ? R ,定义集合:



At ? y y ? f ? x ?, 点P ?t , f ?t ??, Q? x, f ? x ??, PQ ? 2 . 设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值
和最小值,记 h?t ? ? M t ? mt .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h(1) = (2)若函数 f ? x ? ? sin

?

?

?
2

x ,则 h?t ? 的最大值为

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、空间过一点作已知直线的平行线的条数………………………………………( (A)0 条 (B)1 条 (C)无数条 )

(D)0 或 1 条 )

16、设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是……………………………………( (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 数 (B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (D)f ( x) ? f (? x) 是偶函

0
·2 ·

第 17 题图

17、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内接三角形 ABC(顶点 A 、B 、C 都在椭圆上)的边 AB, AC 分 a 2 b2


别过椭圆的焦点 F1 和 F2 ,则 ?ABC 周长……………( (A)总大于 6a (C)总小于 6a
**

(B)总等于 6a (D)与 6a 的大小不确定
n? ? ?

2 2 * i m dn 18、 设双曲线 nx ? (n ? 1) y ? 1(n ? N ) 上动点 P 到定点 Q(1,0) 的距离的最小值为 d n , 则l

的值为……………………………………………………………………………………( (A)



2 2

(B)

1 2

(C) 0

(D)1

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19、如图,正三棱锥 P ? ABC 中,底面 ABC 的边长为 2,正三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ? 1 , M 为线段 BC 的中点,求直线 PM 与平面 ABC 所成的角(结果用反三角函数值表示) 。 (12 分)
P

C

M A B

20、已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos2 . 2 2 2

(1)求方程 f ( x) ? 0 的解集; (8 分) (2)当 x ? ?0,

? ?? (6 分) ? ,求函数 y ? f ( x) 的值域。 ? 2?
·3 ·

21、在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点.

?

2 ,0 , ? 2 ,0 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直

??

?

(1)线段 AB 的长是 3,求实数 k ; (9 分) (2)若点 A 在第四象限,当 k ? 0 时,判断| OA |与| OB |的大小,并证明(5 分)

??? ?

??? ?

22、投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得 10~1000 万元的投资收益.现公司准备制定一 个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加, 且奖金不低于 1 万元,同时不超过投资收益的 20% . (1)设奖励方案的函数模型为 f ( x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f ( x) 的基 本要求;(4 分) (2)公司预设的一个奖励方案的函数模型: f ( x) ? 司要求; (6 分) (3)求证:函数模型 g ?x ? ? ax ? 1 ? 1, a ? ? 1 ,1? 是符合公司的一个奖励方案(6 分) 。 ?2 ? ? ?
·4 ·

x ? 2 ;试分析这个函数模型是否符合公 150

23、已知数列 {an } 的各项均不为零, a1 ? 1, a2 ? m ,且对任意 n ? N * ,都有 a n ?1 ? a n a n ? 2 ? c .
2

(1)设 c ? 1, 若数列 {an } 是等差数列,求 m ; (5 分) (2)设 c ? 1, 当 n ? 2, n ? N 时,求证:
*
2

a n ?1 ? a n ?1 是一个常数; (6 分) an

(3)当 c ? ?m ? 1? 时,求数列 {an } 的通项公式(7 分)

·5 ·

2013 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(理科)参考答案
一. 填空题 (本大题满分 56 分) 1. ?0,1? 5. 4? 2. log 4 x?x ? 4? 6. 3. ?

? 3

π 3

4. 2 n ?1 ? 2 8.

7. (2, ??)

?x ? 2?2 ? y 2 ? 1
9.

48 ? 5

10. 3

11.

a3 24

12.

( E1 ? E2 ) ? (D1 ? D2 )
13. ?3,5? ? ? , ?

?1 1? ?5 3?

14. (1) 2 (2) 2

二.选择题(本大题满分 20 分) 15. D 16. D 17. C 18. A

三.解答题(本大题满分 74 分) 19. 如图,连接 AM,过点 P 作 PH 垂直于 AM 于 H 正三棱锥 P—ABC 中
P

? ? ? ? PM ? BC ? M 为BC的中点? ? ? AB ? AC ? ? ? ? AM ? BC ? ? BC ? 平面PMA M 为BC的中点? ? ? PM ? AM ? M ? ? ?
又 PH 为平面 PMA 中的一条直线知 BC ? PH 由 PH ? AM 且 BC ? AM ? M 知 PH ? 平面ABC
·6 ·

PB ? PC

C

3分
A H B

M

5分

?PMH 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角(或其补角)
因为正三棱锥 P ? ABC 底面 ABC 的边长为 2,体积为 V ? 1 所以由 V ?

6分

3V 1 ? S?ABC PH 知 PH ? S?ABC 3

3 3 2 ?2 4

? 3

8分

? 1 3 ? AM 为BC边上的中线 ? ? H 为?ABC的重心 ,所以 HM ? AM ? 3 3 ?ABC为等边三角形 ? ?

PH ? 平面ABC

9分

Rt?PHM 中 tan ?PMH ?

PH ? HM

3 ?3 3 3

11 分

得 ?PMH ? arctan 3 , 故直线 PM 与平面 ABC 所成的角为 arctan 3 (或 arccos

10 3 10 或 arcsin ) 10 10

12 分

20. (1)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 cos ? sin

x? 2?

x x? ? 3 cos ? ? 0 2 2?

1分 4分

x x ? ? 0 ,得 ? k? ? , x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 2 2 x x 由 sin ? 3 cos ? 0 , 2 2 x x ? 2? 得 tan ? ? 3 , ? k? ? , x ? 2k? ? (k ?Z ) . 2 2 3 3
由 cos 所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? 2k? ? ? 或x ? 2k? ?

7分

? ?

? 2? , k ? Z? 3 ?

8分

解法二: f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cos x ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ? ? ?

4分

由 f ( x) ? 0 ,得 sin? x ?

??

3 ? k ? , x ? ? k? ? (?1) ,k ?Z , ??? 3? 2 3 3 ? ?
k

所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? k? ? (?1)

?
3

?

?

? , k ? Z? 3 ?

8分

·7 ·

(2) f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cos x ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ?
所以 x +

因为 x ? ?0,

? ?? ? ? 2?

?

? ? 5? ? ?? , ? 3 ?3 6 ?

所以 sin( x ?

?

?1 ? ) ? ? ,1? 3 ?2 ?

12 分

所以 f ( x ) ? ?

?1 ? 3 3? ,1 ? ? 2 ? ? 2

14 分

21. 解: (1)设 P?x, y ? ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 的椭圆,

?

2 ,0 , ? 2 ,0 为焦点,长半轴为 2

??

?

2分 3分

b2 ? 2 ,
故曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

4分

? x2 y2 ?1 ? ? 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 2 ?y ? kx?1 ?
消去 y 并整理得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 ,

?

?

5分 6分

? ? 32k 2 ? 8
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? 32 k 2 ? 8 1 ? 2k 2

8分

32 k 2 ? 8 1 2 ? 1? k ? ? 3 , k 2 ? ,? k ? ? 2 2 2 1 ? 2k ???? ? ???? ? (2) OA ? OB
2

9分

10 分

???? ? 2 ???? ?2 1 2? ? 1 2 2 2 2 2 OA ? OB ? x12 ? y12 ? ( x2 ? y2 ) ? x1 ? x 2 ? 2?1 ? x1 ? 1 ? x 2 ? 4 ? 4 ?

1 2 1 ? 2k 2 ?x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2 2 1 ? 2k 2 ?2 因为 A 在第四象限,故 x1 ? 0 .由 , x1 x 2 ? 知 x2 ? 0 , 1 ? 2k 2 ?
从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 ,
·8 ·

?

?

12 分

13 分

故 OA ? OB ? 0 ,即在题设条件下,恒有 OA ? OB

???? ?2

???? ?2

???? ?

???? ?
14 分

22. 解: (1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f ( x) 的基本要求是: 当 x ? ?10,1000? 时, ① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 1 恒成立;③ f ? x ? ? (2)对于函数模型 f ? x ? ?

x 恒成立 5

4分

x ? 2: 150
5分 6分

当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数, 则 f ? x ? ? 1 显然恒成立 而若使函数 f ( x) ?

x x ? 2 ? 在 ?10,1000? 上恒成立,整理即 29x ? 300 恒成立, 150 5
8分 9分 10 分

而 (29 x) min ? 290 , ∴ f ? x? ?

x 不恒成立. 5

故该函数模型不符合公司要求. (3)对于函数模型 g ?x ? ?

ax ? 1 ? 1
11 分

x ? ?10,1000? 时, g ? x ? 显然单调递增

g ?x ?min ? 10 a ? 1 ? 1 ? 5 ? 1 ? 1 ? 1 成立.
∴ g ? x ? ? 1 恒成立. 方法一(分析法) : 欲证: x ? ?10,1000? 时, ax ? 1 ? 1 ?
2

12 分

x 恒成立 5

?x ? 等价于 ax ? 1 ? ? ? 1? , x ? ?10,1000? 恒成立 ?5 ?

x 2 2 ? ? , x ? ?10,1000? 恒成立 25 x 5 1 2 2 又y? x ? ? 在 x ? ?10,1000? 单调递增 25 x 5
等价于 a ?

(***)

13 分

·9 ·

故?

2 2? 10 2 2 ? 1 x? ? ? ? ? ? ?1 x 5 ?min 25 10 5 ? 25
成立 14 分

?1 ? ? a ? ? ,1? ,所以(***) ?2 ?

所以 x ? ?10,1000? 时, ax ? 1 ? 1 ?

x 恒成立 5
16 分

15 分

g ?x ? ? ax ? 1 ? 1 符合公司的模型

方法二: 设 h? x ? ?

ax ? 1 ? 1 ?

x , 10 ? x1 ? x2 ? 1000 5
x1 x ? ax2 ? 1 ? 2 = ? 5 5
ax1 ? ax2 ax1 ? 1 ? ax2 ? 1 ? x 2 ? x1 5

h?x1 ? ? h?x2 ? ? ax1 ? 1 ?

? a 1? ? ?x1 ? x2 ?? ? ? ? ax ? 1 ? ax ? 1 5 ? 1 2 ? ?
?10 ? x1 ? x2 ? 1000 ,? ax1 ? 1 ? 10 a ? 1, ax2 ? 1 ? 10 a ? 1

a ax1 ? 1 ? ax2 ? 1

?

a 2 10 a ? 1

m?a ? ?

?1 ? , 10 a ? 1 ? n, a ? ? ,1?,? n ? ?2,3? 2 10 a ? 1 ?2 ? a
1 ? 1? ? n ? ? 单调递增 20 ? n?

?m ?

m?

a 1 1 ? 1? 1 ? ?0 ? 3 ? ? ? ,所以 20 ? 3? 6 ax1 ? 1 ? ax2 ? 1 5

h?x ? ? ax ? 1 ? 1 ?

x ? 0 单调递减 5

14 分

?1 ? h?x ? ? h?10 ? ? 10 a ? 1 ? 1 ? 2 ? 10 a ? 1 ? 3,? a ? ? ,1? ?2 ?
? 10 a ? 1 ? 3 ? 10 ? 1 ? 3 ? 0
·10·

h?x ? ? 0 恒成立

? ax ? 1 ? 1 ?

x 恒成立 5

15 分 16 分 1分 2分

g ?x ? ? ax ? 1 ? 1 符合公司的模型
23. 解:(1) 由题意得: d ? a2 ? a1 ? m ? 1

an ? 1 ? ?n ? 1??m ? 1?, an ?1 ? 1 ? n?m ? 1?, an ? 2 ? 1 ? ?n ? 1??m ? 1?
2 an ?1 ? a n a n ? 2 ? 1,

? ?1 ? n(m ? 1)? ? ?1 ? (n ? 1)( m ? 1)??1 ? (n ? 1)?m ? 1?? ? 1
2

3分 5分

?m ? 2
(2)计算 a3 ? m ? 1 ,
2

a1 ? a3 a ? a n ?1 ? m ,猜想 n ?1 ?m a2 an

7分

欲证明

a n ?1 ? a n ?1 ? m 恒成立 an an ?1 ? an ?1 an ? an ? 2 ? 恒成立 an an ?1

只需要证明

即要证明 an ?1 ?an ?1 ? an ?1 ? ? an ?an ? an ? 2 ? 恒成立 即要证明 an ?1an ?1 ? an ?1 ? an ? an an ? 2 恒成立 (***)
2 ? an ?1 ? a n a n ? 2 ? 1,? a n ?1 a n ?1 ? a n ? 1, a n a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 2 2 2 2

9分 10 分

(***)左边= a n ?1 a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 1 ? a n ?1 (***)右边= a n ? a n ?1 ? 1 所以(***)成立 方法二:计算 a3 ? m ? 1 ,
2

2

2

2

2

2

11 分

a1 ? a3 a ? a n ?1 ? m ,猜想 n ?1 ?m a2 an

7分

2 an ?1 ? a n a n ? 2 ? 1, a n ? a n ?1 a n ?1 ? 1

2

·11·

2 2 an ?1 ? an ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 2 2 an ?1 ? an ?1an ?1 ? an ? an an ? 2

9分

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an ?1 , 得

an ?1 ? an ?1 an ? an ? 2 ? (n ? 2). an an ?1

an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 a ? a3 8 ? ??? 1 ? . a a a 3 n ? 1 n 2 所以,
所以

11 分 11 分

a n ?1 ? a n ?1 ? m 是常数 an
2

(3)计算 a3 ? m ? 1 ,

a1 ? a3 m 2 ? 1 ? c ? ? ?2 , a2 m
12 分

类比猜想

a n ?1 ? a n ?1 ? ?2 an
2

2 an ?1 ? a n a n ? 2 ? c, a n ? a n ?1a n ?1 ? c
2 2 an ?1 ? an ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 2 2 an ?1 ? an ?1an ?1 ? an ? an an ? 2

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an ?1 , 得

an ?1 ? an ?1 an ? an ? 2 ? (n ? 2). an an ?1

an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 a ? a3 8 ? ??? 1 ? . a a a 3 n ? 1 n 2 所以,
所以

a n ?1 ? a n ?1 ? ?2 是常数 an an ?1 ? an ?1 ? ?2 an
·12·

13 分

所以

14 分

?an?1 ? an ? ? ?an?1 ? an ? ? 0 ?an?1 ? an ? ? ??an?1 ? an ?
? an ?1 ? an ? ?? 1?
n ?1

?m ? 1?

? a1 ? 1, a2 ? m, a3 ? ??2m ? 1?, a4 ? ?3m ? 2?
猜想? an ? ?? 1?
n

??n ? 1?m ? (n ? 2)?

15 分

用数学归纳法证明:

显然n ? 1时,成立,
假设 n ? k时,ak ? (?1)
k

??k ? 1?m ? ?k ? 2??成立,
k ?1

则 n ? k ? 1时,ak ?1 ? (?1)

? m ? 1? ? ak

? ? ?1?

k ?1

(m ? 1) ? (?1) k ? ?? k ? 1? m ? ? k ? 2 ? ? ?
k ?1

? ak ?1 ? ?? 1?

?(m ? 1) ? ?k ? 1?m ? (k ? 2)? ?km ? (k ? 1)? ? ?? 1?k ?1 ?km ? (k ? 1)?
n

? ak ?1 ? ?? 1?

k ?1

17 分 18 分

所以对一切 n ? N时,an ? (?1)

??n ? 1?m ? ?n ? 2??成立,

·13·


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