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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.1充分条件与必要条件练习 新人教A版选修1-1


1.2.1 充分条件与必要条件

一、选择题 1.设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x>1 C.x>3 [答案] A [解析] 首先要分清“条件 p”(此题中是选项 A 或 B 或 C 或 D)和“结论 q”(此题中是 “x>2”),p 是 q 的必要不充分条件,即 p 不能推出 q 且 q? p,显然只有 A 满足. 2.下列“若 p,则 q”形式的命题中,p 是 q 的充分条件的是( 1 1 A.若 = ,则 x=y ) B.x<1 D.x<3 )

x y

B.若 x =1,则 x=1 D.若 x<y,则 x <y
2 2

2

C.若 x=y,则 x= y [答案] A

[解析] B 项中,x =1? x=1 或 x=-1;C 项中,当 x=y<0 时, x, y无意义;D 项中,当 x<y<0? x >y ,所以 B,C,D 中 p 不是 q 的充分条件. π 3.α ≠ 是 sinα ≠1 的( 2 A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] A π π [解析] α ≠ ? / sinα ≠1,sinα ≠1? α ≠ ,故选 A. 2 2 4.(2015·天津文)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 由|x-2|<1 得-1<x-2<1 即 1<x<3, 则 1<x<2? 1<x<3,反之不成立,故选 A. 5.“a=-2”是“直线 l1:(a+1)x+y-2=0 与直线 l2:ax+(2a+2)y+1=0 互直垂 直”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

2

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A

[解析] 由 l1⊥l2,得 a(a+1)+2a+2=0, 解得 a=-1 或 a=-2,故选 A. 6.(2015·甘肃省金昌市二中期中)a、b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+

b)·(xb-a)为一次函数”的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析]

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∵f(x)=(xa+b)·(xb-a)=x a·b+x(|b| -|a| )-a·b,当 f(x)为一次
2 2

2

2

2

函数时,a·b=0 且|b| -|a| ≠0,∴a⊥b;当 a⊥b 时,f(x)未必是一次函数,因为此时 可能有|a|=|b|,故选 B. 二、填空题 7.已知 p:x=3,q:x =9,则 p 是 q 的________条件.(填:充分不必要、必要不充 分、充要、既不充分又不必要) [答案] 充分不必要 [解析] x=3? x =9,x =9? / x=3, 故 p 是 q 的充分不必要条件. 8.已知 a、b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的________条件. [答案] 充要 [解析] a>0 且 b>0? a+b>0 且 ab>0,a+b>0 且 ab>0? a>0 且 b>0,故填充要. 9.命题 p:sinα =sinβ ,命题 q:α =β ,则 p 是 q 的________条件. [答案] 必要不充分 [解析] sinα =sinβ ? / α =β ,α =β ? sinα =sinβ ,故填必要不充分. 三、解答题 10.下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x=1; q:x-1= x-1; (2)p:-1≤x≤5; q:x≥-1 且 x≤5; (3)p:三角形是等边三角形;
2 2 2

q:三角形是等腰三角形.
[解析] (1)充分不必要条件 当 x=1 时,x-1= x-1成立; 当 x-1= x-1时,x=1 或 x=2. (2)充要条件 ∵-1≤x≤5?x≥-1 且 x≤5. (3)充分不必要条件

∵等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定都是等边三角形.

一、选择题 1.(2015·北京理)设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α ,“m∥β ”是“α ∥β ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B

[解析] 由面面平行的判定定理可知,由 m∥β ? / α ∥β ,故充分性不成立;而 α ∥ β ? m∥β ,必要性成立. 2.“a=1”是“函数 f(x)=x -4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 由函数 f(x)=x -4a+3 在区间[2,+∞)上为增函数,得 2a≤2,即 a≤1, 故选 B.
2 2

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

m 1 3.一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( n n
A.m>1,n<-1 C.m>0,n<0 [答案] B [ 解析 ] B.mn<0 D.m<0,n<0

)

先找出原条件的等价条件,因为此一次函数过第一、三、四象限,所以

m - >0 ? ? n ?1 ? ?n<0

??

?m>0, ? ? ?n<0.

从而 A,B,C,D 中只有 B 满足题意.

4.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必 要条件,那么( )

A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充分条件也是必要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 [答案] A [解析] ∵甲是乙的必要条件,∴乙? 甲.

又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件, ∴丙? 乙,但乙不能推出丙. 综上有丙? 乙? 甲,但乙不能推出丙,故有丙? 甲,但甲不能推出丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 二、填空题 5.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是 x <1 的一个 充分条件的所有序号为________. [答案] ②③④ [解析] 由于 x <1,即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 一定成立,②、③、④满足题 意. 6. 已知 p: 2x+m>0, q: x -4x>0, 若 p 是 q 的充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. [答案] m≤-8 [解析] p:x>- ,q:x<0 或 x>4,由条件知 p? q, 2 ∴- ≥4,∴m≤-8. 2 三、解答题 7.指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答) (1)向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),p: = ,q:a∥b; (2)p:|x|=|y|,q:x=-y; (3)p:直线 l 与平面 α 内两条平行直线垂直,q:直线 l 与平面 α 垂直; (4)f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,
2 2 2

m

m

x1 y 1 x2 y 2

q:h(x)为偶函数.
[解析] (1)由向量平行公式可知:p? q, 但当 b=0 时,a∥b 不能推出 = ,即 q 不能推出 p, ∴p 是 q 的充分条件. (2)∵|x|=|y|? x=±y,∴p 不能推出 q,但 q? p, ∴p 是 q 的必要条件. (3)由线面垂直的判定定理可知:p 不能推出 q,但由线面垂直的定义可知:q? p,∴p 是 q 的必要条件. (4)若 f(x),g(x)均为偶函数,则 h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),∴p ? q,但 q 不能推出 p,∴p 是 q 的充分条件. 8.求证:关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2.
2

x1 y1 x2 y2

[解析] (1)充分性:∵m≥2,∴Δ =m -4≥0,方程 x +mx+1=0 有实根, 设 x +mx+1=0 的两根为 x1、x2, 由韦达定理知:x1x2=1>0,∴x1、x2 同号, 又∵x1+x2=-m≤-2,∴x1、x2 同为负根. (2)必要性:∵x +mx+1=0 的两个实根 x1,x2 均为负,且 x1·x2=1, 需 Δ =m -4≥0 且 x1+x2=-m<0,即 m≥2. 综上可知,命题成立.
2 2 2

2

2


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