3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

注重基础和通性通法

1. 注重基础和通性通法 在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教
材,挖掘教材的潜力,注意避免眼高手低,偏重难题,搞题海战术, 轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当然注重基础和通性通法的同 时,应注重一题多解的探索,经常利用变式训练和变式引申来提高自 己的分析问题、解决问题的能力。
2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一定会, 会了不一定对,对了不一定美。即数学学习的五种境界:听——懂— —会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫,每年的高考结束,结果下来都可 以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大,这就是其中的一个原 因。 另外我们的学生的解题的素养不够,比如仅仅一点“规范答题” 问题,我们老师也强调很多遍,但作为学生的你们又有几人能够听进 去! 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” :
1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养
注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题,提高数学的兴趣, 增强学好数学的信心,达到培养创新精神和实践能力的目的。
4.培养学习与反思的整合

建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授 给学生的,而只能由学生依据自身已有的知识、经验,主动地加以建 构。学习是一个创造的过程,一个批判、选择、和存疑的过程,一个 充满想象、探索和体验的过程。你不想学,老师强行的逼迫是不容易 的或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不甜”嘛!数学学习不但要 对概念、结论和技能进行记忆,积累和模仿,而且还要动手实践,自 主探索,并且在获得知识的基础上进行反思和修正。(这也就是我们 经常将让大家一定要好好预习,养成自学的好习惯。)记得有一位中 科院的教授曾经给“科学”下了一个定义:科学就是以怀疑和接纳新 知识作为进步的标准的一门学问,仔细想来确实很有道理!
所以我们在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩 固,知识的得到拓展,能力得到提高,思维得到优化,创新能力得到 真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯!
5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可 以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么,索性就不听, 抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几道题心里就踏实。这种认识是 不科学的,想象如果上课没有用的话,国家还开办学校干嘛?只要印 刷课本就足够了,学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行 了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的,听听老师对问题的分析和解 题技巧,老师是如何想到的,与自己预习时的想法比较。课堂上记下

比较重要的东西,更重要的是跟着老师的思路,注重老师对题目的分 析过程。课后宁愿花时间去整理笔记,因为整理笔记实际上是一种知 识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎样讲的,自己在整理时有比 较好的想法,就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维 火花往往是稍纵即逝的。
在这里我再一次强调听课要做到“五得” 听得懂 想得通 记得住 说得出 用得上
6. 注重思想方法的学习 学习数学重再学习数学思想方法,它是数学知识在更高层次上
的抽象和概括,它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中,也是 历年来高考数学命题的特点之一。不少学者认为:
“传授知识”是数学的一种境界,加上“能力培养”是稍高的境 界,再加上“方法渗透”是较高的境界,而再加上“提高修养(指数 学文化和非智力引力的介入)”则是最高境界。作为学生一定要深刻 理解数学的思想方法,它是数学的精髓,只有运用数学思想方法,才 能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力,才能体现 数学的学科特点,才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会,在 工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养,从而 使得自己的气质得以升华,它对于我们今后的做人和处事有很大的指 导意义,再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。
真心希望我的这些忠告能够对你今后的学习有所帮助,果真如

此,也就聊以欣慰了!

基本三角函数



?

?

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ ? ?Ⅲ ? ?Ⅳ

2
? ?Ⅰ、Ⅲ
2
? ?Ⅰ、Ⅲ
2
? ?Ⅱ、Ⅳ
2
? ?Ⅱ、Ⅳ
2

Ⅱ 终边落在 x 轴上的角的集合:?? ? ? ??,? ? z? 终边落在 y

轴上的角的集合:

??? ?

?

?

??

?

? 2

,?

?

z?? ?

终边落在坐标轴上的角的集

合:

??? ?

?

?

?

? 2

,?

?

? z? ?

l?? r

S ? 1l r ? 1 ? r2

2

2

基本三角函数符号记 忆:“一全,二正弦,三切,四 余弦”

360度 ? 2? 弧度 1? ? ? 弧度
180 . 1 弧度 ? 180 度
? 180? ? ? 弧度

或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

tan? cot? ? 1
倒数关系: Sin?Csc? ? 1
Cos?Sec? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数

之积为 1

平 方 关 系 : 三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
边对应的三ta角n 2函?数?的1平?方Sec2? Sin2? ? Cos2? ? 1 1 ? Cot 2? ? Csc 2?
乘积关系: Sin? ? tan?Cos? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应 的函数乘积

Ⅲ 诱导公式 终边相同的角的三角函数值相等

Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , k ? z Cos?? ? 2k? ? ? Cos? , k ? z tan?? ? 2k? ? ? tan? , k ? z

角?与角? ?关于x轴对称

Sin?? ? ? ? ?Sin? Cos?? ? ? ? Cos? tan?? ? ? ? ? tan?

角? ? ?与角?关于y轴对称

Sin?? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? ? ?Cos? tan?? ? ? ? ? ? tan?

角? ? ?与角?关于原点对称Sin?? ? ? ? ? ?Sin?
Cos?? ? ? ? ? ?Cos? tan?? ? ? ? ? tan?

Sin?? ? ? ? ?? ? Cos?

角? 2

? ?与角?关于y

?

?2
x对称 Cos?? ?

? ? ? ??

?

Sin?

?2 ?

tan?? ? ? ? ?? ? cot? ?2 ?

Sin?? ? ? ? ?? ? Cos? ?2 ?
Cos?? ? ? ? ?? ? ?Sin? ?2 ?
tan?? ? ? ? ?? ? ? cot? ?2 ?

上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”



周期问题

y ? ASin??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T ? 2? ?

y ? ACos??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T ? 2? ?

y ? ASin??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?

y ? ACos??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?

y ? ASin??x ? ? ? ? b , A ? 0 , ? ? 0 , b ? 0 , T ? 2?
?

y ? ACos??x ? ? ? ? b , A ? 0 , ? ? 0 , b ? 0 , T ? 2?
?

y ? A tan??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?

y ? A tan??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

T?? ?



三角函数的性质

性质

y ? Sin x

y ? Cos x

定义域

R

R

值域 周期性

?? 1,1?
2?

?? 1,1?
2?

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

???2k?

?

? 2

,2k?

?

? 2

???, k

?

z,增函数

?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z,增函数 ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z,减函数

???2k?

?

? 2

,2k?

?

3? 2

???,

k

?

z,减函数

对称中 心 对称轴

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ? ? , k ? z 2

?? k? ? ? ,0??, k ? z ? 2?
x ? k? , k ? z

图 像

5

4

3
y 2

1

-π /2

3π /2

x

-8

-2π-6

-3π /2 -4



-2

O

π /22

π

4

6 2π

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

5

4

3
y 2

1

x

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2 -π /2

O

π /2 2

π

4 3π /2

6 2π

8

-1

-2

-3

-4

-5

性质 定义域
值域 周期性

y ? tan x

??x ?

x

?

??

?

? 2

,?

?

z?? ?

R
?

y ? cot x
?x x ? ??,? ? z?
R
?

奇偶性

奇函数

单调性 ?? k? ? ? , k? ? ? ??, k ? z, 增函数

?

2

2?

对称中

?k? ,0?, k ? z



奇函数
?k? , k? ? ? ?, k ? z,增函数

?? k? ? ? ,0 ??, k ? z

?

2?

对称轴



图 像

10
8
6 y
4
2

-15

-10

-5 -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5

-2

-4

-6

-8

-10

x

10

15


y

0

x

怎样由y ? Sinx变化为y ? ASin??x ? ?? ? k ?

振幅变化: y ? Sinx

y ? ASinx 左右伸缩变化:

y ? ASin?x 左右平移变化

y ? ASin(?x ? ?)

上下平移变化

y ? ASin(?x ? ?) ? k

? ? Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 a, a ? 0 ,b,如果有

? ? 一个实数?,使得b ? ?a, a ? 0 ,则b与a是共线向量;反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数?,使得b ? ?a.

Ⅶ 线段的定比分点

点 P 分有向线段 P1P2 所成的比的定义式P1P ? ?PP2

线段定比分点坐标公式
x ? x1 ? ?x2 1? ?
y ? y1 ? ?y2 1? ?

线段定比分点向量公式 .

.

?

OP ? OP1 ? ?OP 2 1? ?

? ?1时

? 当? ?1时

线段中点坐标公式 x ? x1 ? x2 2

线段中点向量公式 . OP ? OP 1 ? OP 2
2

?当

y ? y1 ? y2 2

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理:

? ? b ? ?a a ? 0

? 推广 平面向量基本定理:

a ? ?1 e1

? ?2 e2

,

?? ??

其中e1 , e2为该平面内的两个 不共线的向量

?? ??

? 推广

空间向量基本定理:

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ?3 e3 ,

??其中e1 , e2 , e3为该空间内的三个??

?? 不共面的向量

??

Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1,y1 ?,b ? ?x2 ,y2 ?且a ? 0,如果a∥ b那么x1y2 ? x2 y1 ? 0

反过来,如果 x1y2 ? x2 y1 ? 0,则a ∥ b .

Ⅹ 一般地,对于两个非零向量 a,b 有 a ? b ? a b Cos? ,其中θ为

两向量的夹角。

Cos? ? a ? b ? ab

x1x2 ? y1 y2

x12 ? y12

x2

2 ?

y2

2

特别的, a ? a

?

2
a

?

a

2

或者 a ?

a?a



如果 a ? ?x1, y1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1x2 ? y1 y2

特别的 , a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

Ⅻ 若正n边形A1 A2 ??? An的中心为O , 则OA1 ? OA2 ? ??? ? OAn ? 0

三角形中的三角问题

A?B?C ?? , A?B?C ? ? , A?B ? ? -C

2

2

2

22

Sin?A ? B? ? Sin?C ? Cos?A ? B? ? ?Cos?C?

Cos?? A ? B ?? ? Sin?? C ??

?2?

?2?

Sin?? A ? B ?? ? Cos?? C ??

?2?

?2?

正弦定理: a ? b ? c ? 2R ?

a?b?c

SinA SinB SinC

SinA ? SinB ? SinC

余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bcCosA , b2 ? a2 ? c2 ? 2acCosB
c2 ? a2 ? b2 ? 2abCosC

CosA ? b2 ? c 2 ? a 2 , CosB ? a 2 ? c 2 ? b2

变形:

2bc

2 ac

a2 ? b2 ? c2 CosC ?

2ab

tan A ? tan B ? tanC ? tan Atan B tanC

三角公式以及恒等变换

两角的和与差公式: Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? , S(? ?? )
Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? , S(? ?? )

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ?? )

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ?? )

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?
1 ? tan? tan ?

,T (? ?? )







tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?
1 ? tan? tan ?

,T (? ?? )

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ?
tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 其中? , ? , ?为三角形的三个内角

二倍角公式: Sin2? ? 2Sin?Cos?
Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2Sin2? ? Cos 2? ? Sin2?

tan 2?

?

2 tan? 1 ? tan 2 ?

半角公式:

Sin ? ? ? 2

1 ? Cos? 2

tan ? ? ? 1 ? Cos? ?

Sin?

? 1 ? Cos?

Cos ? ? ? 1 ? Cos?

2

1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

2

2

降幂扩角公式: Cos2? ? 1 ? Cos2? , Sin2? ? 1 ? Cos2?

2

2

Sin?Cos? ? 1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ??
2
积化和差公式: Cos?Sin? ? 1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ??
2
Cos?Cos? ? 1 ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ??
2
Sin?Sin? ? ? 1 ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ??
2

Sin? ? Sin? ? 2Sin?? ? ? ? ??Cos?? ? ? ? ?? ?2? ?2?















Sin? ? Sin? ? 2Cos?? ? ? ? ??Sin?? ? ? ? ?? ?2? ?2?

Cos? ? Cos? ? 2Cos?? ? ? ? ??Cos?? ? ? ? ?? ?2? ?2?

Cos? ? Cos? ? ?2Sin?? ? ? ? ??Sin?? ? ? ? ?? ?2? ?2?

S ? S ? 2SC
( S ? S ? 2CS )
C ? C ? 2CC C ? C ? ?2SS

万能公式:

?

2 tan

Sin?

?

1?

2 tan 2 ?

2

1 ? tan 2 ?

Cos?

?

1?

tan 2

2 ?

2

( S ?T ?C?? )

2 tan ?

tan ?

?

2 1? tan2 ?

2

三倍角公式: Sin3? ? 3Sin? ? 4Sin3?
Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?

tan 3? ? 3 tan? ? tan3 ? 1 ? 3 tan 2 ?

“三四立,四立三,中间横个小扁担”

1. y ? aSin? ? bCos? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 ,

2. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 ,

? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ?

其中 ,

3. y ? aSin? ? bCos? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 ,

? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 ,

tan? ? b a
tan? ? a b
tan? ? b a
tan? ? b a
tan? ? a b

4. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ?

? ? a 2 ? b2 Sin?? ? ? ? 其中 , tan? ? a
b
? a 2 ? b2 Cos?? ? ? ? 其中 , tan? ? b
a 注 : 不同的形式有不同的化归, 相同的形式也有不同的化归, 进而可以

求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧, 其它

的就可以直接写出.

一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠, 第一

项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.

? 补充: 1. 由公式

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?
1 ? tan? tan ?
tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?
1 ? tan? tan ?

,T (? ?? )
,T (? ?? )

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? ? 时,? ? z , ?1? tan? ??1? tan ? ? ? 2
4

在有些题目中应用广泛。

2. tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ?tan? tan ? ? tan?? ? ? ?

3. 柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2, a,b, c, d ? R.

???????????????????????????????????? ??????????
补充 1.常见三角不等式:(1)若 x ?(0, ? ) ,则 sin x ? x ? tan x .
2

(2) 若 x ?(0, ? ) ,则1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3)
2
| sin x | ? | cos x |?1.

2. sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin2 ? ? sin2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin2 ? .

asin? ? bcos? = a2 ? b2 sin(? ??) (辅助角? 所在象限由点 (a,b) 的

象限决定, tan? ? b ).
a

3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin? ? 4sin3? ? 4sin? sin(? ?? )sin(? ?? ) .

3

3

cos 3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos(? ?? ) cos(? ?? ) .

3

3

tan 3?

?

3 tan? ? tan3 ? 1? 3 tan2 ?

? tan?

tan(? 3

?? ) tan(? 3

?? ) .

4.三角形面积定理:(1)S

?

1 2

aha

?

1 2

bhb

?

1 2

chc(

ha、hb、hc

分别表示

a、b、c 边上的高).

(2) S ? 1 absin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B .

2

2

2

(3)

S?OAB

?

1 2

(|

uuur OA | ? |

uuur OB

|)2

uuur uuur ? (OA?OB)2

.

5.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B) ? C ? ? ? A ? B 22 2
? 2C ? 2? ? 2(A ? B) .

6.

正弦型函数 y ? Asin(?x ? ?) 的对称轴为 x ?

k?

?

? 2

??

(k

?

Z);

?

对称中心为

k? (

?

?

,0)(k

?

Z

)

;类似可得余弦函数型的对称轴

?

和对称中心;

〈三〉易错点提示:

1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了

吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗? ( 这些统称为 1 的代换) 常 数 “1”的种种代换有着广泛的应用.
3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、 用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次)
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?

(

)


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com