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高中数学第三章导数及其应用3_3_1单调性课件苏教版选修1_1_图文

第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性 学习目标 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明 一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系 思考1 观察下列各图,完成表格内容 函数及其图象 切线斜率k正负 导数正负 单调性 [1,+∞)上单 调 递增 正 正 正 正 R上单调 递增 负 负 (0,+∞)上单调 递减 负 负 (0,+∞)上单调 递减 (-∞,0)上单调 递减 负 负 思考2 依据上述分析,可得出什么结论? 答案 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上, ①如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增; ②如果f′(x)<0,则f(x)在该区间上单调递减. 梳理 (1) 导数值 切线的斜率 倾斜角 >0 >0 <0 锐角 曲线的变化趋势 函数的单调性 单调 递增 递减 上升 下降 <0 钝角 单调 (2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 函数的单调性 增 单调递___ 减 单调递___ 常函数 导数 f′(x) ≥0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒 为零 f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒 为零 f′(x)=0 题型探究 类型一 求函数的单调区间 命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1 求f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 解答 反思与感悟 求函数y=f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y′=f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,函数在定义域内的解集上为增函数; (4)解不等式f′(x)<0,函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练 1 e 求函数 f(x)= 的单调区间. 解答 x-2 x 函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). ex?x-2?-ex ex?x-3? f′(x)= = 2 2. ?x-2? ?x-2? 因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0. 由f′(x)>0,得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞); 由f′(x)<0,得x<3. 又函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞), 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3). 命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 解答 引申探究 若将本例改为f(x)=ax2-ln x(a∈R)呢? 解答 反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围, 而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号,否则会产生错误. (2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题,在每一个局部问题 中,原先的不确定因素就变成了确定性因素,当这些局部问题都解决 了,整个问题就解决了. 跟踪训练2 已知函数 f(x) = 4x3 + 3tx2 - 6t2x + t - 1 ,其中 x∈R , t∈R. 当 t≠0时,求f(x)的单调区间. 解答 类型二 证明函数的单调性问题 例3 ?π ? sin x ? , π 证明:函数 f(x)= x 在区间? ? ?上单调递减. 解答 2 ? ? ?π ? xcos x-sin x ? ? , π f′(x)= ,又 x ∈ 2 ? ?, x ?2 ? 则cos x<0,sin x>0,∴xcos x-sin x<0, ∴f′(x)<0, ?π ? ? ∴f(x)在?2,π? ?上是减函数. ? ? 反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题: (1) 首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域 内这个前提下进行. (2)f′(x)>(或<)0,则f(x)为单调递增(或递减)函数;但要特别注意,f(x) 为单调递增(或递减)函数,则f′(x)≥(或≤)0. 跟踪训练3 证明:函数f(x)= ln x 在区间(0,e)上是增函数. 证明 x 1 x· -ln x 1-ln x x ln x ∵f(x)= x ,∴f′(x)= x2 = x2 . 又0<x<e,∴ln x<ln e=1. 1-ln x ∴f′(x)= x2 >0,故 f(x)在区间(0,e)上是增函数. 类型三 已知函数的单调性求参数范围 例4 a 已知函数 f(x)=x + x(x≠0,常数 a∈R).若函数 f(x)在 x∈[2,+∞) 2 上单调递增,求 a 的取值范围. 解答 反思与感悟 已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围,可转化为不等 式恒成立问题,一般地,函数f(x)在区间I上单调递增(或减),转化为不 等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立,再用有关方法可求出参数的 取值范围. 1 3 1 2 跟踪训练 4 已知函数 f(x)=3x -2ax -(a+1)x+2 在区间[1,2]上为减 函数,求实数 a 的取值范围. 解答 当堂训练 ② 1.关于函数f(x)=1-x-sin x,下列说法正确的是_____.( 填序号) ①在(0,2π)上是增函数; ②在(0,2π)上是减函数; ③在(0,π)上是增函数,在(π,2π)上是减函数; ④在(0,π)上是减函数,在(π,2π)上是增函数. 答案 解析 当x∈(0,2π)时,f′(x)=-1-cos x≤0, 所以f(x)在(0,2π)上是减函数. 1 2 3 4 5 2. 设函数 f(x) 在定义域内可导, y = f(x) 的图象如图所 ④ 示,则导函数f′(x)的图象可能是________.

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