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2015-2016学年高中数学 3.1第2课时 不等式性质的应用课件 新人教A版必修5


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章 不等式

第三章
3.1 不等关系与不等式 不等式性质的应用

第2课时

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题.

和你的同桌做个游戏:假设有四只盛满水的圆柱形水桶

A 、 B 、 C 、 D ,桶 A 、 B 的底面半径均为 a ,高分别为 a 和 b ,桶
C、D的底面半径为b,高分别为a和b(其中a≠b).你们各自从中 取两只水桶,得水多者为胜.如果让你先取,你有必胜的把握 吗?

[解析] 水桶A、B、C、D的容积依次为πa3、πa2b、πab2、
πb3, ∵a≠b,∴a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)>0, ∴a3+b3>a2b+ab2, ∴πa3+πb3>πa2b+πab2, 先取水桶A和水桶D必胜.

给出下列结论: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a<b,则 ac2<bc2; 1 1 ③若a<b<0,则 a>b; ④若 a>b,c>d,则 a-c>b-d; ⑤若 a>b,c>d,则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________.

[答案] ③

[解析] ①当 c>0 时,由 ac>bc?a>b,当 c<0 时,由 ac>bc ?a<b,故①错. ②当 c≠0 时,由 a<b?ac2<bc2,当 c=0 时,由 a<b?/ ac2<bc2,故②错. 1 1 1 1 ③∵a<b<0,∴a<0,b<0,∴ab>0,∴a· ab<b· ab,即 b<a, ∴a>b,故③正确.

④∵c>d,∴-c<-d,又 a>b,两不等式不等号的方向不 同,不能相加,∴a-c>b-d 错误. a>b>0? 0>a>b? ? ? ??ac>bd, ??ac<bd, ⑤ ? ? c>d>0 ? 0>c>d ? a>b>0? 0>a>b? ? ? ? ??/ ac>bd. 但 ?/ ac>bd, 0>c>d ? c>d>0 ? ? ?

请你分析下题解题过程是否存在错误?若有错误请纠正. π π 若 α,β 满足-2<α<β<2,则 α-β 的取值范围是( A.-π<α-β<π B.-π<α-β<0 π π π C.-2<α-β<2 D.-2<α-β<0 π π π π 解:∵-2<α<β<2,∴-2<-β<2, )

∴-π<α-β<π,故选 A. 错误:∵α<β,∴α-β<0,应选 B.

课堂探究学案

不等式的证明
e e 若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . ?a-c?2 ?b-d?2

? ?作差法:判断 e 2- e 2与0的 ?a-c? ?b-d? ? ? 大小关系 ? [分析] 一题多解? e ? ?a-c?2 ?作商法:判断 与1的大小关系 e ? 2 ? ? b - d ? ?

e e [解析] 证法一: - ?a-c?2 ?b-d?2 e[?b-d?2-?a-c?2] = ?a-c?2?b-d?2 e?b-d+a-c??b-d-a+c? = ?a-c?2?b-d?2 e[?a+b?-?c+d?][?b-a?+?c-d?] = . 2 2 ?a-c? ?b-d?

∵a>b>0,c<d<0, ∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0, ∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. ∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0. e e 又∵(a-c) (b-d) >0,∴ 2- 2>0, ?a-c? ?b-d?
2 2

e e ∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2

e ?a-c?2 ?b-d?2 证法二: e = 2. ?a-c? ?b-d?2 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴(a-c)2>(b-d)2>0,

e ?a-c?2 ?b-d?2 ∴0< <1,∴0< e <1. ?a-c?2 ?b-d?2 e e 又∵ 2<0, 2<0, ?a-c? ?b-d? e e ∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2

[方法规律总结] 证明不等式的常用方法有: (1)作差法. (2)作商法.比较 a 与 b 的大小时,先判断 a 与 b 的符号, a a 利用 a>b>0?b>1,0>a>b?b<1. (3)根据待求不等式的形式,多项式形式适用于作差法,比 值形式、指数形式适用于作商法.

3 a 3 b 已知 a>b>0,c<d<0.求证: d< c .
[解析] ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 1 1 ∴0<-c <-d. a b 又∵a>b>0,∴-d>-c >0. 3 -a 3 -b 3 a 3 b ∴ d > c ,即- d>- c . 3 a 3 b 两边同乘以-1,得 d< c .

利用不等式的性质求取值范围 若 二 次 函 数 y = f ( x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求f(3)的范围.

[解析] 设 f(x)=ax2+c(a≠0), 则 f(1)=a+c,f(2)=4a+c. 又∵f(3)=9a+c,故设 λ1f(1)+λ2f(2)=f(3), 5 ? ? ?λ1=-3, ?λ1+4λ2=9, 则有? 解得? ? ?λ1+λ2=1, ?λ2=8. 3 ?

8f?2?-5f?1? ∴f(3)= . 3 ∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4, ∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32. ∴14≤8f(2)-5f(1)≤27. 14 8f?2?-5f?1? 14 ∴3≤ ≤9,即 3 ≤f(3)≤9. 3

[方法规律总结 ]

求取值范围的问题要注意解题方法是否

符合不等式的性质,是否使范围扩大或缩小.

α+β α-β π π 已知-2≤α<β≤2,求 2 , 2 的范围.

π π [解析] ∵-2≤α<β≤2, π α π π β π ∴-4≤2<4,-4<2≤4. π α+β π 两式相加,得-2< 2 <2.

π β π ∵-4<2≤4, π β π ∴-4≤-2<4, π α-β π ∴-2≤ 2 <2. α-β 又∵α<β,∴ 2 <0. π α-β ∴-2≤ 2 <0.

不等式的实际应用 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前 往.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受7.5折优

惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这
两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人 数,比较两车队的收费哪家更优惠. [分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小.

[解析] 设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐 甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 1 3 4 则 y1=x+4x· (n-1)=4x+4xn,y2=5xn, 1 3 4 y1-y2=4x+4xn-5xn 1 1 1 n =4x-20xn=4x(1-5). 当 n=5 时,y1=y2;当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此,当此单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多 于 5 人时,选甲车队更优惠;少于 5 人时,选乙车队更优惠.

[ 方法规律总结 ]

“最优方案”问题,首先要设出未知

量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表 示出来,通过比较即可得出结论.

甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食 (同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也 不同.其中,甲每次购买 1 000 kg ,乙每次购粮用去 1 000 元 钱,谁的购粮方式更合算?
[解析] 设两次价格分别为 a 元,b 元,则甲的平均价格为 a +b 2 000 2ab m= 2 元,乙的平均价格为 n=1 000 1 000= ,∴m-n a+b a + b a+b 2ab ?a-b?2 = 2 - = >0,∴乙合算. a+b 2?a+b?

已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值 范围. [错解] ∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3, ∴两式相加可得0≤a≤4. 又∵1≤a+b≤5,-3≤b-a≤1,

∴两式相加可得-1≤b≤3.
∴0≤3a≤12,-6≤-2b≤2, ∴-6≤3a-2b≤14.

[辨析]

错误的原因是“由1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,得出

0≤a≤4,-1≤b≤3”的过程是一个不等价变形.
[正解] 设 3a-2b=x(a+b)+y(a-b), 则 3a-2b=(x+y)a+(x-y)b. ? 1 x=2 ? ? x + y = 3 ? 从而? ,解得? ? ?x-y=-2 ?y=5 ? 2 1 5 ∴3a-2b=2(a+b)+2(a-b)

.

∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3, 1 1 5 5 5 15 ∴2≤2(a+b)≤2,-2≤2(a-b)≤ 2 , ∴-2≤3a-2b≤10.

[ 警示 ]

在应用不等式性质变形时,要保持变形的等价

性.避免扩大或缩小取值范围.

? ? 作差法 ?利用性质证明不等式? ? ? 不等式性? ?作商法 ? 质的应用?不等式的实际应用 ? ?利用不等式的性质求取值范围



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