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2013福州中考数学解析

福建省福州市 2013 年中考数学试卷(解析版) 一.选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分;每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置 填涂) 1. (2013 福州)2 的倒数是( ) A. B.﹣ C.2 D.﹣2

考点:倒数. 分析:根据倒数的概念求解. 解答:解:2 的倒数是 . 故选 A. 点评:主要考查倒数的定义,要求熟练掌握.需要注意的是倒数的性质:负数的倒数是负数,正数的倒数 是正数,0 没有倒数. 倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数. 2. (2013 福州)如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2 的度数是( )

A.20° B.40° C.50° D.60° 考点:余角和补角. 分析:根据互余两角之和为 90°即可求解. 解答:解:∵OA⊥OB,∠1=40°, ∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°. 故选 C. 点评:本题考查了余角的知识,属于基础题,掌握互余两角之和等于 90°是解答本题的关键. 3. (2013 福州)2012 年 12 月 1 3 日,嫦娥二号成功飞抵距地球约 700 万公里远的深空,7 000 000 用科学 记数法表示为( ) 5 6 6 7 A.7×10 B.7×10 C.70×10 D.7× 10 考点:科学记数法—表示较大的数. n 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式, 其中 1≤|a|<10, 为整数. n 确定 n 的值是易错点, 由于 7 000 000 有 7 位,所以可以确定 n=7﹣1=6. 6 解答:解:7 000 000=7×10 . 故选 B. 点评:此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定 a 与 n 值是关键. 4. (2013 福州)下列立体图形中,俯视图是正方形的是( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单几何体的三视图. 分析:俯视图是从上面看所得到的视图,结合选项进行判断即可.

解答:解:A.俯视图是带圆心的圆,故本选项错误; B.俯视图是一个圆,故本选项错误; C.俯视图是一个圆,故本选项错误; D.俯视图是一个正方形,故本选项正确; 故选 D. 点评:此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握俯视图的定义. 5. (2013 福州)下列一元二次方程有两个相等实数根的是( ) 2 2 2 A.x +3=0 B.x +2x=0 C. (x+1) =0 D. (x+3) (x﹣1)=0 考点:根的判别式. 专题:计算题. 分析:根据计算根的判别式,根据判别式的意义可对 A、B、C 进行判断;由于 D 的两根可直接得到,则 可对 D 进行判断. 解答:解:A.△=0﹣4×3=﹣12<0,则方程没有实数根,所以 A 选项错误; B.△=4﹣4×0=4>0,则方程有 两个不相等的实数根,所以 B 选项错误; C.x +2x+1=0,△ =4﹣4×1=0,则方程有两个相等的实数根,所以 C 选项正确; D.x1=﹣3,x2=1,则方程有两个不相等的实数根,所以 D 选项错误. 故选 C. 2 2 点评:本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =b ﹣4ac:当△ >0,方程有两个不相 等的实数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0,方程没有实数根. 6. (2013 福州)不等式 1+x<0 的解集在数轴上表示正确的是( )
2

A.

B.

C.

D. 考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 专题:计算题. 分析:求出不等式的解集,即可作出判断. 解答:解:1+x<0, 解得:x<﹣1, 表示在数轴上,如图所示: 故选 A 点评:此题考查了在数轴上表示不等式的解集,以及解一元一次不等式,把每个不等式的解集在数轴上表 示出来(>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集 的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集. 有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤” 要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 7. (2013 福州)下列运算正确的是( ) A.a?a =a
2 3

B. ) =a C. (a

2

3

5

D.a ÷a =a

3

3

考点:分式的乘除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的 除法. 专题:计算题. 分析:A.原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断; B.原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断; C.原式分子分母分别乘方得到结果,即可作出判断; D.原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可作出判断.

解答:解:A.a?a =a ,本选项正确; 2 3 6 B. ) =a ,本选项错误; (a C. ) = (
3 3 2

2

3

,本选项错误;

D.a ÷a =1,本选项错误, 故选 A 点评:此题考查了分式的乘除法,同底数幂的乘除法,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解 本题的关键. 8. (2013 福州)如图,已知△ ABC,以点 B 为圆心,AC 长为半径画弧;以点 C 为圆心,AB 长为半径画 弧,两弧交于点 D,且点 A,点 D 在 BC 异侧,连结 AD,量一量线段 AD 的长,约为( )

A.2.5cm B.3.0cm C.3.5cm D.4.0cm 考点:平行四边形的判定与性质;作图—复杂作图. 分析:首先根据题意画出图形,知四边形 ABCD 是平行四边形,则平行四边形 ABCD 的对角线相等,即 AD=BC.再利用刻度尺进行测量即可. 解答:解:如图所示,连接 BD、BC、AD. ∵AC=BD,AB=CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC. 测量可得 BC=AD=3.0cm, 故选:B.

点评:此题主要考查了复杂作图,关键是正确理解题意,画出图形. 9. (2013 福州)袋中有红球 4 个,白球若干个,它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球,如果 取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是( ) A.3 个 B.不足 3 个 C.4 个 D.5 个或 5 个以上 考点:可能性的大小. 分析:根据取到白球的可能性交大可以判断出白球的数量大于红球的数量,从而得解. 解答:解:∵袋中有红球 4 个,取到白球的可能性较大, ∴袋中的白球数量大于红球数量, 即袋中白球的个数可能是 5 个或 5 个以上. 故选 D.

点评:本题考查可能性大小的比较:只要总情况数目相同,谁包含的情况数目多,谁的可能性就大;反之 也成立;若包含的情况相当,那么它们的可能性就相等. 10. (2013 福州)A,B 两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为 A(x+a,y+b) ,B(x, y) ,下列结论正确的是( )

A.a>0 B.a<0 C.b=0 D.ab<0 考点:一次函数图象上点的坐标特征. 分析:根据函数的图象可知:y 随 x 的增大而增大,y+b<y,x+a<x 得出 b<0,a<0,即可推出答案. 解答:解:∵根据函数的图象可知:y 随 x 的增大而增大, ∴y+b<y,x+a<x, ∴b<0,a<0, ∴选项 A、C、D 都不对,只有选项 B 正确, 故选 B. 点评:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用,主要考查学生的理解能力和观察图象的能力. 二.填空题(共 5 小题,每小题 4 分.满分 20 分;请将正确答案填在答题卡相应位置) 11. (2013 福州)计算: = .

考点:分式的加减法. 专题:计算题. 分析:因为分式的分母相同,所以分母不变,分子相减即可得出答案. 解答:解:原式= = .故答案为 .

点评:本题比较容易,考查分式的减法运算. 12. (2013 福州)矩形的外角和等于 度. 考点:多边形内角与外角. 分析:根据多边形的外角和定理解答即可. 解答:解:矩形的外角和等于 360 度. 故答案为:360. 点评:本题考查了多边形的外角和,多边形的外 角和与边数无关,任何多边形的外角和都是 360°. 13. (2013 福州)某校女子排球队队员的年龄分布如下表:

年龄 人数

13 4

14 7

15 4

则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁. 考点:加权平均数. 分析:根据加权平均数的计算公式把所有人的年龄数加起来,再除以总人数即可. 解答:解:根据题意得 : (13×4+14×7+15×4)÷15=14(岁) , 故答案为:14. 点评:此题考查了加权平均数,掌握加权平均数的计算公式是解题的关键,是一道基础题.

14. (2013 福州)已知实数 a,b 满足 a+b=2,a﹣b=5,则(a+b) (a﹣b) 的值是 考点:幂的乘方与积的乘方. 专题:计算题. 分析:所求式子利用积的乘方逆运算法则变形,将已知等式代入计算即可求出值. 解答:解:∵a+b=2,a﹣b=5,
3 3

3

3



∴原式=[(a+b) (a﹣b)] =10 =1000. 故答案为:1000 点评:此题考查了幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 15. (2013 福州)如图,由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已 知每个正六边形的边长为 1,△ ABC 的顶点都在格点上,则△ ABC 的面积是 .

考点:正多边形和圆. 分析:延长 AB,然后作出 C 所在的直线,一定交于格点 E,根据 S△ ABC=S△ AEC﹣S△ BEC 即可求解. 解答:解:延长 AB,然后作出 C 所在的直线,一定交于格点 E. 正六边形的边长为 1,则半径是 1,则 CE=4, 相邻的两个顶点之间的距离是: △ ACE 边 EC 上的高是: , ﹣ )=2 . ,则△ BCE 的边 EC 上的高是: ,

则 S△ ABC=S△ AEC﹣S△ BEC= ×4×( 故答案是:2 .

点评:本题考查了正多边形的计算,正确理解 S△ ABC=S△ AEC﹣S△ BEC 是关键. 三.解答题(满分 90 分;请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置,作图或添辅助线用铅笔画完, 再用黑色签字笔描黑) 16. (2013 福州) (1)计算:
2



(2)化简: (a+3) +a(4﹣a) 考点:整式的混合运算;实数的运算;零指数幂. 分析: (1)原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负数的绝对值等于它的相反数计算,最后一项 化为最简二次根式,计算即可得到结果; (2)原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果. 解答:解: (1)原式=1+4﹣2 =5﹣2 ; 2 2 (2)原式=a +6a+9+4a﹣a =10a+9. 点评:此题考查了整式的混合运算,以及实数的运算,涉及的知识有:完全平方公式,平方差公式,去括 号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键 . 17. (2013 福州) (1)如图,AB 平分∠CAD,AC=AD,求证:BC=BD;

(2)列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分 3 本,则剩余 20 本;如果每人分 4 本, 则还缺 25 本,这个班有多少学生?

考点:全等三角形的判定与性质;一元一次方程的应用. 分析: (1)求出∠CAB=∠DAB,根据 SAS 推出△ ABC≌△ABD 即可; (2)设这个班有 x 名学生,根据题意得出方程 3x+20=4x﹣25,求出即可. 解答: (1)证明:∵AB 平分∠CAD, ∴∠CAB=∠DAB, 在△ ABC 和△ ABD 中

∴△ABC≌△ABD(SAS) , ∴BC=BD. (2)解:设这个班有 x 名学生,根据题意得:3x+20=4x﹣25, 解得:x=45, 答:这个班有 45 名小学生. 点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,一元一次方程的应用,主要考查学生的推理能力和列方程的 能力. 18. (2013 福州)为了解某校学生的身高情况,随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本 中,男生、女生的人数相同,利用所得数据绘制如下统计图表:身高情况分组表(单位:cm)
组别 A B C D E 身高 x<155 155≤x<160 160≤x<165 165≤x<170 x≥170

根据图表提供的信息,回答下列问题: (1)样本中,男生的身高众数在 组,中位数在 组; (2)样本中,女生身高在 E 组的人数有 人; (3)已知该校共有男生 400 人,女生 380 人,请估计身高在 160≤x<170 之间的学生约有多少人?

考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;扇形统计图;中位数;众数. 专题:图表型. 分析: 1)根据众数的定义,以及中位数的定义解答即可; ( (2)先求出女生身高在 E 组所占的百分比,再求出总人数然后计算即可得解; (3)分别用男、女生的人数乘以 C、D 两组的频率的和,计算即可得解. 解答:解:∵B 组的人数为 12,最多, ∴众数在 B 组, 男生总人数为 4+12+10+8+6=40, 按照从低到高的顺序,第 20、21 两人都在 C 组, ∴中位数在 C 组; (2)女生身高在 E 组的频率为:1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%, ∵抽取的样本中,男生、女生的人数相同, ∴样本中,女生身高在 E 组的人数有 40×5%=2 人; (3)400× +380×(25%+15%)=180+152=332(人) .

答:估计该校身高在 160≤x<170 之间的学生约有 332 人. 故答案为(1)B,C; (2)2. 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认 真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. 19. (2013 福州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(﹣2,0) ,等边三角形 AOC 经过平移 或轴对称或旋转都可以得到△ OBD. (1)△ AOC 沿 x 轴向右平移得到△ OBD,则平移的距离是 个单位长度;△ AOC 与△ BOD 关于直 线对称, 则对称轴是 ; AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△ DOB, △ 则旋转角度可以是 度; (2)连结 AD,交 OC 于点 E,求∠AEO 的度数.

考点:旋转的性质;等边三角形的性质;轴对称的性质;平移的性质. 专题:计算题.

分析: (1)由点 A 的坐标为(﹣2,0) ,根据 平移的性质得到△ AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到△ OBD, 则△ AOC 与△ BOD 关于 y 轴对称;根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°,则∠AOD=120°,根据 旋转的定义得△ AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120°得到△ DOB; (2)根据旋转的性质得到 OA=OD,而∠AOC=∠BOD=60°,得到∠DOC=60°,所以 OE 为等腰△ AOD 的 顶角的平分线,根据等腰三角形的性质得到 OE 垂直平分 AD,则∠AEO=90°. 解答:解: (1)∵点 A 的坐标为(﹣2,0) , ∴△AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到△ OBD; ∴△AOC 与△ BOD 关于 y 轴对称; ∵△AOC 为等边三角形, ∴∠AOC=∠BOD=60°, ∴∠AOD=120°, ∴△AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120°得到△ DOB. (2)如图,∵等边△ AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120°得到△ DOB, ∴OA=OD, ∵∠AOC=∠BOD=60°, ∴∠DOC=60°, 即 OE 为等腰△ AOD 的顶角的平分线, ∴OE 垂直平分 AD, ∴∠AEO=90°. 故答案为 2;y 轴;120.

点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两 图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心 的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质. 20. (2013 福州)如图,在△ ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 M,弦 MN∥BC 交 AB 于点 E,且 ME=1,AM=2,AE= (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)求 的长.

考点:切线的判定;勾股定理的逆定理;弧长的计算;解直角三角形. 分析: (1)欲证明 BC 是⊙O 的切线,只需证明 OB⊥BC 即可; (2)首先,在 Rt△ AEM 中,根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°;

其次,利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°,由三角形函数的定义求得 ON= = ; 计算 的长.

最后,由弧长公式 l=

解答: (1)证明:如图, ∵ME=1,AM=2,AE= , 2 2 2 ∴ME +AE =AM =4, ∴△AME 是直角三角形,且∠AEM=90°. 又∵MN∥BC, ∴∠ABC=∠AEM=90°,即 OB⊥BC. 又∵OB 是⊙O 的半径, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 ON. 在 Rt△ AEM 中,sinA= ∴∠A=30°. ∵AB⊥MN, ∴ = ,EN=EM=1, = ,

∴∠BON=2∠A=60°. 在 Rt△ OEN 中,sin∠EON= ∴ON= ∴ 的长度是: = , ? = . ,

点评:本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理,弧长的计算,解直角三角形等.要证某线 是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径) ,再证垂直即可. 21. (2013 福州)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,P 是 BC 边上一点,△ PAD 的面积为 , 设 AB=x,AD=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若∠APD=45°,当 y=1 时,求 PB?PC 的值; (3)若∠APD=90°,求 y 的最小值.

考点:相似形综合题. 专题:综合题. 分析: (1)如图 1,过 A 作 AE 垂直于 BC,在直角三角形 ABE 中,由∠B=45°,AB=x,利用锐角三角函 数定义表示出 AE,三角形 PAD 的面积以 AD 为底,AE 为高,利用三角形面积公式表示出,根据已知的 面积即可列出 y 与 x 的函数关系式; (2)根据∠APC=∠APD+∠CPD,以及∠APC 为三角形 ABP 的外角,利用外角性质得到关系式,等量代 换得到∠BAP=∠CPD, 再由四边形 ABCD 为等腰梯形, 得到一对底角相等及 AB=CD, 可得出三角形 ABP 与三角形 PDC 相似, 由相似得比例, CD 换为 AB, y 的值求出 x 的值, 将 由 即为 AB 的值, 即可求出 PB?PC 的值; (3)取 AD 的中点 F,过 P 作 PH 垂直于 AD,由直角三角形 PF 大于等于 PH,当 PF=PH 时,PF 最小, 此时 F 与 H 重合,由三角形 APD 为直角三角形,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 PF 等于 AD 的一半,表示出 PF 即为 PH,三角形 APD 面积以 AD 为底,PH 为高,利用三角形面积公式表示 出三角形 APD 面积,由已知的面积求出 y 的值,即为最小值. 解答:解: (1)如图 1, 过 A 作 AE⊥BC 于点 E, 在 Rt△ ABE 中,∠B=45°,AB=x, ∴AE=AB?sinB= x,

∵S△ APD= AD?AE= , ∴ ?y? 则 y= x= , ;

(2)∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,∠APD=∠B=45°, ∴∠BAP=∠CPD, ∵四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴∠B=∠C,AB=CD, ∴△ABP∽△PCD, ∴ = ,
2

∴PB?PC=AB?DC=AB , 当 y=1 时,x= ,即 AB= , 2 则 PB?PC=( ) =2; (3)如图 2,取 AD 的中点 F,连接 PF, 过 P 作 PH⊥AD,可得 PF≥PH, 当 PF=PH 时,PF 有最小值, ∵∠APD=90°, ∴PF= AD= y, ∴PH= y, ∵S△ APD= ?AD?PH= , ∴ ?y? y= ,即 y =2, ∵y>0,∴y= ,
2

则 y 的最小值为



点评:此题考查了相似形综合题,涉及的知识有:等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角 形斜边上的中线性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键. 2 22. (2013 福州)我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax +bx(a≠0) (1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a= ; 当顶点坐标为(m,m) ,m≠0 时,a 与 m 之间的关系式是 (2)继续探究,如果 b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k≠0)上,请用含 k 的代数式表示 b; (3)现有一组过原点的抛物线,顶点 A1,A2,…,An 在直线 y=x 上,横坐标依次为 1,2,…,n(为正 整数,且 n≤12) ,分别过每个顶点作 x 轴的垂线,垂足记为 B1,B2,…,Bn,以线段 AnBn 为边向右作正 方形 AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过 Dn,求所有满足条件的正方形边长. 考点:二次函数综合题. 分析: (1)利用顶点坐标公式(﹣ , )填空;
2

(2)首先,利用配方法得到抛物线的解析式 y=a(x+ ﹣ ) ;

)﹣

,则易求该抛物线的顶点坐标(﹣



然后,把该顶点坐标代入直线方程 y=kx(k≠0) ,即可求得用含 k 的代数式表示 b; (3)根据题意可设可设 An(n,n) ,点 Dn 所在的抛物线顶点坐标为(t,t) .由(1) (2)可得,点 Dn 所 在的抛物线解析式为 y=﹣ x +2x.所以由正方形的性质 推知点 Dn 的坐标是(2n,n) ,则把点 Dn 的坐标 代入抛物线解析式即可求得 4n=3t.然后由 n、t 的取值范围来求点 An 的坐标,即该正方形的边长. 解答:解: (1)∵顶点坐标为(1,1) ,
2





解得,



即当顶点坐标为(1,1)时,a=1;

当顶点坐标为(m,m) ,m≠0 时,



解得,

则 a 与 m 之间的关系式是:a=﹣ 或 am+1=0.

故答案是:﹣1;a=﹣ 或 am+1=0. (2)∵a≠0, ∴y=ax +bx=a(x+ ∴顶点坐标是(﹣
2

)﹣ ,﹣

2

, ) .

又∵该顶点在直线 y=kx(k≠0)上, ∴k(﹣ )=﹣ .

∵b≠0, ∴b=2k; (3)∵顶点 A1,A2,…,An 在直线 y=x 上, ∴可设 An(n,n) ,点 Dn 所在的抛物线顶点坐标为(t,t) . 由(1) (2)可得,点 Dn 所在的抛物线解析式为 y=﹣ x +2x. ∵四边形 AnBnCnDn 是正方形, ∴点 Dn 的坐标是(2n,n) , ∴﹣ (2n) +22n=n, ∴4n=3t. ∵t、n 是正整数,且 t≤12,n≤12, ∴n=3,6 或 9. ∴满足条件的正方形边长是 3,6 或 9. 点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的顶点坐标 公式以及正方形的性质.解答(3)题时,要注意 n 的取值范围.
2 2


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