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创新设计浙江专用2016


【创新设计】 (浙江专用)2016-2017 高中数学 第三章 三角恒等变换 习题课 简单的三角恒等变换课时作业 新人教版必修 4
1.化简 2- 2- 2+ 2+2cos α (3π <α <4π )等于( α B.2sin 16 α D.cos 16 2- 2- )

α A.sin 16 α C.2cos 16 解析 原式=

? α? 2+2?cos ? 2? ?
α = 2 2-



2-

2-

2+2cos

? α? 2-2?cos ? 4? ?

= =

2-

α 2+2cos = 4

? α? 2-2?cos ? 8? ?

α α ? α? 2-2cos =2?sin ?=2sin . 8 16 ? 16?

答案 B π? 4 2 ? 2.若 sin α = ,则 sin?α + ?- cos α 等于( 4? 2 5 ? 2 2 A. 5 B. -2 2 5 C. 4 2 5 ) 4 2 D.- 5

π? 2 π π 2 ? 解析 sin?α + ?- cos α =sin α cos +cos α sin - cos α 4? 2 4 4 2 ? π 4 2 2 2 =sin α cos = × = . 4 5 2 5 答案 A 1 3.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 3π B. 4 π C. 3 ) π D. 6

tan B+tan C 解析 tan A=tan[π -(B+C)]=-tan(B+C)=- 1-tan Btan C 1 -2+ 3

=- =1. 1 1-(-2)× 3

-1-

又 A 为△ABC 的内角.故 A= 答案 A 4.已知 sin(α -45°)=-

π . 4

2 ,0°<α <90°,则 cos α =________. 10

解析 ∵0°<α <90°,∴-45°<α -45°<45°, 7 2 2 ∴cos(α -45°)= 1-sin (α -45°)= , 10 ∴cos α =cos[(α -45°)+45°] 4 =cos(α -45°)cos 45°-sin(α -45°)sin 45°= . 5 答案 4 5

2 2sin x+1 ? π? 5.设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为________. 2? sin 2x ?

解析

2sin x+1 2-cos 2x 因为 y= = , sin 2x sin 2x

2

2-cos 2x ? π? 所以令 k= .又 x∈?0, ?, 2? sin 2x ? 所以 k 就是单位圆 x +y =1 的左半圆上的动点
2 2

P(-sin 2x,cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率.
又 kmin=tan 60°= 3, 2sin x+1 所以函数 y= 的最小值为 3. sin 2x 答案 3
2 2 2

6.求函数 y=sin x+2sin xcos x+3cos x 的最小值. 解 y=sin x+2sin xcos x+3cos x =1+2sin xcos x+2cos x =2+sin 2x+cos 2x =2+ 2·? 2 ? 2 ? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ?
2 2 2

π? ? =2+ 2sin?2x+ ?. 4? ? π? ? ∴当 sin?2x+ ?=-1, 4? ? π π 即 2x+ =2kπ - (k∈Z)时,函数有最小值. 4 2

-2-

3π 即 x=kπ - (k∈Z)时,函数最小值为 2- 2. 8

?π 3π ? 7.已知 A,B,C 三点的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos α ,sin α ),α ∈? , ?. 2 ? ?2
→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α ; 2sin α +sin 2α → → (2)若AC·BC=-1,求 的值. 1+tan α → 2 2 解 (1)由题意得|AC|= (cos α -3) +sin α = 10-6cos α , → 2 2 |BC|= cos α +(sin α -3) = 10-6sin α . → → ∵|AC|=|BC|,∴ 10-6cos α = 10-6sin α ,∴sin α =cos α , ∴tan α =1.又∵α ∈?
2

?π ,3π ?,∴α =5π . 2 ? 4 ?2 ?

→ → (2)∵AC·BC=(cos α -3)cos α +sin α (sin α -3) π? ? 2 2 =cos α -3cos α +sin α -3sin α =1-3 2·sin?α + ?=-1, 4? ? π? 2 ? ∴sin?α + ?= , 4? 3 ? 2sin α +sin 2α 2sin α (sin α +cos α ) ∴ = =sin 2α 1+tan α cos α +sin α cos α π? 2 5 ?π ? 2? =-cos? +2α ?=2sin ?α + ?-1=2× -1=- . 4? 9 9 ?2 ? ? 8.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值;
2

?π ? 2 (2)若函数 f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α , 求函数 y= 3f? -2x?-2f (x) ?2 ? ? 2π ? 在区间?0, ?上的取值范围. 3 ? ?
解 (1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α = ,cos α =- ,tan α =- , 2 2 3 ∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α =cos x,

-3-

π? ?π ? ? 2 ∴y= 3cos? -2x?-2cos x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin?2x- ?-1, 6? ?2 ? ? 2π 4π ∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤ , 3 3 π? π π 7π 1 ? ∴- ≤2x- ≤ ,∴- ≤sin?2x- ?≤1, 6? 6 6 6 2 ? π? ? ∴-2≤2sin?2x- ?-1≤1, 6? ? 故函数 y= 3f?

?π -2x?-2f2(x)在区间?0,2π ?上的取值范围是[-2,1]. ? ? ? 3 ? ?2 ? ?
能 力 提 升
4 2

9.函数 f(x)=sin x+cos x 的最小正周期是( π A. 4
4

) C.π D.2π

B.

π 2
2

解析 f(x)=sin x+1-sin x =sin x-sin x+1=-sin x(1-sin x)+1 1 2 2 2 =1-sin xcos x=1- sin 2x 4 1 1-cos 4x 1 7 =1- × = cos 4x+ , 4 2 8 8 2π π ∴T= = . 4 2 答案 B 10.定义运算? 等于( π A. 12 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc,若 cos α =7,? ?c d? ?cos α ) π B. 6 π C. 4 π D. 3 sin β ? 3 3 π ?= 14 ,0<β <α < 2 ,则 β cos β ?
4 2 2 2

3 3 解析 依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )= , 14 π π 又 0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 13 2 故 cos(α -β )= 1-sin (α -β )= , 14 1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β )
-4-

4 3 13 1 3 3 3 = × - × = , 7 14 7 14 2 π 故 β = ,故选 D. 3 答案 D

?π ? 2 11.已知 tan? +θ ?=3,则 sin 2θ -2cos θ 的值为________. ?4 ?
1+tan θ 1 ?π ? 解析 ∵tan? +θ ?=3,∴ =3,解得 tan θ = . 4 1-tan θ 2 ? ? ∵sin 2θ -2cos θ =sin 2θ -cos 2θ -1 2sin θ cos θ cos θ -sin θ = 2 - 2 -1 2 2 sin θ +cos θ sin θ +cos θ 2tan θ 1-tan θ 4 3 4 = - -1= - -1=- . 2 2 1+tan θ 1+tan θ 5 5 5 4 答案 - 5 π? ? 2 12.函数 f(x)=sin?2x- ?-2 2sin x 的最小正周期是________. 4? ? 解析 f(x)= = 2 2 sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2
2 2 2 2

π? 2 2 2π ? sin 2x+ cos 2x- 2=sin?2x+ ?- 2,∴T= =π . 4? 2 2 2 ?

答案 π π 13.如图(甲)所示, 已知 OPQ 是半径为 1, 圆心角为 的扇形, 四边形 ABCD 是扇形的内接矩形, 3

B,C 两点在圆弧上,OE 是∠POQ 的平分线,E 在PQ上,连接 OC,记∠COE=α ,则角 α 为
何值时矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积.





如题图乙所示,设 OE 交 AD 于 M,交 BC 于 N,显然矩形 ABCD 关于 OE 对称,而 M,N

均为 AD,BC 的中点,在 Rt△ONC,CN=sin α ,ON=cos α ,

OM=

DM

π tan 6

= 3DM= 3CN= 3sin α ,

-5-

∴MN=ON-OM=cos α - 3sin α , 即 AB=cos α - 3sin α , 而 BC=2CN=2sin α , 故 S 矩形 ABCD=AB·BC=(cos α - 3sin α )·2sin α =2sin α cos α -2 3sin α =sin 2α - 3(1-cos 2α ) =sin 2a+ 3cos 2a- 3 3 ?1 ? =2? sin 2α + cos 2α ?- 3 2 ?2 ? π? ? =2sin?2α + ?- 3. 3? ? π π π π 2π ∵0<α < ,∴0<2α < , <2α + < . 6 3 3 3 3 π π 故当 2α + = , 3 2 π 即 α = 时,S 矩形 ABCD 取得最大值, 12 此时 S 矩形 ABCD=2- 3. 探 究 创 新 14.已知向量 a=(sin θ ,cos θ -2sin θ ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值. (2)若|a|=|b|,0<θ <π ,求 θ 的值. 解 (1)因为 a∥b, 所以 2sin θ =cos θ -2sin θ , 1 于是 4sin θ =cos θ ,故 tan θ = . 4 (2)由|a|=|b|知, sin θ +(cos θ -2sin θ ) =5, 所以 1-2sin 2θ +4sin θ =5. 从而-2sin 2θ +2(1-cos 2θ )=4, 即 sin 2θ +cos 2θ =-1, π? 2 ? 于是 sin?2θ + ?=- ,又由 0<θ <π 知, 4 2 ? ? π π 9π π 5π π 7π π 3π <2θ + < ,所以 2θ + = ,或 2θ + = ,因此 θ = 或 θ = . 4 4 4 4 4 4 4 2 4
2 2 2 2

-6-



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