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2013年高考文科数学广东卷word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 文史类(广东卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.(2013 广东,文 1)设集合 S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则 S∩T=( A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 答案:A 解析:∵S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}. 2.(2013 广东,文 2)函数 y ? A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) 答案:C ).

lg? x ? 1? 的定义域是( x ?1

).

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)

解析:要使函数有意义,则 ?

? x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 0,

解得 x>-1 且 x≠1, 故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞). 3.(2013 广东,文 3)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D 解析:∵i(x+yi)=-y+xi=3+4i, ∴?

).

? x ? 4, ? y ? ?3.

∴x+yi=4-3i.
2 2 ∴|x+yi|= 4 ? ??3? =5.

4.(2013 广东,文 4)已知 sin ? A. ?

2 5

? 5π ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos α=( ? 2 ? 5 1 1 2 B. ? C. D. 5 5 5

).

答案:C

π ? 5π ? ? ? ? ? ? ? sin ? 2π ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ?π ? = sin ? ? ? ? =cos α= , 5 ?2 ? 1 ∴cos α= . 5
解析:∵ sin ? 5.(2013 广东,文 5)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输 出 s 的值是( ). A.1 B.2 C.4 D.7 答案:C 解析:i=1,s=1,i≤3,s=1+0=1,i=2; i≤3,s=1+1=2,i=3; i≤3,s=2+2=4,i=4; i>3,s=4. 6.(2013 广东,文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(
2013 广东文科数学 第1页 共8页

).

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.1

答案:B 解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是 1,且三棱锥的高 为 2,故 V 三棱锥=

1 1 1 × ×1×1×2= . 3 2 3

7.(2013 广东,文 7)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第Ⅰ象限的 直线方程是( ). A.x+y- 2 =0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2 =0 答案:A 解析:由于所求切线垂直于直线 y=x+1,可设所求切线方程为 x+y+m =0.由圆心到切线的距离等于半径得

|m| ? 1 ,解得 m ? ? 2 . 2 又由于与圆相切于第Ⅰ象限,则 m ? ? 2 .

8.(2013 广东,文 8)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确 的是( ). A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 答案:B 解析:如图,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中, 对于 A,设 l 为 AA1,平面 B1BCC1,平面 DCC1D1 为 α,β. A1A∥平面 B1BCC1,A1A∥平面 DCC1D1, 而平面 B1BCC1∩平面 DCC1D1=C1C; 对于 C,设 l 为 A1A,平面 ABCD 为 α,平面 DCC1D1 为 β.A1A⊥平面 ABCD, A1A∥平面 DCC1D1, 而平面 ABCD∩平面 DCC1D1=DC; 对于 D,设平面 A1ABB1 为 α,平面 ABCD 为 β,直线 D1C1 为 l,平面 A1ABB1 ⊥平面 ABCD,D1C1∥平面 A1ABB1,而 D1C1∥平面 ABCD. 故 A,C,D 都是错误的. 而对于 B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知 B 正确. 9.(2013 广东,文 9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 A.

1 ,则 C 的方程是( 2

).

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ?1 D. 4 3
B.

答案:D 解析:由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知,c=1. 又离心率等于

1 c 1 ,则 ? ,得 a=2. 2 a 2
x2 y2 ? ? 1. 4 3

由 b2=a2-c2=3, 故椭圆 C 的方程为

10.(2013 广东,文 10)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c;
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②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μc; ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μc. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:对于①,由向量加法的三角形法则知正确;对于②,由平面向量基本定理知正确;对于③,以 a 的终点作长度为 μ 的圆,这个圆必须和向量 λb 有交点,这个不一定能满足,故③不正确;对于④, 利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必须|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|,故④不正 确.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.(2013 广东,文 11)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|=__________. 答案:15 - 解析:由数列{an}首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n 1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则 a1 +|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 12.(2013 广东,文 12)若曲线 y=ax2-ln x 在(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=__________. 答案:

1 2

解析: 由曲线在点(1, a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0, y′=2ax- 由

1 及导数的几何意义得 y′|x x

1 =1=2a-1=0,解得 a= 2 .
? x ? y ? 3 ? 0, ? 13.(2013 广东,文 13)已知变量 x,y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1, 则 z=x+y 的最大值是__________. ? y ? 1, ?
答案:5 解析:由线性约束条件画出可行域如下图,平移直线 l0,当 l 过点 A(1,4),即当 x=1,y=4 时,zmax= 5.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14.(2013 广东,文 14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为__________. 答案: ?

? x ? 1 ? cos ? , (φ 为参数) ? y ? sin ? ? x ? 1 ? cos ? , (φ 为参数). ? y ? sin ?

解析: 由曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos θ 知以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线 C 是以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆,其方程为(x-1)2+y2=1,故参数方程为 ?
2013 广东文科数学 第3页 共8页

15.(2013 广东,文 15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=3,BE⊥AC,垂足 为 E,则 ED=__________.

答案:

21 2

解析:在 Rt△ABC 中,AB= 3 ,BC=3,tan∠BAC=

BC ? 3, AB

则∠BAC=60° ,AE=

3 1 AB= . 2 2

在△AED 中,∠EAD=30° ,AD=3, ED2=AE2+AD2-2AE· ADcos∠EAD

? 3? 3 =? +32-2× ×3×cos 30° ? 2 ? ? 2 ? ? 3 3 3 = +9-2× ×3× 2 2 4 21 = . 4 21 ∴ED= . 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. π? ? 16.(2013 广东,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 2cos ? x ? ? ,x∈R. ? 12 ? ?π? (1)求 f ? ? 的值; ?3? π? 3 ? 3π ? ? , 2π ? ,求 f ? ? ? ? . (2)若 cos θ= ,θ∈ ? 6? 5 ? ? 2 ? π ?π? ?π π ? 解:(1) f ? ? ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? 1 . 4 ?3? ? 3 12 ? 3 ? 3π ? , 2π ? , (2)∵cos θ= ,θ∈ ? 5 ? 2 ? 4 2 sin θ= ? 1 ? cos ? ? ? , 5

2

2013

广东文科数学

第4页

共8页

π? π? ? ? ? 2cos ? ? ? ? 6? 4? ? π π? 1 ? = 2 ? cos? cos ? sin? sin ? ? ? . 4 4? 5 ?
∴ f ?? ? 17.(2013 广东,文 17)(本小题满分 12 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布 表如下: [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 分组(重量) 5 10 20 15 频数(个) (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在[80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率. 解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为 (2)重量在[80,85)的有 4×

? ?

20 =0.4; 50

5 =1 个; 5 ? 15

(3)设这 4 个苹果中[80,85)分段的为 1,[95,100)分段的为 2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 种.任取 2 个,重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个记为事件 A, 则事件 A 包含有(1,2),(1,3),(1,4),共 3 种,所以 P(A)=

3 1 ? . 6 2

18.(2013 广东,文 18)(本小题满分 14 分)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB, AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱 锥 A-BCF,其中 BC=

2 . 2

图(1)

图(2) (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=

2 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3 AD AE . ? DB EC
2013 广东文科数学 第5页 共8页

(1)证明:在等边三角形 ABC 中, ∵AD=AE,∴



AD AE ,在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立, ? DB EC

∴DE∥BC. ∵DE ? 平面 BCF,BC ? 平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)证明:在等边三角形 ABC 中,∵F 是 BC 的中点,BC=1,∴AF⊥CF,BF=CF= ∵在三棱锥 A-BCF 中,BC=

1 . 2

2 , 2

∴BC2=BF2+CF2.∴CF⊥BF. ∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解:由(1)可知 GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG. ∴VF-DEG=VE-DFG=

1 1 1 ?1 3? 1 3 1 1 × · FG· DG· GE= ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 . ? 3 2 3 ? 3 2 ?

19.(2013 广东,文 19)(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=an+12- 4n-1,n∈N*,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

(1)证明:当 n=1 时,4a1=a22-5,∴a22=4a1+5. ∵an>0,∴ a2 ?

4a1 ? 5 .

(2)解:当 n≥2 时,4Sn-1=an2-4(n-1)-1,① 4Sn=an+12-4n-1,② 由②-①,得 4an=4Sn-4Sn-1=an+12-an2-4, ∴an+12=an2+4an+4=(an+2)2. ∵an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等差数列. ∵a2,a5,a14 构成等比数列, ∴a52=a2·14,(a2+6)2=a2· 2+24),解得 a2=3. a (a 2 由(1)可知,4a1=a2 -5=4,∴a1=1. ∵a2-a1=3-1=2, ∴{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

1 1 1 ? ?? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 1 1 1 1 = ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1??? 2n ? 1?
(3)证明: = =

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2

20.(2013 广东,文 20)(本小题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x -y-2=0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切 2
广东文科数学 第6页 共8页

点. (1)求抛物线 C 的方程;
2013

(2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. 解:(1)依题意 d ?

|0?c?2| 3 2 ? ,解得 c=1(负根舍去). 2 2

∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 x2=4y,即 y=

1 2 1 x ,得 y′= x. 4 2
x1 (x-x1), 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y-y1=

x1 1 x+y1- x12. 2 2 x 1 2 ∵y1= x1 ,∴y= 1 x-y1. 4 2
即 y= ∵点 P(x0,y0)在切线 PA 上,

x1 x0-y1.① 2 x 同理,y0= 2 x0-y2.② 2
∴y0= 综合①,②得,点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0= ∵经过 A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y0=

x x0-y. 2

x x0-y,即 x0x-2y-2y0=0. 2

(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, ∴|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1) =y1+y2+y1y2+1.

? x 2 ? 4 y, 联立 ? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0,
消去 x 得 y2+(2y0-x02)y+y02=0, ∴y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02. ∵点 P(x0,y0)在直线 l 上,∴x0-y0-2=0. ∴|AF|· |BF|=x02-2y0+y02+1 =y02-2y0+(y0+2)2+1 =2y02+2y0+5= ∴当 y0= ?

1? 9 ? 2 ? y0 ? ? ? . 2? 2 ?

2

1 9 时,|AF|· |BF|取得最小值为 . 2 2

21.(2013 广东,文 21)(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=x3-kx2+x(k∈R). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k<0 时,求函数 f(x)在[k,-k]上的最小值 m 和最大值 M. 解:f′(x)=3x2-2kx+1, (1)当 k=1 时, f′(x)=3x2-2x+1,Δ=4-12=-8<0, ∴f′(x)>0,即 f(x)的单调递增区间为 R. (2)(方法一)当 k<0 时,f′(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴 x ?

k ,且过(0,1). 3

2013

广东文科数学

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①当 Δ=4k2-12= 4(k ? 3)(k ? 3) ≤0, 即 ? 3 ≤k<0 时,f′(x)≥0,f(x)在[k,-k]上单调递增. 从而当 x=k 时,f(x)取得最小值 m=f(k)=k; 当 x=-k 时,f(x)取得最大值 M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k. ②当 Δ=4k2-12= 4(k ? 3)(k ? 3) >0,即 k< ? 3 时, 令 f′(x)=3x2-2kx+1=0,

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? ,注意到 k<x2<x1<0. 3 3 1 2k (注:可用韦达定理判断 x1·2= ,x1+x2= x >k,从而 k<x2<x1<0;或者由对称结合图象判断) 3 3
解得: x1 ? ∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)}. 3 ∵f(x1)-f(k)=x1 -kx12+x1-k 2 =(x1-k)(x1 +1)>0, ∴f(x)的最小值 m=f(k)=k. 3 ∵f(x2)-f(-k)=x2 -kx22+x2-(-k3-k·2-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]<0, k 3 ∴f(x)的最大值 M=f(-k)=-2k -k. 综上所述,当 k<0 时,f(x)的最小值 m=f(k)=k,最大值 M=f(-k)=-2k3-k. (方法 2)当 k<0 时,对?x∈[k,-k],都有 f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)≥0,故 f(x)≥f(k). f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)[(x-k)2+k2+1]≤0. 故 f(x)≤f(-k).∵f(k)=k<0,f(-k)=-2k3-k>0, ∴f(x)max=f(-k)=-2k3-k,f(x)min=f(k)=k.

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