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2012届上海市奉贤区高三数学二模(文理数) 2


2012 届上海市奉贤区高三数学二模调研卷
一、填空题(本大题满分 56 分) 1.若 ( a ? 4 i ) i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b =
x 2.函数 f ? x ? ? 2 ? 3 的反函数 f ?1

?x ? ?

3.若集合 A ? { ? 1, 0 ,1} , B ? { y | y ? c o s x , x ? A } , 则 A ? B ? 4.阅读如图 1,所示的程序框图,若输出 y 的值为 0,则输入 x 的值为___________ 5.二项式 ?
?1 ? ? x ? 展开式中的常数项是 ? x ?
6

(用数字回答)

6.无穷等比数列满足 a n ? 2 a n ? 1 , a 1 ? 1 ,则数列 ?a n ? 的各项和为
a1 a2 a5 a8 a3 a 6 中,元素 a9

开始 输入 x 是 个 否
x ? 1?
x ? 1?

7.已知数列 ? a n ? 是等差数列,公差 d ? 0 ,在行列式 a 4
a7
a i i ? N ,1 ? i ? 9
*



?

? 是实数, 则所有元素的代数余子式大于零的个数有__

8.不等式 2 ?
x

2 x

? a ? 0 的在 ?1 , 2 ? 内有实数解,则实数 a 的取值范围是

9.(理)圆 ? 是

2

? x ? 4 ? 3t ? 2 ? c o s ? ? 3 ? 0 的圆心到直线 ? ?t 是参数 y ? 4 ? 4t ?
2 2 2



? 的距离

y =2 -3

x

y=1 输出 y 结束 图1

y= x

(文)在 ? ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B ? sin C , 则 ? A =________ 10.(理)盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm,两个直径为 5cm 的玻 璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降________cm (文)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为 全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1, 那么这个几何体的体积为 ___________ 正视图 11.(理)已知 cos( x ? (文)双曲线 于 12. (理)关于 x 的方程 x ? m ? (文)从 { ,
y ? a
x

侧视图

俯视图

?
6

) ? ?

3 3

,则 cos x ? cos( x ?

?
3

) ? ___________

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的实轴长 4 ,则双曲线上的一点 4 ,

?

3

? 到两渐近线的距离的乘积等

x

2

? 4 没有实数解,则实数 m 的取值范围是

1 1 3 2

, 2 , 3} 中随机抽取一个数记为 a ,从 { ? 1,1, ? 2 , 2} 中随机抽取一个数记为 b ,则函数

? b 的图象经过第三象限的概率是

13. 理) ( 已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表, 其中 x ? 0 , y ? 0 , 随机变量 ? 的方差 D ? ?
1 2

?
P

1
x

2
y

3
x

,则 x =

1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 (文)过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,记 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

? A P B ? ? ,当 ? 最小时,此时点 P 坐标为____________

14.(理)若点集 A

? ? ( x , y ) | x ? y ≤ 1? , B ? ? ( x , y ) | ? 1 ≤ x ≤ 1, ? 1 ≤ y ≤ 1?
2 2

,则点集

Q ? ? ( x , y ) | x ? x1 ? x 2 , y ? y 1 ? y 2 , ( x1 , y 1 ) ? A , ( x 2 , y 2 ) ? B ?

所表示的区域的面积为___________

(文)操作变换记为 P1 ( x , y ) ,其规则为: P1 ( x , y ) ? ( x ? y , x ? y ) ,且规定: P n ( x , y ) ? P1 ( P n ? 1 ( x , y )) ,
n

是大于 1 的整数,如: P1 (1, 2 ) ? ( 3 , ? 1 ) , P 2 (1, 2 ) ? P1 ( P1 (1, 2 )) ? P1 ( 3 , ? 1 ) ? ( 2 , 4 ) ,则 P 2012 (1 , ? 1 ) ?

二、选择题(本大题满分 16 分) 15.已知 b , c 是平面 ? 内的两条直线,则“直线 a ? ? ”是“直线 a ? b 且直线 a ? c ”的 [答] ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.若有不同的三点 A , B , C 满足 BC ? CA : CA ? AB : AB ? BC ? 3 : 4 : ? ? 5 ? 则这三点 A.组成锐角三角形 B.组成直角三角形 C.组成钝角三角形 D.在同一条直线上 17.(理)已知等比数列 { a n } 的前 10 项的积为 32,则以下命题为真命题的是 A.数列 { a n } 的各项均为正数 C.数列 { a n } 的公比必是正数



?

??

??

?

[答] (



[答] (



B.数列 { a n } 中必有小于 2 的项 D.数列 { a n } 中的首项和公比中必有一个大于 1
n

(文)预测人口的变化趋势有多种方法, “直接推算法”使用的公式是 Pn ? P0 ?1 ? k ? ,其中 P n 为预测人口数, P 0 为初期人口数, k 为预测年内增长率, n 为预测期间隔年数.如果在某一时期 k 满足
? 1 ? k ? 0 ,那么这期间人口数

[答] ( C.摆动变化 D.不变



A.呈上升趋势 18.(理)已知:P 为椭圆
x

B.呈下降趋势
2

?

y

2

? 1 上的任意一点,过椭圆的右顶点 A 和上顶点 B 分别作与 x 轴和 y 轴

25

9

的平行线交于 C,过 P 引 BC、AC 的平行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,矩形 PMCN 是 S 1 ,三 角形 PDE 的面积是 S 2 ,则 S 1 : S 2 A.1 B.2 C.
1 2

[答] (



y

D.与点 P 的坐标有关 B
x
2 2

(文)平行于 x 轴的直线 l 1 与椭圆 C : 平行于 y 轴的直线 l 2 与椭圆 C : 形 ACBD 面积的最大值为 A.15 C.30
x
2

?

y

2

M C D P E N x A

? 1 交于左右 A 、 B 两点,

25 ? y

9 ? 1 交于上下 C 、 D 两点,则四边

25

9

O

[答] ( ) B.60 D.不是一个定值

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 10 分) 本题共有两个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分.
2

设关于 x 的不等式 x ( x ? a ? 1) ? 0 ( a ? R ) 的解集为 M ,不等式 (1)当 a ? 1 时,求集合 M ;

x ?1 x ? 3

? 0 的解集为 N .

(2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

20.(本题满分 11 分) 本题共有两个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ?
3 s in
2

x ? s in x c o s x

,x?[

π 2

, π].

(1)求 f ( x ) 的零点; (2)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

21.(本题满分 11 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分. 函数 f ? x ? ? lg

?

4x

2

? b ? 2 x ,其中 b ? 0

?

(1)若 f ? x ? 是奇函数,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,判别函数 y ? f ? x ? 的图像是否存在两点 A,B,使得直线 AB 平行于 x 轴,说明理 由;

22.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (理)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1, AB ⊥AC,M 是 CC 1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A 1 B 1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B 1 . (1)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大; (2) 在(1)的条件下,求三棱锥 P ? MNC 的体积.
A1

P
B1 C1

A

M C

B

N (理)

(文)
?

(文)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, ? A B C ? 9 0 , A B ? 4 , B C ? 4 , B B 1 ? 3 , M 、 N 分别 是 B 1 C 1 和 AC 的中点. (1)求异面直线 A B 1 与 C 1 N 所成的角; (2)求三棱锥 M ? C 1 CN 的体积.

23.(本题满分 17 分) (理)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分,第 3 小题 4 分
3

平面内一动点 P ? x , y ? 到两定点 F 1 ? ? 1, 0 ?, F 2 ?1, 0 ? 的距离之积等于1 , (1) 求动点 P ? x , y ? 的轨迹 C 方程,用 y ? f ? x ? 形式表示(4 分) (2) 类似高二第二学期教材(12.4 椭圆的性质、12.6 双曲线的性质、12.8 抛物线的性质)中研究曲线 的方法请你研究轨迹 C 的性质,请直接写出答案(9 分) (3) 求 ? PF 1 F 2 周长的取值范围(4 分)
2

(文)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题 9 分 平面内一动点 P ? x , y ? 到两定点 F 1 ? ? 1, 0 ?, F 2 ?1, 0 ? 的距离之积等于 2 , (1) 求 ? PF 1 F 2 周长的最小值(4 分) (2) 求动点 P ? x , y ? 的轨迹 C 方程,用 y ? f ? x ? 形式表示(4 分) (3) 类似高二第二学期教材(12.4 椭圆的性质、12.6 双曲线的性质、12.8 抛物线的性质)中研究曲线 的方法请你研究轨迹 C 的性质,请直接写出答案(9 分)
2

24. (本题满分 17 分) (理)本题有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 数列 ? a n ? 的各项均为正数, a 1 ? t , k ? N , k ? 1 , p ? 0 ,
*

a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a n ? k ? 6 p

n

(1)当 k ? 1, p ? 5 时,若数列 ? a n ? 是成等比数列,求 t 的值; (2)当 t ? 1 , k ? 1 时,设 T n ?
a1 ? a2 p ? a3 p
2

?? ?

a n ?1 p
n?2

?

an p
n ?1

,参照高二教材书上推导等比数列

前 n 项求和公式的推导方法,求证:数列 ?
?

?1 ? p p

Tn ?

an p
n

? ? 6 n ? 是一个常数; ?

(3)设数列 ? a n ? 是一个等比数列,求 t (用 p , k 的代数式表示) ;

(文)本题有 3 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 7 分.
n * 数列 ? a n ? 的各项均为正数, a 1 ? p , p ? 0 , k ? N , a n ? a n ? k ? f ? p , k ? ? p ,

(1)当 k ? 1 , f ? p , k ? ? p ? k , p ? 5 时,求 a 2 , a 3 ; (2)若数列 ? a n ? 成等比数列,请写出 f ? p , k ? 满足的一个条件,并写出相应的通项公式(不必证明) (3)当 k ? 1 , f ? p , k ? ? p ? k 时,设 T n ? a 1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2 a n ? a n ? 1 ,求 T n

4

奉贤区高三数学(理)调研答题纸
正确填涂

2012、4、19

填 涂 样 例

1.选择题部分必须用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使用蓝、黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写,字体工整、

错误填涂 √ ×

注 意 事 项

笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无 效。

三 题号 一 二 19 得分 20 21 22 23 24

总分

一、填空题 1. 4. 7. 10. 13. 二、选择题 15.A 17.A B B C C D D 16.A 18.A B B C C D D 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

三、解答题
19. 【解】(1) (2)

20. 【解】(1)
5

22. 【解】(1)
A1

6

P
B1 C1

24. 【解】(1)
7

奉贤区高三数学(文)调研答题纸
8

2012、4、19

正确填涂

填 涂 样 例

1.选择题部分必须用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使用蓝、黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写,字体工整、

错误填涂 √ ×

注 意 事 项

笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无 效。

三 题号 一 二 19 得分 20 21 22 23 24

总分

一、填空题 1. 4. 7. 10. 13. 二、选择题 15.A 17.A B B C C D D 16.A 18.A B B C C D D 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

三、解答题
19. 【解】(1) (2)

20. 【解】(1)

9

22. 【解】(1)

10

24. 【解】(1)

11

2012 调研测试高三数学参考答案
一、填空题 1、5 4、 x ? log
2

2、 log 2 ? x ? 3 ?
3或x ? 0

3、 ?1 ? 6、 2
12

5、20

7、4

8、 a ? 3

9、理:

32 5 ?

文: 10、理 : 文: 13、理:
1 6 5 3

3

11、理: ? 1 文:
4 5

12、理: ?0 , 2 ? ? ? ? ? , ? 2 ? 文:
π

3 8

( 或 0 . 375 )

1 4

14、理: 1 2 ? 文; ?2
?
1006

文: ? ? 4 , ? 2 ?

,? 2

1006

?
y O V N U

14 理:⑵点集 Q 实际上可以写成: Q

?
( x 2 , y 2 )? B

( x2 , y2 ) ? A

,其中 ( x 2 , y 2 ) ?

A


P K

成是 A 按照向量 ( x 2 , y 2 ) 的平移得到的点集.而 ( x 2 , y 2 ) ? A 得到的是以 ( x 2 , y 2 ) 为圆心半径为 1 的圆,所以 Q 就是所有圆心在正方形 K L M N 里半径为 1 的圆的 并;如图所示:当半径为 1 的圆在 K L M N 边界上滑动时,分别得到 4 个长为 2 宽为 1 的矩形;在顶点滚动时,得到 4 个扇形;所以最终 Q 就是图示阴影部 分.不难求得面积 S
? 4? 2?4? π 4 ? 4 ? 12 ? π

-2 Q

-1 L R

O

1 M S

2 T

x



二、选择题 15、 A 16、C 17、 (理)C 18、 (理)A (文)B (文)C 三、解答题(10+11+11+12+17+17) 19.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, 由已知得 x ( x ? 2 ) ? 0 . 所以 M ? { x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)方法一: 由已知得 N ? ?x ? 1 ? x ? 3? . ①当 a ? ? 1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? { x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ,所以 ? 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? ? 1 ②若 a ? ? 1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ? 1 成立 ③若 a ? ? 1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? { x | 0 ? x ? a ? 1} . ?7 分 ?8 分 ?9 分 ???????3 分 ???????5 分

又 N ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ,因为 M ? N ,所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ? 1 ? a ? 2

综上所述, a 的取值范围是 [ ? 2 , 2 ] . ?????10 分 说明②可以并入①,也可并入③,每一种 2 分,一共 4 分,最后结论 1 分 方法二:(Ⅱ)方法一: 由已知得 N ? ?x ? 1 ? x ? 3? . 由题得 ?
?a ? 1 ? ?1 ?a ? 1 ? 0

???????5 分

???????6 分

解得 ? 2 ? a ? ? 1 ???????7 分 解得 ? 1 ? a ? 2 ???????9 分

?a ? 1 ? 0 ?? ?????8 分 ? ?a ? 1 ? 3

所以 a ? ?? 2 , 2 ? ???????10 分 20. (1)解法一:解:令 f ( x ) ? 0 ,得 s in x ? ( 3 s in x ? c o s x ) ? 0 , 所以 s in x ? 0 ,或 ta n x ? ?
3 3

.

??2 分

13

由 s in x ? 0 , x ? [ 由 ta n x ? ?
3 3

π 2

, π ] ,得 x ? π ;

??3 分
5π 6

,x?[

π 2

, π ] ,得 x ?
5π 6

.

??4 分 ??5 分
3 2

综上,函数 f ( x ) 的零点为 解法二: f ( x ) ?

或π . .

3 1 π (1 ? c o s 2 x)? s in 2 x ? s in ( 2 x ? ) ? 2 2 3

???3 分 ??5 分

令 f ( x ) ? 0 ,得 s in ( 2 x ? 因为 x ? [
π 2 , π ] ,所以 2 x ? π 3 ? 4π 3

π 3

) ? ?

3 2

.

π 3

?[

2π 5π , ]. 3 3 π 3 ? 5π 3

所以,当 2 x ? 即 x?
5π 6

,或 2 x ?

时, f ( x ) ? 0 . ??8 分 ??9 分
3 2

?7 分

或 x ? π 时, f ( x ) ? 0 .
5π 6

综上,函数 f ( x ) 的零点为 (2)解: f ( x ) ? 因为 x ? [ 当2x ? 当2x ?
π 3 π 3 ?

或π .

3 1 π (1 ? c o s 2 x)? s in 2 x ? s in ( 2 x ? ) ? 2 2 3

.

?8 分

π 2
?

, π ] ,所以 2 x ?
2π 3 3π 2

π 3

?[

2π 5π , ]. 3 3

??9 分 ?10 分
3 2

,即 x ? ,即 x ?

π 2

时, f ( x ) 的最大值为 3 ; 时, f ( x ) 的最小值为 ? 1 ? .

11π 12

??11 分

21.解: (1)? b ? 0 ,? 所以函数 f ? x ? ? lg

4x
2

2

?b ?

4x

2

恒成立, ??2 分

?

4x

? b ? 2 x 的定义域是一切实数,关于原点对称
14

?

方法一: f ? x ? 是奇函数, f ? 0 ? ? 0
f ? 0 ? ? lg b ? 0

??3 分 ??5 分 ??3 分

?b ?1

方法二:因为 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0
f ? x ? ? f ? ? x ? ? lg

?

4x

2

? b ? 2 x ? lg

?

?

(?4 x)

2

? b ? 2 x ? lg b ? 0

?

?b ?1

??5 分 ??6 分 ??7 分

(2)方法一: 假设存在 A , B 两点,使得 AB 平行 x 轴, k AB ? 0
? lg ? ? ?
2

2 4 x 1 ? 1 ? 2 x 1 ? ? lg ? ? ? ? ?

4x2

2

? 1 ? 2x2 ? ? ?

4 x1 ? 1 ?

4x2

2

? 1 ? 2 x 2 ? 2 x1
2 2

两边平方化简得到: 4 x 1 ? 4 x 2 ? 1 ? 0 得到矛盾 ? y ? f ? x ? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行 方法二: 不存在
0 ? x1 ? x 2

??10 分 ??11 分

h ? x1 ? ? h ? x 2
2

??

4 x1 ? 1 ? 2 x1 ?
2

2

4x2

2

? 1 ? 2x2

?

4 x1 ? 4 x 2 4 x1 ? 1 ?
2

4x2

2

?1

? 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 ? x 2

??
? ?
2
2

?

2 x1 ? 2 x 2 4 x1 ? 1 ? 4x2
2

?1 ?1

? ? ? ?

6分

? x1 ? x 2 ? 0 ,0 ? 2 x1 ?
f ? x ? 在 ?0 , ??

4 x 1 ? 1 ,0 ? 2 x 2 ?

2

4x2

? 1 ,? 0 ?
2

2 x1 ? 2 x 2 4 x1 ? 1 ? 4x2
2

?1 ?1

? 单调递增; f ? x ? 是奇函数,所以在 ? ? ? , 0 ? 单调递增; ? f ? x ? 在 R 单调递增;
? k
AB

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分

?

yA ? yB xA ? xB

? 0

? y ? f ? x ? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行

说明:证明在整个 R 上单调递增的要 4 分,不证明单调性,直接说函数是单调递增的,扣 3 分

22. (理) (1)方法一: P ? ? , 0 ,1 ?, 则 PN ? ( 平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( 0 , 0 , 1)
?

1 2

? ?,

1 2

, ? 1) ,

??1 分 ??2 分

15

则 sin ? ?

PN ? n PN n

?
2

1

? 3 2

1 1 ? ? ?? ? ? 2? ?
2

??4 分
? 5 4

? ? ? ?

所以当 ? ?

1 2

时, (sin ? ) m ax ?
2 5 5

2 5

5


5 5

??5 分 ) ??6 分

? m ax ? arcsin

( arctan 2 ? arccos

方法二:过 P 作 PH ? AB 交于 H 点, 可得 PH ? 面 ABC , ? PNH 就是所成的线面角 计算: AH ? ? , HN ?
tan ? ? PH HN ?
2

??1 分 ??2 分

? ? ? ?
2

1 2

1

? 1 2

1 1? ? ?? ? ? 2? ?
2

??4 分
? 1 4

? ? ? ?
1 2

所以当 ? ?

时, ? tan ? ? max ? 2 , ( arcsin
2 5 5 ? arccos 5 5

??5 分 ) ??6 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

? max ? arctan 2

(2)方法一:过 P 作 PT ? 面 B 1 BCC 点 P 到平面 B 1 BCC
S ? CMN ? 1 2 1 3 ? 2 2 ? 2 8 ?
1

1

,可证得 T 在 B 1 C 1 上

的距离 PT ?
? 2 4 2 8 ? 1 48 ?1 ?2 1

2 4

1 2 ?

V P ? MNC ?

??12 分

方法二:用向量 平面 B 1 BCC
1

的法向量 n ? ?

,

? ,0 ? 2 ?

??8 分

n ? PN

点 P 到平面 B 1 BCC

1

的距离 d ?
n

?

2 4

??9 分

面积 S ? CMN ?
V P ? MNC ? 1 3

1 2 ?

? 2 8

2 2 ?

?

1 2 2 4

? 1

2 8

??10 分 ??12 分

?

48

22. (文)解: (1)过 A 作 AQ∥C1N 交 A1C1 于 Q,连结 B 1 Q ,
? ? A 1 AQ 为异面直线 A B 1 与 C 1 N 所成的角(或其补角) .

??2 分

16

根据四边形 AA 1 C 1 C ,N 是中点,为矩形,可证 Q 为中点 计算 AB
1

? 5, B 1Q ? 2

2 , AQ ?

17

??3 分

? B 1 C 1 ∥BC, B 1 C 1 =BC,BC∥AD, B C ? A D ,? 四边形 A D C 1 B 1 为矩形,且 A B 1 ∥ C 1 D ,

由已知条件和余弦定理可得 cos ? CC 1 Q ?
? 异面直线 A B 1 与 B C 1 所成的角为 arccos

17 5

??5 分 ??6 分

17 5

(2)方法一:过 M 作 MH ? A 1 C 1 于 H,面 A 1 B 1 C 1 ? 面 AA 1 C 1 C 于 A 1 C 1
? MH ? 面 AA 1 C 1 C M P ? 平面 ABC,

??8 分 ??10 分

MH
VM
? NCC
1

?

2

?

1 3

?

1 2

NC ? C 1 C ? MH

?

1 3

?

1 2

?2

2 ?3?

2 ? 2

??12 分

方法二: (2)取 BC 的中点 P,连结 MP、NP,则 MP∥ B B 1 ,
? M P ? 平面 ABC,

??8 分

又 N P ? 平 面 A B C ,? M P ? N P .
PN ?
VM
? NCC

1 2

AB ? 2 ,MP ? 3 ,
1 CM

1

? V N ?C

??10 分
1 3 ? 1 2 ? 2?3? 2 ? 2

?

1 3

?

1 2

MC

1

? C 1 C ? NP ?

??12 分

23. (理)解:(1)? PF 1 ? PF 2 ? 1 ,列式: ? x ? 1 ? ? y ? ? x ? 1 ? ? y
2 2 2

2

?1

3分 1分

化简 y 2 ?

4x

2

?1 ? x

2

?1
17

(2)性质: 对称性:关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 顶点: ? 0 , 0 ? , ??
x

3分 3分
2

2 ,0

?
1 2

的范围: ?
1 2

2 ? x ?

1分 2分
1 PF
1

y 的范围: ?

? y ?

(3) C ? PF
PF 1
2

1F2

? PF 1 ? PF
2 2

2

? F 1 F 2 ? PF 1 ?
2

? 2

1分
2

? ? x ? 1? ? y
1

?

4x

? 1 ? 2x ,x ? ?

? PF

?
1 F2

?

2 ? 1 ,1 ? 1 ,

? ?

2 ?1

?

?

2 ,0 ? 0 ,

? ?

?
1分 1+1 分

? C ? PF

? PF 1 ? PF 2 ? F 1 F 2 ? 4 , 2 ? 2
PF
1

?

2

?
2

23. (文)解:(1) PF 1 ? PF 2 ? 2 当且仅当 PF 1 ? PF 2 ?
? PF 1 F 2 周长的最小值 2

? PF

? 2

2

2分 1分 1分

2 , P ? 0 , ? 1 ? 时等式成立
2 ? 2
2 2 2 2

(2)? PF 1 ? PF 2 ? 2 ,列式: ? x ? 1 ? ? y ? ? x ? 1 ? ? y 化简 y 2 ? 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 (3)性质: 对称性:关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 顶点: ? 0 , ? 1 ? , ??
x

? 2

3分 1分

3分 2分
3

3 ,0

?

的范围: ? 3 ? x ? y 的范围: ? 1 ? y ? 1 (23 题的图)
f ?x? = 4 ?x2+1 -x2-1 g ?x? = 4 ?x2+1 -x2-1
1.5

2分 2分

f ?x? =

4 ?x2+4 -x2-1

g ?x? = -

4 ?x2+4 -x2-1
1.5

1
1

0.5
0.5

-2

-1

1

2
-2 -1 1 2

-0.5

-0.5

-1

-1

(23(2)理科) y 的取值范围推导过程 解 1:推导过程: 4 x 2 ? 1 ? t ? ?1, 3 ? 设 h ? x ? ?
4x
2

?1 ? x

2

?1 ? ?

t

2

? t ?

3 4

? ?

1 4

?t

? 2? ?
2

1 4

4

18

? t ? ?1, 2 ? 时 ,1 ?

x

2

? 3? 3 1 2 2 ? 1 ? 2,即 x ? ?0, ? 时 h ? x ? 递增, 所以 x ? 时 , y max ? 2 ? 4 4 ?

解 2:设 0 ? x 1 ? x 2 ? x 0 时 h ? x ? 递增, h ? x 1 ? ? h ? x 2 ? ? 0
h ? x1 ? ? h ? x 2
2

??

4 x1 ? 1 ? x1 ? 1 ?
2

2

2

4x2

2

? 1 ? x2
2

2

?1 4 4 x1 ? 1 ?
2

?

4 x1 ? 4 x 2 4 x1 ? 1 ?
2

4x2

2

?1

? x2

2

? x1

2

? x1 ? x 2

?

2

?

? ? ? ?

4x2

2

? ? ?1 ? 0 ? ?1 ?
3 2

? x1

2

? x2

2

? 0,

令 x1 ? x 2 ? x 0 ,
4 x1

4
2

?1 ?

4x2

2

? 1 ? 0? x0 ? ?1

(文科 23(3) )单调性: x ? ?0 , 3 ? 单调递减 推导过程: x 2 ? 1 ? t ? ?1, 2 ? , 设 h ? x ? ? 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ? t 2 ? 2 t ? ? ?t ? 1 ? ? 1
2

? t ? ?1, 2 ? 时 ,1 ?

x

2

? 1 ? 2,即 x ? 0,

?

3 时 h ? x ? 递减,所以 x

?

2

? 0时 , y

2 m ax

?1

另解:设 0 ? x 1 ? x 2
h ? x1 ? ? h ? x 2
2

??

2
2

x1 ? 1 ? x1 ? 1 ? 2 ? x2
2

2

2

x2
2

2

? 1 ? x2
2

2

?1 2 ? ? ? ?

?

2 x1 ? 2 x 2 x1 ? 1 ?
2

x2

2

?1

? x1

2

? x1 ? x 2

?

?? ?
?

?
2

?1 x2
2

x1 ? 1 ?

?1

? x1

2

? x2

2

? 0,

2 x1
2

?1? 0 x2
2

? h ?x1 ? ? h ?x 2

?

?1 ?

?1

? h ? x ?, x ? 0 ,

?

3

? 单调递减,即 y ?

f (x) 在 0,

?

3

? 单调递减

n n ?1 24. (理)解(1) a n ? a n ? 1 ? 6 ? 5 , a n ? 1 ? a n ? 2 ? 6 ? 5

??2 分 ??4 分 ??5 分

设等比数列 ? a n ? 的公比是 q ,则可计算出 q ? 5 ,
n ? 1 时, t ? 5 t ? 30 ,? t ? 5
19

(2)证明:
Tn ? 1 p Tn ? a1 ? a2 p a1 p ? ? a3 p a2 p
2 2

?? ? a3 p
3

a n ?1 p
n?2

?

an p
n ?1

?

??? ?

a n ?1 p
n ?1

?

an p
n

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

a2 ? a3 a n ?1 ? a n an ? a1 ? a 2 1 ? ?1 ? ?T n ? a 1 ? ? ?? ? ? 2 n ?1 n ? ? p ? p p p p ?
an ? 1 ? ?1 ? ? T n ? a 1 ? 6 ?? ?? ? 6 ? 6 ? ?? ? ? ? n ? ? p ? p ? n ?1个
? 1? p p Tn ? an p
n

? 6n ? a1 ? 6 ? ?5

n (3) a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? a n ? k ? 6 p

a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? ? ? a n ?1? k ? 6 p

n ?1

??11 分 ??13 分 ??15 分

数列 ? a n ? 是一个等比数列,所以求出公比为 p
? t p

?

n ?1

? p

n

?? ? p

n ? k ?1

??

6p

n

当 p ? 1 时, t ? k ? 1 ? ? 6 ,? t ? 当 p ? 1且 p ? 0 时,? t
p
n ?1

6 k ?1
k ?1

??16 分
) ? 6p
n

(1 ? p 1? p

,? t ?

6 p ?1 ? p ? 1? p
k ?1

??17 分

n (文)解(1) a n ? a n ? 1 ? 6 ? 5

??2 分 ??6 分 ??10 分 ??12 分 ??13 分 ??15 分 ??16 分

? a 2 ? 25 , ? a 3 ? 125
n k (2)当 f ? p , k ? ? 1 ? p 时, a n ? p

n n n ?1 n (3) a n ? a n ? 1 ? ?1 ? p ? ? p ? p ? p 由(2)知, a n ? p

T n ? a 1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2 a n ? a n ?1 T n ? ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a n ?1 ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ?
Tn ?

?p

? 1? p ? p

?

2

?? ? p

n

?
n

p ? 1 时, T n ? 2 n

当 p ? 1且 p ? 0 时, T n ? 方法二:
n 由(2)知, a n ? p

?p

? 1 ? ? p (1 ? p ) 1? p



??17 分

??12 分
n

a n ? a n ? 1 ? ?1 ? p ? ? p Tn ? p ? 2( p
2

? p

n

? p
n

n ?1

T n ? a 1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2 a n ? a n ?1
n ?1

? p

3

?? ? p )? p

??15 分 ??16 分

p ? 1 时, T n ? 2 n

当 p ? 1且 p ? 0 时, T n ?

?p

? 1 ? ? p (1 ? p )
n

1? p

??17 分

20



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