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2014北京顺义高三二模数学(文)试卷


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2014 高考高频考点尽在易题库

北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 数学(文科)试卷
2014.4

本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后将答题卡交回. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 已知集合 A ? ?x | 0 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ? 0? ,则集合 A A. (0, 2) B. (0,3) C. (2,3) D. (2, ??)

B?

2.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的值为 A.

1 2

B. ?

3.“ ? ?

?
2

1 2

C. 2

D. ?2

”是“ cos ? ? 0 ”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4.如图所示,一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图 是一个直径为 2 的圆,那么这个几何体的体积为 A. 4? B. 2?

C.

4? 3

D.

2? 3

正视图

左视图

俯视图

5.已知向量 a ? (1,1) , b ? (?2,3) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? A.

1 2

B. ?

1 2

C.

5 2

D. ?

5 2

www.yitiku.cn 6. 执行如图所示的程序框图,若输入 则输出 y 的值是 A. 2 B. 5 C. 11 D. 23

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x?2



x ? 0, ?log 1 x, ? 2 7.已知函数 f ( x ) ? ? 若关于 x 的方程 x ? x ? 0, ?2 ,
f ( x) ? k 有两个不等的实根,则实数 k 的取值范围是
A. (0, ??) B. (??,1) C. (1, ??) D. (0,1]

8.已知点 A 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,且点 A 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的 距离为 2 ,则点 A 的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.某学校有初中生 1200 人,高中生 900 人,教师 120 人,现采用分层抽样的方法, 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本进行调查.如果从高中生中抽取 60 人,则样本容量 n ? _________ . 10.复数

i?2 ? _________ . 1 ? 2i
2

11. 双曲线 x ?

y2 ? 1的渐近线方程为 ____________. 4

? y ? x, ? 12.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ________. ? y ? ?1, ?
13.在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a ? c ? 6 , sin 则 cos B ? _______; b ? ________ .

B 3 , ? 2 3

14.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若数列 ?an ? 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ?????? , , ??? ?????? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

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则 a15 ? _____; 若存在正整数 k ,使 Sk ?1 ? 10, Sk ? 10 ,则 ak ? _______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象过点 ( , 0) . 2 8

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值. 16. (本小题共 13 分) 甲、 乙两名运动员参加 “选拔测试赛” , 在相同条件下, 两人 5 次测试的成绩 (单位: 分) 记录如下: 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;. (Ⅱ) 现要从中选派一名运动员参加比赛, 你认为选派谁参赛更好?说明理由 (不用计算) ; (Ⅲ)若从甲、乙两人的 5 次成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率. 17. (本小题共 14 分)
D1 B1 C1

ABCD 是边 如图:已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面
P 为 CC1 的中点, 长为 2 的正方形,高 AA 1 ?2 2,
A1

P

AC 与 BD 交于 O 点.
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ;
A

D O

C B

(Ⅱ)求证: AC1 ∥平面 PBD ; (Ⅲ)求三棱锥 A 1 ? BOP 的体积.

18. (本小题共 13 分) 已知数列 ?

?1? ? 是公差为 2 的等差数列,且 a1 ? 1 . a ? n?

www.yitiku.cn (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an an?1? 的前 n 项和为 Tn . 证明:

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1 1 ? Tn ? . 3 2

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且线段 AB 的垂直平分线过定点 P ( , 0) ,求实数 k 的取值范围. 20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2 . 2

1 2

1 3 x ? 2 x 2 ? ax ? b 的图象在点 P(3, f (3)) 处的切线方程为 3

y ? 3x ? 5 .
(Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

m . x?2

①若 g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,求实数 m 的最大值; ②是否存在点 Q ,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y ? g ( x) 围成两个封闭图形,则 这两个封闭图形的面积总相等. 若存在,求出点 Q 坐标;若不存在,说明理由.

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北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二 模) 高三数学(文科)试卷参考答案及评分标准
题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 A 6 D 7 D 8 C

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 9. 148 ;10. i ;11. y ? ?2 x ;12. ?3 ;13. , 2 2 ; 14. a15 ?

1 3

5 6 , ak ? 6 7

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 13 分)

a sin 2 x ? cos 2 x 2 ? a ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) , ? sin ? cos ? 0 ,————3 分 8 2 4 4 解得 a ? 2 ————7 分
解: (Ⅰ)由已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? 最小正周期 T ?

2? ? ? ,———11 分 2

2 sin(2 x ? ) ———9 分 4

?

最大值为 2 .————13 分 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)茎叶图





8 7 2 6 2

7 8 9

8 2 2 8 5

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(Ⅱ)由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方 差,且乙的最高分高于甲的最高分,因此应选派乙参赛更好. ———6 分 (Ⅲ)记事件 A: 甲的成绩比乙高 从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩,所有的基本事件如下:

?86, 78? , ?86,82? , ?86,88? , ?86,82? , ?86,95? ?77, 78? , ?77,82? , ?77,88? , ?77,82? , ?77,95? ?92, 78? , ?92,82? , ?92,88? , ?92,82? , ?92,95? ?72, 78? , ?72,82? , ?72,88? , ?72,82? , ?72,95? ?78, 78? , ?78,82? , ?78,88? , ?78,82? , ?78,95?
共 25 个. ————9 分 事件 A 包含的基本事件有

?86, 78? , ?86,82??86,82? , 共 7 个————11 分 ?92, 78? , ?92,82? , ?92,88? , ?92,82? ,
? P ( A) ?
7 ————13 分 25

17. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) 底面 ABCD 是边长为正方形, ? AC ? BD

A1 A ? 底面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ? A1 A ? BD ————3 分

A1 A AC ? A , ? BD ? 平面 A1 ACC1 ——5 分
(Ⅱ)连结 PO ,

D1 B1

C1

P 为 CC1 的中点, O 为 AC 的中点

A1

P

? AC1 ∥ PO ,————7 分
又 OP ? 平面 PBD , AC1 ? 平面 PBD
D O A C B

? AC1 ∥平面 PBD ————10 分
(Ⅲ)

AA1 ? 2 2 , AO ? 2 , ? AO ? 10 , 1

同样计算可得 A 1OP 为等腰三角形,————12 分 1 P ? 10 , ? A

CO ? CP ? 2 , ? OP ? 2 , ? 等腰三角形 A1OP 的高为 3
1 ? VA1? BOP ? S 3
A 1OP

OB ? 2 ————14 分

18. (本小题共 13 分)

www.yitiku.cn 解: (Ⅰ)由已知 ?

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?1? 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ,又 a1 ? 1 , ? ? 是公差为 2 的等差数列, ? an a1 ? an ?

1 ? 2n ? 1 ————3 分 an
1 ————5 分 2n ? 1 1 1 1 1 1 an an ?1 ? ? ? ( ? ) ————7 分 (Ⅱ) 2n ? 1 2n ? 1 2 2 n ? 1 2 n ? 1

? an ?

? Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ???? ? anan?1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n ? ————9 分 2n ? 1 ?

Tn ?

1 1 1 , Tn 随 n 的增大而增大, ? Tn ? T1 ? ————11 分 ? 3 2 2(2n ? 1) 1 1 1 ? ? ————12 分 2 2(2n ? 1) 2

又 Tn ?

?

1 1 ? Tn ? .————13 分 3 2

19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在

x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1 ,————2 分 ? 椭圆 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ————4 分 2

? y ? kx ? m ? (Ⅱ) ? x 2 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ————6 分 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 直线 l 与椭圆有两个交点, ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 2k (*)————8 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ?

?4km ?2km , ? AB 中点的横坐标 x0 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

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AB 中点的纵坐标 y0 ? kx0 ? m ?

m ————10 分 1 ? 2k 2

2km m , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 1 设 AB 中垂线 l ' 的方程为: y ? ? ( x ? ) k 2

? AB 的中点 D (?

D 在 l ' 上, ? D 点坐标代入 l ' 的方程可得 m ?

?1 ? 2k 2 (**)————12 分 2k

将 m2 ? 1 ? 2k 2 (*)代入解得 k ?

2 2 , ,或 k ? ? 2 2

? k ? (??, ?

2 2 ) ( , ??) ————14 分 2 2

20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) x ? 3 时, f (3) ? 3a ? b ? 9

f ' ( x) ? x2 ? 4 x ? a, ? f ' (3) ? 9 ?12 ? a ? 3 , ? a ? 6 ————2 分
(3, f (3)) 在直线 y ? 3x ? 5 上, ? f (3) ? 4 ,即 3a ? b ? 9 ? 4,

? b ? ?5

? a ? 6, b ? ?5
f ( x) ?

————4 分

1 3 x ? 2x2 ? 6x ? 5 , 3 1 3 m 2 (Ⅱ)① g ( x) ? x ? 2 x ? 6 x ? 5 ? 3 x?2
g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,

? g ' ( x) ? x 2 ? 4 x ? 6 ?

m m ? ( x ? 2)2 ? ?2 ? 0, 2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

在 [3, ??) 上恒成立,————6 分 令 ( x ? 2) ? t ,
2

则 t ?1,

设y ?t?

m ?2, t

?t ?

m ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立————7 分 t

m ? t 2 ? 2t ? (t ? 1)2 ?1 恒成立, ? m ? 3 , 实数 m 最大值为 3 ————9 分
②由 g ( x) ?

1 3 m x ? 2x2 ? 6x ? 5 ? , 3 x?2

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1 m ? g (4 ? x) ? (4 ? x)3 ? 2(4 ? x) 2 ? 6(4 ? x) ? 5 ? 3 4? x?2 1 25 m ? ? x3 ? 2 x 2 ? 6 x ? ? 3 3 x?2 10 5 ? g ( x) ? g (4 ? x) ? , ? Q(2, ) ————11 分 3 3 10 ? y ) 也在图象上, 表明:若点 A( x, y) 为 g ( x) 图象上任意一点,则点 (4 ? x, 3 5 5 而线段 AB 的中点恒为 Q(2, ) ;由此可知 g ( x) 图象关于点 Q(2, ) 对称. 3 3 5 这也表明存在点 Q(2, ) ,使得过 Q 的直线若能与 g ( x) 图象相交围成封闭图形, 3
则这两个封闭图形面积相等. ————13 分(其它解法相应给分).


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