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高三数学重难点题目精选(一)


高三重难点题目精选
1、 f ( x) ?

cos x ,则 f 1? ? f 2? ? ??? ? f 58? ? f 59? ? ? cos(30 ? x)
2

? ?

? ?

? ?

? ?

____.

59 3 2

2 2、已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 和圆 C2 : ? x ? p ? ? y 2 ? p ,其中 p ? 0 ,直线 l 经过 C1 ? ? 2 4

?

?

的焦点,依次交 C1 , C 2 于 A, B, C , D 四点,则 AB? CD 的值为____

p2 ____. 4

3、已知:P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点,过椭圆的右顶点 A 和上顶点 B 分 25 9

别作与 x 轴和 y 轴的平行线交于 C,过 P 引 BC、AC 的平行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,矩 形 PMCN 是 S1 , 三 角 形 PDE 的 面 积 是 S 2 , 则 S1 : S 2 ( A.1

A )
B.2

y

B D O

M C P E N x A

1 C. 2

D.与点 P 的坐标有关

4、已知点 Q 2 2, 0 及抛物线 y ?

?

?

x2 上一动点 P ? x0 , y0 ? ,则 4

y0 ? PQ 的最小值为 2 。
5、已知△ FAB ,点 F 的坐标为 (1,0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物线 y 2 ? 4 x 及圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的实线部 分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,那么△ FAB 的周长的取值范围为 6、如图,点 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) 是双曲线 .
y

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点, a 2 b2
O

A F

B
x

????? ???? F1 , F2 是双曲线的焦点, M 是 ?F1PF2 的平分线上一点,且 F2 M ? MP ? 0 .某同学
用以下方法研究 OM :延长 F2 M 交 PF1 于点 N ,可知 ?PNF2 为等腰三角形,且

4 小题

M 为 F2 N 的 中 点 , 得 OM ?

1 NF1 ? ? ? a . 类 似 地 : 点 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) 是 椭 圆 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 动 点 , F1 , F2 是 椭 圆 的 焦 点 , M 是 ?F1PF2 的 平 分 线 上 一 点 , 且 a 2 b2

????? ???? F2 M ? MP ? 0 ,则 OM 的取值范围是
y
7、已知以

.

y

N

P M
F2

P M

T ?4 为 周
期 的 函 数

F1

O

x

F1

O

F2

x

f ( x)



?m(1? | x |), x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 ,若方程 3 f (x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m (?1 3] 上的解析式为 f ( x) ? ? , 2 ?1 ? ( x ? 2) , x ? (1,3]
的取值范围为______________. ( , ) 8 、 若 定 义 在 ? ??, 1 ? ? 1,?? 上 的 函 数 y ? f ? x 满 足 f ? ? ?

4 8 3 3

? x? 2? ? f ? ? x , 且 当 x ? ?1, ??? 时 , ?

f ? x? ?

2x ? 3 ,则下列结论中正确的是 ( C x ?1 ? ?



(A)存在 t ? R ,使 f ? x ? ? 2 在 ?t ?

1 1? , t ? ? 恒成立; 2 2? 1 1? , t ? ? 恒成立; 2 2?

(B)对任意 t ? R , 0 ? f ? x ? ? 2 在 ?t ? (C)对任意 t ? R , f ? x ? 在 ?t ?
?

? ?

? ?

1 1? , t ? ? 上始终存在反函数; 2 2? 1 1? , t ? ? 上始终存在反函数。 2 2?

(D)对任意 t ? R , f ? x ? 在 ?t ?
?

? ?

??? ? ??? ? ???? 9、已知 P 是 ?ABC 内任一点,且满足 AP ? x AB ? y AC , x 、 y ? R ,则 y ? 2 x 的取值范围是 (0, 2) _ .
2 2 10、设点 A(1,0) , B(2,1) ,如果直线 ax ? by ? 1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a ? b ( )

(A)最小值为

1 5

(B)最小值为

5 5

(C)最大值为

1 5

(D)最大值为

5 5

11、2010 年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机四项不同的工作,则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是( B )

A.

3 5

B.

13 20

C.

19 20

D.

2 5

注:用间接法求解时,注意小赵不从事司机时有两种情况:一,不选司机;二、不参加。 12、某地有 A, B, C , D 四人先后感染了甲型 H 1N1 流感,其中只有 A 到过疫区。 B 肯定是受 A 感染的.对 于 C ,因为难以断定是受 A 感染还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都是

1 。同样也假定 2

1 D 受 A , B 和 C 感染的概率都是 。在这种假定之下, B, C , D 中直接接受 A 感染的人数 X 就是一个随 3 11 机变量,则 X 的数学期望为 。 6 1 1 1 13、若 x ? A ,且 ? A ,则称 A 是“伙伴关系集合”.在集合 M ? {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的所有非空子集 x 3 2
中任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 A. ( A )

1 17

B.

1 51 26 31

C.

7 255

D.

4 255

14、定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集” ,集合 A ? {1,3,5,7,9} 的真子集可以作为 A 的“孙 集”的概率是 .

[ 15 、 定 义 函 数 f ( x)? [ x [ x ] 其 中 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 : [1.5] ? 1, ?1.3] ? ?2 , 当 ,]
x ?[0,n) (n ? N * ) 时,设函数 f ( x) 的值域为 A ,记集合 A 中的元素个数为 an ,则式子
为 .13
an ? 90 的最小值 n

16、证明: (母题)相关问题可网上搜索 (1)求证: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )?(1 ? (2)求证: ln(1 ? n) ? 1 ?

1 3

1 5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 ? ??? 2 3 n
ax ? a ? 0, a ? 1? , 则 1? ax

17 、 设 ? x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ?1.5? ? 1, ??1.5? ? ?2 , 若 函 数 f ? x ? ?

1? ? 1? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的值域为 2? ? 2? ?

。{-1,0}

? f ? x? f ? x? ? K ? 18、 设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义, 对于给定的正数 K , 定义函数: f K ? x ? ? ? 1 ? f ? x? f ? x? ? K ?
取函数 f ? x ? ? ?

1 ?1? ? ,当 K ? 2 时,函数 f K ( x) 的值域是 ?2?

x

? 1? ? 0, ? ? ?1, 2 ? ? 2?



? f ? x? f ? x? ? K ? 19、 设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义, 对于给定的正数 K , 定义函数: f K ? x ? ? ? 1 ? f ? x? f ? x? ? K ?
取函数 f ? x ? ? a
?x

( a >1) .当 K ?

1 时,函数 f K ( x) 值域是( a

D )

? 1? A . ?0, ? ? ?1, a ? ? a?

? 1? B . ? 0, ? ? ?1, a ? ? a?

?1 ? C . ? 0,1? ? ? , a ? ?a ?

? 1? D . ? 0, ? ? ?1, a ? ? a?

?x ? 0 ? (n ? N * ) 所表示的平面区域 Dn 的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点) 20、设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?nx ? 4n ?
个数为 an , 则

1 (a2 ? a4 ? ? ? a2010 ) ? 2010

3018



21、已知数列 A : a1 , a 2 ,? ,an

? 0? a1 ? a 2 ? ? ? an

,n ? 3 具有性质 P :对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ?

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:
①数列 0,1,3,5,7 具有性质 P ;②数列 0,2,4,6,8 具有性质 P ;③若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ) 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 。 其中真命题有 ②③④ 。

22、设函数 f ( x ) 的定义域为 D,若存在非零常数 l ,使得对于任意 x ? M ( M ? D) 都有 f ( x ? l ) ? f ( x) , 则称 f ( x ) 为 M 上的高调函数, l 是一个高调值。现给出下列命题:
x ①函数 f ( x) ? ( ) 为 R 上的高调函数;②函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的高调函数

1 2

③若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x 为 (??,1] 上的高调函数,则高调值 l 的取值范围是 ( ? ?,?4] . 其中正确的命题个数是 (A)0 个 (B) 1 个 ( D (C) 2 个 ) (D) 3 个

1 23 、 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) x ? log2 x , 正 实 数 a 、 b 、 c 成 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 且 满 足 3

f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 若 实数 x0 是 方 程 f ( x) ? 0 的 一个解 , 那么 下列 不等 式中不 可 能成 立的是
( C )A. x0 ? a B. x0 ? b C. x0 ? c D. x0 ? c

24、在实数 R 中定义一种运算“ ? ” ,具有下列性质: ⑴对任意 a, b ? R, a ? b ? b ? a ⑵对任意 a ? R, a ? 0 ? a

⑶对任意 a, b, c ? R, ? a ? b ? ? c ? c ? ? ab ? ? ? a ? c ? ? ?b ? c ? ? 2c 则函数 f ? x ? ? x ?

x x ? R 的单调递减区间是 2

3 ( ??, ? ] 2



?? a 25 、 设 S1 ? ?? ? ?? c ?

?? a ? b? ? ? ? a, b, c, d ? R, b ? c ? , S2 ? ?? c d? ?? ? ? ?

? b? ? ? a, b, c, d ? R, a ? d ? b ? c ? 0 ? . 已 知 矩 阵 d? ? ?

? 0 -1? ? 2 4? . ? ? ? ? ? A ? B , 其中 A ? S1 , B ? S2 .那么 B ? ?1 0 ? ?6 8? ? ? 2 ?? ? 2 ? ? 26、设平面向量 a ? (1,2) .当 b 变化时, m ? a ? a?b ? b 的取值范围为
27、若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1,则 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2 的方差为

[

15 , ?? ) 4
.9



?2 0 1 1? ? ? 28、记矩阵 A= ? 0 3 1 6 ? 中的第 i 行第 j 列上的元素为 ai , j .现对矩阵 A 中的元素按如下算 法所示的 ?1 3 1 5 ? ? ?
方法作变动, 直到不能变动为止: ai , j ? ai ?1, j , M ? ai , j , ai, j ? ai1 j , ai ? 若 则 ? , 1 ,
j

? M ,否则不改变,

这 样 得 到 矩 阵 B . 再 对 矩 阵 B 中 的 元 素 按 如 下 算 法 所 示 的 方 法 作 变 动 : 若 ai , j ? ai , j ?1 , 则

N ? ai, j , ai ,j ? ai

,? 1 j

, ai

j? ,

否则不改变, 这样得到矩阵 C, C= 则 ?N, 1

? 0 0 1 1? ? ? ?1 1 3 5 ? ?1 2 3 6 ? ? ?



29、洛萨 ? 科拉茨(Lothar Collatz, 1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名 的猜想:任给一个正整数 n,如果 n 是偶数,就将它减半(即

n ) ;如果它是奇数,则将它乘 3 加 1(即 2

3n+1) ,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 3,按照上述变换规则, 我们得到一个数列:3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不 能证明, 更不能否定.现在请你研究:如果对正整数 n(首项)按照上述规则施行变换(注:1 可 以多次出现)后 的第六项为 1,则 n 的所有可能的取值为 30、数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ①当 ? ? 0 时, a20 ? ___

{4, 5, 3 2}



n?? 2, an ,其中 ? ? R , n ? 1, ? . n ?1

1 __;②若存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ,则 ? 的取值范围是 20

__ (2k ? 1, 2k ), k ? N* ___. 31、若 ( x ?2) 为
2n 2 ? ? a2n x2n ? a2 n? x n 1? ? ?? a 3 ? 2 2x ?1a x ? a, n ? * ,则 a1 ?a3 ?a5 ? ? a a N 1 3 x 0

n1 ?

的值

.

1 2n (3 ? 1) 2

32、对于给定的自然数 n ,如果数列 a1 , a2 ,?, am (m ? n) 满足: 1, 2,3,?, n 的任意一个排列都可以在原 数列中删去若干项后按数列原来的顺序排列而得到, 则称 a1 , a2 ,?, am (m ? n) 是 n 的覆盖数列” 1, 2,1 “ .如 是“2 的覆盖数列” 1, 2, 2 则不是“2 的覆盖数列” ; ,因为删去任何数都无法得到排列 2,1 ,则以下四组数 列中是“3 的覆盖数列”为( )

A.1, 2,3,3,1, 2,3

B. 1 , 2 , 3 , 2 , 1 , 2 C1 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 ,D. 1 , 2 , 3 , 2 , 2 , 1 , 3 ,. 3

?2n ? 1??????????n ? 2012 ? an ? ? 1 n ?1 33、已知 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和( ?(? 2 ) ???????n ? 2012 ?
(A) lim an 和 lim S n 都存在
n ?? n ??



(B) lim an 和 lim S n 都不存在
n ?? n ??

(C) lim an 存在, lim S n 不存在
n ?? n ??

(D) lim an 不存在, lim S n 存在
n ?? n ??

?1 ? n 2 ,1 ? n ? 1000 ? 34、数列 {an } 中, an ? ? ,则数列 {an } 的极限值等于( ) 2 ? n , n ? 1001 ? n 2 ? 2n ?
A.0
B.1

C .0 或 1

D. 不存在
y
B

35、手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的 图 像 , 其 中 A(2, 2) , 如 图 所 示 . 在 作 曲 线 段 AB 时 , 该 学 生 想 把 函 数
y?
1 x 2 , x ? [0,2] 的图像作适当变换,得到该段函数的曲线.请写出曲线段

2

A

O

2 3 x

AB 在

x ? [2, 上对应的函数解析式________. y ? (x ? 2) ? 2 . 3] 2
2 2 2 2 * 2 n ( ) 36、在证明恒等式 1 ? 2 ? 3 ?? ?n ? n (n ?1)(2 ? 1) n ? N 时,可利用组合数表示 n ,即

1 2

1 6

n2 ? 2Cn2?1 ? Cn1 (n ? N * )推得.类似地,在推导恒等式 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [
3 3

n(n ? 1) 2 ] (n ? N* ) 时,也 2

3 1 3 2 1 可以利用组合数表示 n 推得.则 n =______________. 6Cn?1 ? Cn 或6Cn?2 ? 6Cn?1 ? Cn (n ? N * )

1 ? ? 2 x, 0 ? x ? 2 ? 37、已知函数 f ( x) ? ? ,且 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 1, 2,3,? .则满足 ? 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 ? ? 2
方程 fn ( x) ? x 的根的个数为( A、 2n B、 2n 2 )C C、 2
n

D、 2(2n ? 1)

38、对任意一个非零复数 z ,定义集合

AZ ? ? ? ? z n , n ? N ?

?

? ,设 ? 是方程 x

2

? 1 ? 0 的一个根,若在

A? 中任取两个不同的数,则其和为零的概率为 P ?

1 (结果用分数表示). 3

39、满足 | z ? z0 | ? | z ? 2i |? 4 的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的轨迹是线段,则复数 z 0 在复平面上对应 的点的轨迹是 .

40、问题“求方程 3x ? 4 x ? 5x 的解”有如下的思路:方程 3x ? 4 x ? 5x 可变为 ( ) x ? ( ) x ? 1 ,考察函数

3 5

4 5

f (x) ? (3) x ? (4) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单调递减,∴原方程有唯一解 x ? 2 .仿照此解法 5 5
可得到不等式: x6 ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3)3 ? x2 的解是 41 、 若 f ( x ) ? .

x , f1 ( x) ? f ( x) , f n(x) ? f n?1 ? f ? x ?? ? n ? 2 n ?N* ? , 则 f ?1? ? f ?2? ? ? , x ?1
= .

? f ? 2012? ? f1 ?1? ? f2 ?1? ? ? ? f2012 ?1?

42、某银行有一自动取款机,在某时刻恰有 k (k ? N ) 个人正在使用或等待使用该取款机的概率为 p (k ) ,

? 1 k ?( ) ? p(0),(0 ? k ? 5) 根据统计得到 p(k ) ? ? 2 , 则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率 ?0 , ? 5) (k ?
为( ) A.

8 ; 15

B.

4 ; 7

C.

32 ; 63

D.

16 31

43、 f ( x 1 ”是“ f ( x ) 的最大值为 1”的 “ ) ?

条件.必要非充分

44、一条铁路有 n 个站,为适应客运需要,新增加了 m 个站 ( m ? 1) ,客运车票增加了 62 张,求原有的 车站个数.15

解析: P2 m ? P2 ? 62 ? n ? n? n

62 ? m ? m2 ,又 n, m ? N * ? n ? 15, m ? 2 2m

45、 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥

1 a 1 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. 2 x y

45 题图 46 、 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 有 2 0 0 7个 不 同 的 点 P , P2 ,?, P2007 , 椭 圆 的 右 焦 点 为 F , 数 列 1 4 3
的 等 差 数 列 , 则 d 的 取 值 范 围

{| FP |}(n ? 1,2,3,?,2007 是 公 差 为 d ) n
是 . (?

x2 1 1 , 0) ? (0, ) 47、设双曲线 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,点 P1 、 P2 、?、 Pn 是其右 1003 1003 4

上方一段( 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 )上的点,线段 P F 的长度为 ak , k ? 1,2,3,?, n ) ( .若数列 ?an ? 成 k 等差数列且公差 d ? ( , 48、若 f (n) ? 1 ?

1 5 ) ,则 n 最大取值为 5 5

.14

1 1 1 ? ?? ? (n ? N* ) ,则对于 k ? N* , f (k ? 1) ? f (k ) ? 2 3 3n ? 1
n *



49、 用数学归纳法证明 (n ? 1) ? (n ? 2) ??? (n ? n) ? 2 ?1? 2 ??? (2n ?1)(n ? Z ) .从假定当 n ? k 时等式成 立证明当 n ? k ? 1 时等式也成立时,等式左边需要加乘的式子是 . 2(2k ? 1)


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