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2014届高三数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》理


[第 20 讲

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的 简单应用]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 π 1.[2013·天津质检] 给定性质: a:最小正周期为π ;b:图象关于直线 x= 对称.则 3 下列四个函数中,同时具有性质 ab 的是________. π? ?x π ? ? ①y=sin? + ?;②y=sin?2x+ ?; 6? ?2 6 ? ? π ? ? ③y=sin|x|;④y=sin?2x- ?. 6? ? ? 2π 2π ? 2.[2013·长春检测] 若函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在?- , ?上单调递增,则 ω 3 ? ? 3 的最大值为________. π 3.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图 2 象的最高点),则正整数 t 的最小值是________. π 4.已知函数 f(x)=a sin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值 12 为__ ______.

能力提升 π? 2 ? 5.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0),将函数 y=f(x)的图象向右平移 π 个单位 3? 3 ? 长度后,所得图象与原函数图象重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 3 C.6 D.9 6.[2013·唐山一模] 函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象( ) π A.向左平移 个单位得到 2 π B.向右平移 个单位得到 2 π C.向左平移 个单位得到 3 π D.向右平移 个单位得到 3

7.[2013·保定联考] 如果函数 y= cos(2x+φ )的图象关于点? 么|φ |的最小值为( π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 )

?4π ,0?中心对称,那 ? ? 3 ?

π ? ?π ? ? 8.[2013·课程标准卷] 已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?单调递减, 4? ?2 ? ? 则 ω 的取值范围是( ) ?1 5? A.? , ? ?2 4? ?1 3? B.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2? D.(0,2] π? ? 9.[2013·黄冈高三期末] 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?其中A>0,|φ |< ?的部分图象 2? ? 如图 K20-1 所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

图 K20-1 π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12 10. [2013·郑州模拟] 已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0, -π ≤φ <π )的图象如图 K20 -2 所示,则 φ =________.

图 K20-2 11. [2013·全国卷] 当函数 y=sinx- 3cosx(0≤x<2π )取得最大值时, x=________. 5 π π ? ? 12.若将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 6 ? 3 ? π ? ? sin?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 4? ? π π 3 13.[2013·云南检测] 若 <x< ,则函数 y= tan2xtan x 的最大值为________. 4 2 14.(10 分)如图 K20-3 是某简谐运动的一段图象,它的函数模型是 f(x)=Asin(ω x

π π +φ )(x≥0),其中 A>0,ω >0,- <φ < . 2 2 (1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; 1 (2)将 函数 y=f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2 ?π ? 的图象,求函数 y=g(x)在? ,π ?上的最大值和最小值. ?2 ?

图 K20-3

15. (1 3 分)[2013·沈阳检测] 设函数 f(x)=a·b, 其中向量 a=(2cosx, 1), b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π ]上的单调递增区间; ? π? (2)当 x∈?0, ?时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6? ?

难点突破 16.(12 分)[2013·东北模拟] 如图 K20-4 是某简谐运动的一段图象,其函数模型是

f(x)=Asin(ω x+φ )(x≥0),其中 A>0,ω >0,- <φ < .
(1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; ? π? (2)若函数 g(x)=f?x+ ?,实数 α 满足 0<α <π ,且?π g(x)dx=3,求 α 的值. 6? ? ?
α

π 2

π 2

图 K20-4

课时作业(二十) 【基 础热身】 2π π π π π =π ,又 2× - = ,所以 x= 为其对称轴. 2 3 6 2 3 3 4 T 4 π 3 3 2. [解析] 由题意,得 π ≤ ,即 π ≤ ,∴0<ω ≤ ,则 ω 的最大值为 . 4 3 2 3 ω 4 4 π 3.5 [解析] 函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 2 5 t≥ T=5. 4 3 π 3 ?π ? 即 cos0=asinπ +cosπ , 4. [解析] ∵x= 是对称轴, ∴f(0)=f? ?, ∴a= . 3 12 3 3 3 ?6? 【能力提升】 π? 2 ? 5 . B [ 解 析 ] f(x) = sin ?ω x+ ? (ω > 0) 向 右 平 移 π 个 单 位 长 度 得 f(x) = 3? 3 ? 2 π ω π 2 π ω ? + ? sin?ω x- ,所以- =2kπ ,ω min=3.选 B. 3 3? 3 ? ? 6.A [解析] 本题主要考查三角函数图象的变换.属于基础知识、基本运算的考查. π ?3π ? ? ? π ?? y=sin3x=cos? +3x?=cos?3?x+ ??,故函数 y=cos3x 的图象向左平移 个单位 2 2 2 ? ? ? ? ?? 得到 y=sin3x. 4π π 7.A [解析] 由对称中心可知 ×2+φ = +kπ , 3 2 π 8π π π 即 φ = +kπ - =(k-2)π - ,显然当 k=2 时,|φ |min= ,选 A. 2 3 6 6 π? ? ? π ? ?π ? 8.A [解析] 因为当 ω =1 时,函数 y=sin?ω x+ ?=sin?x+ ?在? ,π ?上是单 4? 4? ?2 ? ? ? π? π ? ?π ? ? ? 调递减的, 故排除 B, C 项; 当 ω =2 时, 函数 y=sin?ω x+ ?=sin?2x+ ?在? ,π ?上 4? 4? ?2 ? ? ? 不是单调递减的,故排除 D 项.故选 A. π? ? 9.A [解析] 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )=sin?2x+ ?,为了得到 g(x)=sin2x 的图 3? ? π 象,则只要将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,故选 A. 6 3π ? 5π 9π 2π ? 10. [解析] 由图象知函数 y=sin(ω x+φ )的周期为 2?2π - ?= , ∴ = 4 ? 2 10 ω ? 5π 4 ,∴ω = . 2 5 3 ∵当 x= π 时,y 有最小值-1, 4 4 3π π 因此 × +φ =2kπ - (k∈Z). 5 4 2 9π ∵-π ≤φ <π ,∴φ = . 10 5π 11. [解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值,解题的 6 突破口为化为振幅式并注意定义域. π ? π 5π ? π π ? π? 函数可化为 y=2sin?x- ?,由 x∈[0,2π )得 x- ∈?- , ?,∴x- = 时, 3? 3 ? 3 ? 3 3 2 ? 1.④ [解析] ④中,∵T=

5π 5π 即 x= 时,函数有最大值 2,故填 . 6 6 5π ? 7 π ? 12. [解析] 依题意,将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度 6 ? 4 3 ? 5 π π π? ? ? ? 后,所对应的函数是 y=sin?ω x+ - ω ?(ω >0),它的图象与函数 y=sin?ω x+ ?的 6 3 ? 4? ? ? 5π π π 7 图象重合, 所以 - ω = +2kπ (k∈Z), 解得 ω = -6k(k∈Z). 因为 ω >0, 所以 ω min 6 3 4 4 7 = . 4 4 π π 2tan x 2 3 13.-8 [解析] <x< ,tanx>1,令 tan x-1=t>0,则 y=tan2xtan x= 2 = 4 2 1-tan x 2 2(t+1) 1 ? 1 ? =-2?t+ +2?≤-8,当且仅当 t= ,即 t=1,即 tanx= 2时取等号,故填 -t t ? t ? -8. 14.解:(1)由函数图象及函数模型 f(x)=Asin(ω x+φ )知 A=2; 2π 13π π 1 由 =T= - =4π ,得 ω = , ω 3 3 2 1 4π π ?4 ? 由最高点? π ,2?得, × +φ =2kπ + (k∈Z), 2 3 2 ?3 ? π π π ∴φ =- +2kπ (k∈Z),又- <φ < , 6 2 2 π ∴φ =- . 6 ?1 π ? ∴所求函数解析式为 y=f(x)=2sin? x- ?(x≥0). 6? ?2 1 ?1 π ? (2)方法一:将 y=f(x)=2 sin? x- ?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不 2 6 2 ? ? π ? ? 变,得到 y=g(x)=2sin?x- ?的图象, 6? ? π π π 5π ∵ ≤x≤π ,∴ ≤x- ≤ , 2 3 6 6 π π 2π 当 x- = ,即 x= 时,g(x)有最大值 2; 6 2 3 π 5π 当 x- = ,即 x=π 时,g(x)有最小值 1. 6 6 1 ?1 π ? 方法二:将 y=f(x)=2sin? x- ?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变, 6? 2 ?2 ? π? 得到 y=g(x)=2sin?x- ?的图象, 6? ? π π ? π ? 令 t=x- ,∵函数 y=2sint 的单调递增区间是?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 6 ? 2 ? π π π π 2π 由- +2kπ ≤x- ≤ +2kπ ,得- +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 3 3 ? ? π ? 2π ?π ? 设 A=? ,π ?,B=?x?- +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈? Z, 2 3 3 ? ? ? ? ? ?π 2π ? 则 A∩B=? , ?, 3 ? ?2

?π 2π ? ∴函数 y=g(x)在区间? , ?上单调递增, 3 ? ?2 ?2π ? 同理可得,函数 y=g(x)在区间? ,π ?上单调递减. ? 3 ? π 2 π ? ? ? ? 又∵g? ?= 3,g? ?=2,g(π )=1, ?2? ? 3 ? ?π ? ∴函数 y=g(x)在? ,π ?上的最大值为 2,最小值为 1. ?2 ?
15.解:(1)∵f(x)=a·b=2cos x+ 3sin2x+m π? ? =2sin?2x+ ?+m+1, 6? ? 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π π π 令- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,故 f(x) 2 6 2 3 6 π π ? ? 的单调增区间为 ?- +kπ , +kπ ? , k∈Z. 因此 f(x) 在 [0 , π ] 上的单调递增区间为 6 ? 3 ? π 2 π ?0, ?,? ,π ?. ? ? ? 6? ? ? ? 3 ? π ? π? (2)当 x∈?0, ?时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m 6? 6 ? +3=4,解之得 m=1,∴m 的值为 1. 【难点突破】 16.解:(1)由函数图象及函数模型 f (x)=Asin(ω x+φ ),知 A=2; 1 7π π 由 T= - =π ,得 T=2π , 2 6 6 2π ∴ω = =1,即 f(x)=2sin(x+φ ),
2

T

1 把 (0,-1)代入上式,得 sinφ =- , 2 π π π ∵- <φ < ,∴φ =- , 2 2 6

? π? ∴所求函数的解析式为 y=f(x)=2sin?x- ?. 6? ? π ? ? (2)由(1)知 g(x)=f?x+ ?=2sinx, 6? ?
∵?π g(x)dx=3,∴?π 2sinxdx=-2cosx





? π ?) α =-2cosπ -(-2cos α )=3,解 ?

1 得 cosα = , 2 π 又实数 α 满足 0<α <π ,则所求 α 的值为 . 3


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