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2016-2017学年湖北省襄阳市高二上学期期末考试数学(文)试题


2017 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 高二数学(文史类) 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求. 1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面向上的概率是 A.

1 999

B.

1 1000

C.

999 1000

D.

1 2

2.直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

3.为研究两变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙两人分别作了研究,利用线性回归方程得到的回归直线 m 和 n,两人计算 x 相同, y 也相同,则下列说法正确的是 A. m 和 n 重合 B. m 和 n 平行 C. m 和 n 交于点 x, y

? ?

D.无法判读 m 与 n 的关系 4.一束光线从

A ?1,0? 处射到 y 轴上一点 B ? 0,2? 后,被 y 轴反射,则反射光线所在直线的方程为
A. x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0

5.要完成下列抽样,较为合理的抽样方法依次是 ①从 30 件产品中抽取 3 件进行检查; ②某校高中三个年级共 2460 人,其中高一 860 分,高二 820 人,高三 810 人,为了了解学生对教学的建 议,拟抽取一个容量为 300 的样本; ③某剧场有 28 排座位,每排 32 个,在一次报告中恰好坐满了听众,报告结束后,为了了解观众的意见, 需要请 28 名听众进行座谈. A. ①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B. ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 C. ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D. ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 6.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可中奖,则中奖 机会大的游戏盘是

7.以点 ? 5, 4 ? 为圆心且与 x 轴相切的圆的方程是 A.

? x ? 5?

2

? ? y ? 4 ? ? 16
2

B.

? x ? 5?

2

? ? y ? 4 ? ? 16
2

-1-

C.

? x ? 5?

2

? ? y ? 4 ? ? 25
2

D.

? x ? 5?

2

? ? y ? 4 ? ? 25
2

8.直线 l1 : ? a ? 3? x ? y ? 4 ? 0 与直线 l21 : x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 垂直,则直线 l1 在 x 轴上的截距是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现:当圆内接正多边形边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近 于圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14, 这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值(精确到小 数点后两位)为 (参考数据: sin15? ? 0.2588,sin 7.5? ? 0.1305 ) A. 3.10 B. 3.11 C. 3.12 D. 3.13 10.某商场在元旦促销活动中对 1 月 1 号 9 时至 14 时的销售额 进行统计,其频率分布直方图如右图所示.已知 9 时至 10 时的 销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 A.8 万元 B. 10 万元 C. 12 万元 D. 15 万元 11.两人坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗. 已知火车上的座位排列如右图所示,则下列座位号码符号要求 的是 A.48,49 B. 62,63 C. 75,76 D.84,85
2 12.圆 C1 : ? x ? 1? ? ? y ? 3 ? ? 9 和圆 C2 : x ? ? y ? 2 ? ? 1 , 2 2 2

M,N 分别是圆 C1 , C2 上的点,P 是直线 y ? ?1 上一点,则 PM ? PN 的最小值是 A. 5 2 ? 4 B.

17 ? 1

C. 6 ? 2 2

D. 17

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.复数 z 满足
2

z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位),则 z 的虚部为 1 ? 2i

. .

14.方程 x ? y ? x ? 2my ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围为
2

15.已知点 A? ?2,3? , B ?3,2? ,若直线 l : y ? kx ? 2 与线段 AB 没有交点,则 l 的斜率 k 的取值范围 为 .

16.在无重复数字的五位数 a1a2 a3a4 a5 中,若 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 ,则称为波形数,如 89674 就是一个波形数,由 1,2,3,4,5 组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 10 分)已知 z 为复数,i 是虚数单位, z ? 3 ? 4i 和 (1)求复数 z ; (2)若复数 ? z ? mi ? 在复平面内对应的点位于第二象限,求实数 m 的取值范围.
2

.

z 均为实数. 1 ? 2i

-2-

18. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A ? 5,1? ,AB 边上的中线 CM 所在直线的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,

AC 边上的高 BH 所在的直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 .
(1)求顶点 C 的坐标; (2)求直线 BC 的方程.

19.(本题满分 12 分) 为了考查培育的某种植物的生长情况,从试验田中随机抽取 100 株该植物进行检测,得到该植物高度 的频数分布如下表所示:

(1)写出表中处的数据; (2)用分层抽样的方法从第 3,4,5 组中抽取一个容量为 6 的样本,则各组应分别抽取多少个个体? (3)在(2)的条件下,从抽出的容量为 6 的样本中随机选取两个个体进行进一步分析,求这两个个体 至少有一个来自第 3 组的概率.

20.(本题满分 12 分)为了解甲、乙两校高二学生某次期末联考物理成绩情况,从这两学校中分别随机 抽取 30 名高二年级的物理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示.

(1)若甲校高二年级每位学生的物理成绩被抽取的概率为,求甲校高二年级学生总人数; (2) 根据茎叶图, 对甲、 乙两校高二年级学生的物理成绩进行比较, 写出两个统计结论 (不要求计算) ; (3)从样本中甲、乙两校高二年级学生物理成绩不及格(低于 60 分)的学生物理成绩中随机抽取 2 个,求至少抽到一名乙校物理成绩的概率.

-3-

21.(本题满分 12 分)已知圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 (1)P 是直线 y ? 定点; (2)若 EF,GH 为圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M ?1,1? ,求四边形 EFGH 面积的最大值.

1 x ? 5 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC,PD,切点为 C,D,求证:直线 CD 过 2

2 2 22.(本题满分 12 分)已知方程 m ? 2m ? 3 x ? 2m ? m ? 1 y ? 5 ? 2m ? 0 ? m ? R ? .

?

? ?

?

(1)求方程表示一条直线的条件; (2)当 m 为何值时,方程表示的直线与 x 轴垂直; (3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等,求实数 m 的值.

2 01 7 年 1 月 襄 阳 市 普 通 高 中 调 研 统 一 测 试 高二数学(文史类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分 标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容 和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的 一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:DCCBD 二.填空题:13.0 三.解答题: 17.(Ⅰ)解:设 z ? a ? bi (a 、b ? R) ,则
-4-

DABBC

DA
1 2

14. m ?

15. (? , )

5 2

4 3

16.

2 15

z (a ? bi)(1 ? 2i) (a ? 2b) ? (2a ? b)i z ? 3 ? 4i ? (a ? 3) ? (b ? 4)i, ? ? 1 ? 2i 5 5 b ? 4 ? 0 z ∵ z ? 3 ? 4i 和 均为实数,∴ ? ? 2a ? b ? 0 1 ? 2i ?

2分 4分 6分 8分 10 分 12 分 ① 2分

解得 a = 2,b =-4,∴ z ? 2 ? 4i (Ⅱ)解: ( z ? mi)2 ? [2 ? (m ? 4)i]2 ? 4 ? (m ? 4)2 ? 4(m ? 4)i 由已知: ?
?4 ? (m ? 4) ? 0 , ?m ? 4 ? 0
2

∴m <-6,故实数 m 的取值范围是(-∞,-6).
y ?1 1 又 AC⊥BH,∴ 0 ? ( ) ? ?1 ,即 2 x0 ? y0 ? 11 ? 0 x0 ? 5 2

18.(Ⅰ) 解:设 C(x0,y0),则点 C 在直线 2x ? y ? 5 ? 0 上,∴ 2x0 ? y0 ? 5 ? 0 ②

4分 6分 ③8分

① + ②得: x0 ? 4 ,代入得: y0 ? 3 故 C(4,3). (Ⅱ)解:设 B(x1,y1),则点 B 在直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上,∴ x1 ? 2 y1 ? 5 ? 0 又 AB 的中点在直线 2x ? y ? 5 ? 0 上,∴ 2 ?

x1 ? 5 y1 ? 1 ? ? 5 ? 0 ,即 2 x1 ? y1 ? 1 ? 0 ④ 10 分 2 2 ? 3) 2×③-④得: y1 ? ?3 ,代入③得: x1 ? ?1 ,∴ B(?1, 3 ? (?3) 6 6 k BC ? ? ,∴直线 BC 的方程为 y ? 3 ? ( x ? 1) ,即 6 x ? 5 y ? 9 ? 0 . 12 分 4 ? (?1) 5 5

19.(Ⅰ)解:①26 (Ⅱ)解:抽样比为

②20

③0.30

④0.10

4分

6 ? 0.1 , 60

∴第 3、4、5 组中抽取的个体数分别是 0.1×20=2,0.1×30=3,0.1×10=1. 7 分 (Ⅲ)解:设从第 3 组抽取的 2 个个体是甲、乙,第 4 组抽取的 3 个个体是 a、b、c,第 5 组 抽取的 1 个个体是 d,记事件 A 为“两个个体都不来自第 3 组”,则从中任取两个的基本事 件为: 甲乙、甲 a、甲 b、甲 c、甲 d、乙 a、乙 b、乙 c、乙 d、ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 15 个,且各基本事件等可能 9分 其中事件“两个个体中至少有一个来自第 3 组”包含的基本事件为: 甲乙、甲 a、甲 b、甲 c、甲 d、乙 a、乙 b、乙 c、乙 d,共有 9 个 11 分 故两个个体中至少有一个来自第 3 组的概率 P ?
9 3 ? . 15 5

12 分

20.(Ⅰ)解:∵甲校每位同学物理成绩被抽取的概率均为 0.15 ∴高二年级学生总数 M ?
30 ? 200 0.15

2分

(Ⅱ)解:由茎叶图可知甲校有 22 位同学分布在 70 至 80 之间,乙校有 22 位同学分布在 60 至 80 之间,可得统计结论如下: 结论一:甲校的总体成绩分布下沉,所以平均数较大. 结论二:甲校的总体成绩更集中,方差较小. 4分 所以,甲校学生的成绩较好. 6分 (Ⅲ)解:由茎叶图可知,甲校有 3 位同学成绩不及格,分别记为:a、b、c; 乙校有 3 位同学成绩不及格,分别记为:A、B、C. 则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能:
-5-

ab、ac、aA、aB、aC、bc、bA、bB、bC、cA、cB、cC、AB、AC、BC, 共有 15 个基本事件 8分 其中,乙校至少有一名学生成绩不及格有如下可能: aA、aB、aC、bA、bB、bC、cA、cB、cC、AB、AC、BC 共 12 个基本事件 10 分 ∴P?
12 4 ? . 15 5 1 x0 ? 5 2

12 分

21.(Ⅰ)解:设 P( x0 ,y0 ) ,则 y0 ?
(x ?

由题意,OCPD 四点共圆,且直径是 OP,其方程为
x0 2 y x y ) ? ( y ? 0 )2 ? ( 0 )2 ? ( 0 )2 ,即 x2 ? y 2 ? x0 x ? y0 y ? 0 2 2 2 2 2 2 ? x ? y ? x x ? y0 y ? 0 由? 2 2 0 得: x0 x ? y0 y ? 5 ?x ? y ? 5

2分

∴直线 CD 的方程为: x0 x ? y0 y ? 5
1 1 x0 ? 5 ,∴ x0 x ? ( x0 ? 5) y ? 5 ,即 (2 x ? y) x0 ? 10( y ? 1) ? 0 2 2 1 ? 2x ? y ? 0 ?x ? 由? 得: ?y ?1 ? 0 ? 2 ? ? ? y ? ?1

又 y0 ?

4分

∴直线 CD 过定点 ( ,? 1) . (Ⅱ)解:设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1、d2,则
2 d12 ? d2 ? OM 2 ? 2

1 2

6分

8分 10 分

2 ∴ | EF |? 2 5 ? d12 , | GH |? 2 5 ? d2

故 SEGFH ?

1 2 | EF || GH |? 2 (5 ? d12 )(5 ? d2 ) 2 2 2 ≤ (5 ? d12 ) ? (5 ? d2 ) ? 10 ? (d12 ? d2 ) ?8

当且仅当 5 ? d12 ? 5 ? d22 ,即 d1 = d2 = 1 时等号成立 ∴四边形 EGFH 面积的最大值为 8. 22.(Ⅰ) 解:由 ?
? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 得: m ? ?1 2 ? 2m ? m ? 1 ? 0

12 分 2分

方程 (m2 ? 2m ? 3) x ? (2m2 ? m ? 1) y ? 5 ? 2m ? 0 表示直线 ∴ m2 ? 2m ? 3、2m2 ? m ? 1 不同时为 0,∴ m ? ?1 . (Ⅱ)解:方程表示的直线与 x 轴垂直,∴ ? (Ⅲ)解:当 5 ? 2m ? 0 ,即 m ?
? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 1 ,∴ m ? . 2 2 ? 2m ? m ? 1 ? 0

4分 6分

5 时,直线过原点,在两坐标轴上的截距均为 0 8 分 2 5 2m ? 5 2m ? 5 当 m ? 时,由 2 得: m ? ?2 . 10 分 ? 2 m ? 2m ? 3 2m2 ? m ? 1

-6-


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