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广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试数学理试题 Word版含答案


深圳市 2017 年高三年级第一次调研考试 数学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? ?2, 4,, 6,8? , B ? x | x 2 ? 9 x ? 18 ? 0 ,则 A ? B ? ( A.

?

?



?2, 4?

B. ?4, 6?

C. ?6,8?

D. ?2,8? )

2.若复数 A. 2

a?i ? a ? R ? 为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则 a ? ( 1 ? 2i
B. 3 C.-2 D.-3

3. 袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2” , “ 3” , “ 4” , “6”.现从中随机 选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )

2 3 a 4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? a ? 3n ?1 ? b ,则 ? ( b
A. B. C. D. A.-3 B. -1 C. 1 D.3

1 4

1 2

1 3



2 2 5.直线 l : kx ? y ? 4 ? 0 ? k ? R ? 是圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 的一条对称轴,过点

A ? 0, k ? 作斜率为 1 的直线 m ,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 (
A.



2 2

B. 2

C.

6

D. 2 6

6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家, 他在实践的基础上提出了体积计算的原 理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积 恒等, 那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时, 需要构造 一个满足条件的几何体, 已知该几何体三视图如图所示, 用一个与该几何体的下底面平行相 距为 h ? 0 ? h ? 2 ? 的平面截该几何体,则截面面积为 ( )

A. 4? 7. 函数 f ? x ? ?

B. ? h 2

C. ? ? 2 ? h ?

2

D. ? ? 4 ? h ? )

2

2x ? 1 ?cos x 的图象大致是( 2x ?1

A.

B.

C.

D. )

8.已知 a ? b ? 0, c ? 0 ,下列不等关系中正确的是 ( A. ac ? bc D. B. a c ? b c

C. log a ? a ? c ? ? log b ? b ? c ?

a b ? a?c b?c


9. 执行如图所示的程序框图,若输入 p ? 2017 ,则输出 i 的值为( A. 335 B.336 C. 337 D.338

10.已知 F 是双曲线 E :

x2 y 2 过点 F 作 E 的一条渐近线的垂 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点, a 2 b2

线,垂足为 P ,线段 PF 与 E 相交于点 Q ,记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为 d 2 , 若 FP ? 2d ,则该双曲线的离心率是( A. 2 B.2 C. 3 ) D.4

11. 已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面

ACB1 截此球所得的截面的面积为(
A.



8? 3

B.

5? 3

C.

4? 3

D.

2? 3

12. 已知函数 f ? x ? ?

x2 , x ? 0, e 为自然对数的底数,关于 x 的方程 ex


f ? x? ?
? ? 2? ? e?

2 f ? x?

? ? ? 0 有四个相异实根,则实数 ? 的取值范围是(

A. ? 0,

B. 2 2, ??

?

?

C. ? e ?

? ?

2 ? , ?? ? e ?

D. ?

? e2 4 ? ? 2 , ?? ? ?2 e ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13.已知向量 p ? ?1, 2 ? , q ? ? x,3? ,若 p ? q ,则 p ? q ? .

14. ? x ?

? ?

1? ? 的二项展开式中,含 x 的一次项的系数为 x?

5

. (用数字作答)

? x? y?4?0 ? 15.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , 目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12, 最小值 ? x ?1 ?
为 0,则实数 k ? .

16.已知数列 ?an ? 满足 nan ? 2 ? ? n ? 2 ? an ? ? n 2 ? 2n ,其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,若 an ? an ?1 对

?

?

?n ? N * 恒成立,则实数 ? 的取值范围为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 2a ? 3c sin A ? a cos C . (1)求 C ; (2)若 c ?

3 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

18. 如图, 四边形 ABCD 为菱形, 四边形 ACEF 为平行四边形, 设 BD 与 AC 相交于点 G ,

AB ? BD ? 2, AE ? 3, ?EAD ? ?EAB .

(1)证明:平面 ACEF ? 平面 ABCD ; (2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B ? EF ? D 的余弦值. 19. 某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为 三档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但不超过 400 度的部分 按 0.8 元/度收费,超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. (1)求某户居民用电费用 y (单位:元)关于月用电量 x (单位:度)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量, 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图, 若这 100 户居民中, 今年 1 月份用电费用不超 过 260 元的点 80%,求 a, b 的值;

(3)在满足(2)的条件下,若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量 的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费用, 求 Y 的分布列和数学期望. 20. 已成椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右顶点分别为 A1、A2 ,上下顶点分别为 a 2 b2
12 为菱形 A1 B1 A2 B2 7

B2、B1 ,左右焦点分别为 F1、F2 ,其中长轴长为 4,且圆 O : x 2 ? y 2 ?
的内切圆. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)点 N ? n, 0 ? 为 x 轴正半轴上一点,过点 N 作椭圆 C 的切线 l ,记右焦点 F2 在 l 上的射 影为 H ,若 ?F1 HN 的面积不小于

3 2 n ,求 n 的取值范围. 16

21. 已知函数 f ? x ? ? x ln x, e 为自然对数的底数. (1)求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? e ?2 处的切线方程; (2)关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? ? x ? 1? 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,求实数 ? 的值; (3)关于 x 的方程 f ? x ? ? a 有两个实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 2a ? 1 ? e .
?2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中 xOy 中, 已知曲线 E 经过点 P ? 1,

? 2 3? ? ? x ? a cos ? , 其参数方程为 ? (? ? ? 3 ? y ? 2 sin ? ? ? ? ?

为参数) ,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 E 的极坐标方程;

(2)若直线 l 交 E 于点 A、B ,且 OA ? OB ,求证:

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值,并求出这个

定值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? 3 ? x ,记关于 x 的不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为 M . (1)若 a ? 3 ? M ,求实数 a 的取值范围; (2)若 ? ?1,1? ? M ,求实数 a 的取值范围.

试卷答案 一、选择题
1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、12:BC

二、填空题
13. 5 2 14. -5 15. 3 16.

?0, ?? ?

三、解答题
17.解:(1)由已知及正弦定理可得 2sin A ? 3 sin C sin A ? sin A cos C , 在 ?ABC 中, sin A ? 0 , ∴ 2 ? 3 sin C ? cosC ,



3 1 sin C ? cos C ? 1 , 2 2 ? ?

从而 sin ? C ?

??

? ? 1, 6?
5? , 6

∵0 ? C ?? , ∴?

?
6

?C?

?
6

?

∴C ?

?

6 2 2? ∴C ? ; 3

?

?



(2)解法:由(1)知 C ?

3 2? ,∴ sin C ? , 2 3

∵S ?

3 1 ab , 2ab sin C ,∴ S ? 4 2

a 2 ? b2 ? c2 ∵ cos C ? , 2ab
∴ a 2 ? b 2 ? 3 ? ab , ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab ,

∴ ab ? 1 (当且仅当 a ? b ? 1 时等号成立) , ∴S ?

3 3 ; ab ? 4 4
a b c ? ? ? 2, sinA sin B sin C

解法二:由正弦定理可知 ∵S ?

1 ab sin C , 2

∴ S ? 3 sin A sin B , ∴ S ? 3 sin A sin ?

?? ? ? A? , ?3 ?

∴S ?

3 ?? 3 ? , sin ? 2 A ? ? ? 2 6? 4 ?

∵0 ? A ? ∴

?
3



?
6

? 2A ?

?
6 ?

?

5? , 6
,即 A ?

∴当 2 A ?

?
6

?
2

?
6

时, S 取最大值

3 . 4

18.解: (1)证明:连接 EG , ∵四边形 ABCD 为菱形, ∵ AD ? AB, BD ? AC , DG ? GB , 在 ?EAD 和 ?EAB 中,

AD ? AB, AE ? AE , ?EAD ? ?EAB ,
∴ ?EAD ? ?EAB , ∴ ED ? EB , ∴ BD ? EG , ∵ AC ? EG ? G , ∴ BD ? 平面 ACFE , ∵ BD ? 平面 ABCD , ∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ; (2)解法一:过 G 作 EF 垂线,垂足为 M ,连接 MB, MG , MD ,

易得 ?EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角, ∴ ?EAC ? 600 , ∵ EF ? GM , EF ? BD , ∴ EF ? 平面 BDM , ∴ ?DMB 为二面角 B ? EF ? D 的平面角, 可求得 MG ?

3 13 , , DM ? BM ? 2 2
5 , 13

在 ?DMB 中由余弦定理可得: cos ?BMD ? ∴二面角 B ? EF ? D 的余弦值为

5 ; 13

解法二:如图,在平面 ABCD 内,过 G 作 AC 的垂线,交 EF 于 M 点, 由(1)可知,平面 ACFE ? 平面 ABCD , ∴ MG ? 平面 ABCD , ∴直线 GM , GA, GB 两两互相垂直, 分别 GA、GB、GM 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 G ? xyz ,

易得 ?EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角,∴ ?EAC ? 600 ,

则 D ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , E ?

? 3 3? ? 3 3 3? , 0, , F ? , 0, ? ? ?, ? 2 ? 2? 2? ? ? ? 2 ?

??? ? ??? ? ? 3 3 ? ???? ? 3 3 ? , FE ? 2 3, 0, 0 , BE ? ? , ? 1, ? , DE ? ? ? 2 ? 2 ,1, 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? 设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ,则

?

?

? ??? ??? ? ? n?FE ? 0 且 n?BE ? 0 ,
∴ x ? 0 ,且

3 3 x? y? z ?0 2 2

取 z ? 2 ,可得平面 BEF 的一个法向量为 n ? ? 0,3, 2 ? , 同理可求得平面 DEF 的一个法向量为 m ? ? 0,3, ?2 ? , ∴ cos n, m ?

?

??

5 , 13 5 . 13

∴二面角 B ? EF ? D 的余弦值为

19.解析: (1)当 0 ? x ? 200 时, y ? 0.5 x ; 当 200 ? x ? 400 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? ? x ? 200 ? ? 0.8 x ? 60 , 当 x ? 400 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? ? x ? 400 ? ? x ? 140 ,

? 0.5 x, 0 ? x ? 200 ? 所以 y 与 x 之间的函数解析式为: y ? ?0.8 x ? 60, 200 ? x ? 400 ; ? x ? 140, x ? 400 ?
(2)由(1)可知:当 y ? 260 时, x ? 400 ,则 P ? x ? 400 ? ? 0.80 , 结合频率分布直方图可知: ? ∴ a ? 0.0015, b ? 0.0020 ; (3)由题意可知 X 可取 50,150,250,350,450,550. 当 x ? 50 时, y ? 0.5 ? 50 ? 25 ,∴ P ? y ? 25 ? ? 0.1 , 当 x ? 150 时, y ? 0.5 ? 150 ? 75 ,∴ P ? y ? 75 ? ? 0.2 ,

?0.1 ? 2 ?100b ? 0.3 ? 0.8 , ? 100a ? 0.05 ? 0.2

当 x ? 250 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 50 ? 140 ,∴ P ? y ? 140 ? ? 0.3 , 当 x ? 350 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 150 ? 220 ,∴ P ? y ? 220 ? ? 0.2 , 当 x ? 450 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 50 ? 310 ,∴ P ? y ? 310 ? ? 0.15 , 当 x ? 550 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 150 ? 410 ,∴ P ? y ? 410 ? ? 0.05 , 故 Y 的概率分布列为:

Y
P

25 0.1

75 0.2

140 0.3

220 0.2

310 0.15

410 0.05

所以随机变量 X 的数学期望

EY ? 25 ? 0.1 ? 75 ? 0.2 ? 140 ? 0.3 ? 220 ? 0.2 ? 310 ? 0.15 ? 410 ? 0.05 ? 170.5 .
20.解: (1)由题意知 2a ? 4 ,所以 a ? 2 , 所以 A1 ? ?2, 0 ? , A2 ? 2, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , B2 ? 0, b ? ,则 直线 A2 B2 的方程为 所以

x y ? ? 1 ,即 bx ? 2 y ? 2b ? 0 , 2 b

?2b 4?b
2

?

12 ,解得 b 2 ? 3 , 7

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

(2)由题意,可设直线 l 的方程为 x ? my ? n, m ? 0 , 联立 ?

? x ? my ? n 消去 x 得 ? 3m 2 ? 4 ? y 2 ? 6mny ? 3 ? n 2 ? 4 ? ? 0 , (*) 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
2

由直线 l 与椭圆 C 相切,得 ? ? ? 6mn ? ? 4 ? 3 3m ? 4
2

?

?? n

2

? 4? ? 0 ,

化简得 3m 2 ? n 2 ? 4 ? 0 , 设点 H ? mt ? n, t ? ,由(1)知 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,则

m ? n ? 1? t ?0 1 ? ? ?1 ,解得 t ? ? , 1 ? m2 ? mt ? n ? ? 1 m
所以 ?F1 HN 的面积 S ?F1HN
2 ?m ? n ? 1? 1 m ? n ? 1? 1 ? ? n ? 1? ? , 2 1 ? m2 2 1 ? m2

代入 3m 2 ? n 2 ? 4 ? 0 消去 n 化简得 S ?F1HN ? 所以

3 m, 2

3 3 3 2 4 m ? n 2 ? ? 3m 2 ? 4 ? ,解得 ? m ? 2 ,即 ? m 2 ? 4 , 2 16 16 3 9

从而

4 n2 ? 4 4 3 ? ? 4 ,又 n ? 0 ,所以 ? n ? 4, 9 3 3
?4 3 ? , 4? . 3 ? ?
1 x

故 n 的取值范围为 ?

21.解(1)对函数 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 , ∴ f ? e ?2 ? ln e ?2 ? 1 ? ?1 , 又 f e ?2 ? e ?2 ln e ?2 ? ?2e ?2 ,
?2 ∴曲线 y ? f ? x ? 在 x ? e ?2 处的切线方程为 y ? ?2e ?2 ? ? x ? e ?2 ,即 y ? ? x ? e ;

? ?

? ?

?

?

?

?

(2)记 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? x ln x ? ? ? x ? 1? ,其中 x ? 0 , 由题意知 g ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,下求函数 g ? x ? 的最小值, 对 g ? x ? 求导得 g ? ? x ? ? ln x ? 1 ? ? , 令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? e? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? , g ? x ? 变化情况列表如下:

x
g? ? x?
g ? x?

? 0, e ?
? ?1

e? ?1
0 极小值

?e

? ?1

, ?? ?

-

+

?

?

∴ g ? x ?min ? g ? x ?极小 ? g e ? ?1 ? ? ? ? 1? e ? ?1 ? ? e ? ?1 ? 1 ? ? ? e ? ?1 , ∴ ? ? e? ?1 ? 0 , 记 G ?? ? ? ? ? e
? ?1

?

?

?

?

,则 G ? ? ? ? ? 1 ? e

? ?1



令 G ? ? ? ? ? 0 ,得 ? ? 1 . 当 ? 变化时, G ? ? ? ? , G ? ? ? 变化情况列表如下:

?
G? ? ? ?
G ?? ?

? 0,1?
+

1 0 极大值

?1, ?? ?
-

?

?

∴ G ? ? ?max ? G ? ? ?极大 ? G ?1? ? 0 , 故 ? ? e? ?1 ? 0 当且仅当 ? ? 1 时取等号, 又 ? ? e? ?1 ? 0 ,从而得到 ? ? 1 ; (3)先证 f ? x ? ? ? x ? e ,
?2

记 h ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? e ?2 ? x ln x ? x ? e ?2 ,则 h? ? x ? ? ln x ? 2 , 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? e ?2 , 当 x 变化时, h? ? x ? , h ? x ? 变化情况列表如下:

?

?

x
h? ? x ?
h ? x?

? 0, e ?
?2

e ?2
0 极小值

?e

?2

, ?? ?
+

-

?

?

∴ h ? x ?min ? h ? x ?极小 ? h e ?2 ? e ?2 ln e ?2 ? e ?2 ? e ?2 ? 0 ,

? ?

h ? x ? ? 0 恒成立,即 f ? x ? ? ? x ? e ?2 ,
记直线 y ? ? x ? e , y ? x ? 1 分别与 y ? a 交于 x1? , a , x2? , a ,
?2

? ??

?

不妨设 x1 ? x2 ,则 a ? ? x1? ? e

?2

? f ? x1 ? ? ? x1 ? e ?2 ,

从而 x1? ? x1 ,当且仅当 a ? ?2e ?2 时取等号, 由(2)知, f ? x ? ? x ? 1 ,则 a ? x2? ? 1 ? f ? x2 ? ? x2 ? 1 , 从而 x2 ? x2? ,当且仅当 a ? 0 时取等号, 故 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x2? ? x1? ? ? a ? 1? ? ? a ? e

?

?2

? ? 2a ? 1 ? e
?2

?2



因等号成立的条件不能同时满足,故 x1 ? x2 ? 2a ? 1 ? e .

? 1 ? a cos ? ? 2 3? ? 22.解: (1)将点 P ? 1, 代入曲线 E 的方程: ? 2 3 , ? ? 3 ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 3
解得 a 2 ? 3 , 所以曲线 E 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1, 3 2
1 2 ? sin ? ? ? 1 , 2 ?
? ?

极坐标方程为 ? 2 ? cos 2 ? ?

?1 ?3

(2)不妨设点 A, B 的极坐标分别为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

??

? , ?1 ? 0, ? 2 ? 0 , 2?

1 1 2 2 ? ? ?1 cos ? ? ? ? ?1 sin ? ? ? 1 ? 3 2 ? 则? , 2 2 ? 1 ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 ?? ? ? ? 2? ? ?3 ? 1 2 ?1 1 2 ? ? 2 ? 3 cos ? ? 2 sin ? ? 1 即? , ? 1 ? 1 sin 2 ? ? 1 cos 2 ? 2 ? 2 ? ?2 3


1

?

2 1

?

1

?

2 2

?

5 , 6



1 OA
2

?

1 OB ?
2

?

5 , 6
为定值

所以

1 OA
2

1 OB
2

5 . 6

23.解: (1)依题意有: 2a ? 3 ? a ? ? a ? 3? ,

3 3 ,则 2a ? 3 ? 3 ,∴ ? a ? 3 , 2 2 3 3 若 0 ? a ? ,则 3 ? 2a ? 3 ,∴ 0 ? a ? , 2 2
若a ? 若 a ? 0 ,则 3 ? 2a ? ? a ? ? a ? 3? ,无解, 综上所述, a 的取值范围为 ? 0,3? ;

(2)由题意可知,当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立, ∴ x ? a ? 3 恒成立, 即 ?3 ? x ? a ? 3 ? x ,当 x ? ? ?1,1? 时恒成立, ∴ ?2 ? a ? 2 .



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