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山东省德州市2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含答案.doc


高三数学(理科)试题 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1. A ? ? x x是小于9的质数? , B ? ? x x是小于9的正奇数? ,则 A ? B 的子集个数是( A.32 B.16 C .8 ) C. ? ?3 ,0? ? ? 0 ,3? ) D. ? ?1 ,0? ? ? 0 ,1? D.4 )

2.不等式 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是( A. ? ?3 ,3? 3.已知 sin x ? cos x ? A. ?
3 3

B. ? ?3 ,1?

3 ?1 , x ? ? 0 ,? ? ,则 tan x ? ( 2

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

4.已知命题 p : x ?

?
6

? 2k? ,k ? Z ;命题 q : sin x ?

1 ,则 p 是 q 的( 2
C.充要条件

) D.既不充

A.充分不必要条件 分也不必要条件

B.必要不充分条件

5.已知向量 a ? ?1 ,m? , b ? ? 3 , ? 2? ,且 ? a ? b ? ? b ,则 m ? ( A. ? 8 B. ?6 C.6 D.8



?? ? 6.为了得到 y ? 3sin ? 2 x ? ? 函数的图象,只需把 y ? 3sin x 上所有的点( 3? ?
A.先把横坐标缩短到原来的



1 ? 倍,然后向左平移 个单位 2 6

? 个单位 6 ? C. 先把横坐标缩短到原来的 2 倍,然后向左右移 个单位 3 1 ? D.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向右平移 个单位 2 3
B.先把横坐标缩短到原来的 2 倍,然后向左平移
?1? 7.已知函数 f ? x ? ? ? ? ? 1 ? log 2 x ,若 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的根,则 x0 ? ( ?2?
1? ? A. ? 0 , ? 2? ? ?1 ? B. ? ,1? ?2 ? 3? ? C. ?1 , ? 2? ? ?3 ? D. ? ,2 ? ?2 ?
x



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? x2 ? y 2 的最小值为( ?3x ? y ? 3 ? 0 ?



A.13

B. 13

C.

4 5

D.

2 5 5

9.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,且当 x ?? ?2 ,0?
?1? 时, f ? x ? ? 2 ? ? ? , 若在区间 (?2 ,6] 内关于 x 的方程 f ? x ? ? log a ? x ? 2 ? ? 0 ?0 ? a ? 1? 恰有 ?2?
x

三个不同的实数根,则 a 的取值范围是(
1? ? A. ? 0 , ? 2? ?


? 2 1? C. ? ? 4 ,2 ? ? ? ?
?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

? 2? B. ? ?0 , 4 ? ? ? ?

10.已知 f ? x ? 的定义域是 ? 0 ,? ?? , f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,且满足 f ? x ? ? f ' ? x ? ,则不 等式 e? x f x2 ? x ? ex A. ? ?2 , 1? D. ? ?1 ,2?

?

?

2

?2

f ? 2? 的解集是(

) C. ? ?? ,? 1? ? ? 2 , ? ??

B. ? ?? ,2? ? ?1 , ? ? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知 f ? x ? 的定义域为 ? ?1 , 1? ,则函数 g ? x ? ?
1 ? f ? 2x ? 的定义域为 ln ? x ? 1?



2 ?1? 12.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 的实数满足 f ? x ? ? 2 f ? ? ? ?3x ? 2 ,那么 ? f ? x ? dx ? . 1 ? x? ??? ? 2 ??? ? 13.在 Rt△ ABC 中, ?A ? 90? , AB ? AC ? 1 ,点 E 是 AB 的中点,点 D 满足 CD ? CB ,则 3 ??? ? ???? CE ? AD ? .

14.若正数 a ,b 满足

1 2 2 1 的最小值为 ? ? 1 ,则 ? a b a ?1 b ? 2



15.定义: f1 ? x ? ? f ? x ? ,当 n ? 2 且 x ? N * 时, fn ? x ? ? f ? f n?1 ? x ? ? ,对于函数 f ? x ? 定义域内 的 x0 ,若正在正整数 n 是使得 f n ? x0 ? ? x0 成立的最小正整数,则称 n 是点 x0 的最小正周期,
x0 称为 f ? x ? 的 n ~周期点,已知定义在 ?0 , 1? 上的函数 f ? x ? 的图象如图,对于函数 f ? x ? ,

下列说法正确的是

(写出所有正确命题的编号.

①1 是 f ? x ? 的一个 3~周期点; ②3 是点

1 的最小正周期; 2

?2? 2 ③对于任意正整数 n ,都有 f n ? ? ? ; ?3? 3

④若 x0 ? (

1 , 1] ,则 x0 是 f ? x ? 的一个 2~周期点. 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?
3 ? 3 cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ) 若 a ,b ,c 分别为 △ ABC 的三内角 A ,B ,C 的对边, 角 A 是锐角,f ? A? ? 0 , a ? 1,
b ? c ? 2 ,求 △ ABC 的面积.

17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : 函数f ? x ? ? lg ax2 ? ax ? 1 的定义域是 R ; 命题 q : 幂函数y ? x 增函数,若“ p ? q ”为假,“ p ? q ”为真,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)

?

?

?1? a ?
2

在第一象限为

1 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ? 2m ? 1? x2 ? 3m ? m ? 2? x ? 1 ,其中 m 为实数. 3
(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 ?1 ,f ?1? ? 处的切线方程为 3x ? 3 y ? 4 ? 0 ,求 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间. 19.(本小题满分 12 分) 如图,扇形 AOB 所在圆的半径是 1,弧 AB 的中点为 C ,动点 M , N 分别在 OA , OB 上运 动,且满足 OM ? BN , ?AOB ? 120? .

??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? 3 ??? ? (Ⅰ)设 OA ? a ,OB ? b ,若 OM ? OA ,用 a ,b 表示 CM ,CN ; 4 ???? ? ???? (Ⅱ)求 CM ? CN 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品, 现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示, 其周 长为 4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况.如图, ABCD ? AB ? AD ? 为长方形 的材料, 沿 AC 折叠后 AB ' 交 DC 于点 P , 设 △ ADP 的面积为 S2 , 折叠后重合部分 △ ACP 的 面积为 S1 .

(Ⅰ)设 AB ? xm ,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (Ⅱ)求面积 S2 最大时,应怎样设计材料的长和宽? (Ⅲ)求面积 ? S1 ? 2S2 ? 最大时,应怎样设计材料的长和宽? 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? 1? a ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0 , ? ? ? ,都有 f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围;
? 1? ? 1? (Ⅲ)证明 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? n? ? n?
n n ?1

(其中 n ? N * , e 为自然对数的底数).

高三数学(理科)试题参考答案 一、选择题 1-5:CADBD 二、填空题 11. [? 6-10:ABCCB

1 1 ,0) ? (0 , ] 2 2

12. 2ln 2 ?

1 2

13.0

14.2

15.①②③ 三、解答题 16.解: (Ⅰ) f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?
3 ? 3 cos 2 ? x 2

1 3 1 ? cos 2? x ?? ? ? sin 2? x ? ? 3? ? sin ? 2? x ? ? …………………………2 分 2 2 2 3? ?

k? ?

5? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? , 12 12

5? ?? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? .………………6 分 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? 12 12 ? ?

(Ⅱ)∵ f ? A? ? 0 ,

?? ? ? 4? ? ∴ sin ? 2 A ? ? ? 0 ,又角 A 是锐角,∴ ? 2 A ? ? , 3? 3 3 3 ?
∴ 2A ?

?
3

? ? ,即 A ?

?
3

.……………………………………8 分
2

又 a ? 1 ,b ? c ? 2 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A ? ?b ? c ? ? 3bc , ∴ 1 ? 4 ? 3bc , ∴ bc ? 1 .………………………………………………10 分
1 3 ∴ S△ ABC ? bc sin A ? .…………………………12 分 2 4

17.解:当 p 为真命题时, ∵ f ? x ? ? lg ax2 ? ax ? 1 的定义域是 R , ∴ ax 2 ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 都成立…………………………1 分

?

?

当 a ? 0 时, 1 ? 0 ,适合题意.…………………………2 分
?a ? 0 当 a ? 0 时,由 ? 得 0 ? a ? 4 ………………………………3 分 ?? ? 0

∴ a ? [0 ,4) ……………………………………………………4 分 当 q 为真命题时, ∵y?x

?1? a ?
2

在第一象限内为增函数,

∴ 1 ? a 2 ? 0 ,∴ a ? ? ?1 , 1? ,…………………………6 分 “ p ? q ”为假,“ p ? q ”为真可知 p , q 一真一假,…………7 分
?0 ? a ? 4 (1)当 p 真 q 假时, ? ,∴ a ?[1 ,4) ………………9 分 ?a ? ?1或a ? 1 ?a ? 0或a ? 4 (2)当 p 假 q 真时, ? ,∴ a ? ? ?1 ,0? ………………11 分 ??1 ? a ? 1

∴ a 的取值范围是 a ?1 ? a ? 0或1 ? a ? 4 .……………………12 分
1 ? ? f ?1? ? 3 ………………………………2 分 18.解: (Ⅰ)由题意可得: ? ? f ' ?1? ? ?1 ?
2 ? ?3m ? 4m ? 0 所以有: ? 2 ,∴ m ? 0 .…………………………4 分 ? ?3m ? 2m ? 0

?

?

(Ⅱ) f ' ? x ? ? x2 ? 2 ? 2m ? 1? x ? 3m ? m ? 2? ? ? x ? 3m?? x ? m ? 2? …………5 分 当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时, f ' ? x ? ? ? x ? 3? ? 0 ,所以 f ? x ? 单调递增;…………6 分
2

当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时,由 f ' ? x ? ? ? x ? 3m?? x ? m ? 2? ? 0 可得 x ? m ? 2 或 x ? 3m ; 所以此时 f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,m ? 2? 和 ? 3m , ? ? ? ………………………………8 分 当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时,由 f ' ? x ? ? ? x ? 3m?? x ? m ? 2? ? 0 可得 x ? 3m 或 x ? m ? 2 ; 所以此时 f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,3m ? 和 ? m ? 2 ,? ?? …………………………10 分 综上所述,当 m ? 1 时, f ? x ? 增区间为 ? ?? ,? ?? ; 当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,m ? 2? 和 ? 3m , ? ? ? ;

当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,3m? 和 ? m ? 2 ,? ?? .……………………12 分 19.解: (Ⅰ)∵ △OAC 是等边三角形,
???? ??? ? ∴ AC ? OB ,

∴四边形 OACB 是平行四边形,……………………………………2 分
???? ??? ? ??? ? ∴ OC ? OA ? OB ? a ? b ,

???? ? ???? ? ???? 3 1 ∴ CM ? OM ? OC ? a ? a ? b ? ? a ? b …………………………4 分 4 4 ???? ???? ???? 1 3 CN ? ON ? OC ? b ? a ? b ? ?a ? b .…………………………6 分 4 4 ???? ? ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)设 OM ? tOA ? ta ,则 ON ? ?1 ? t ? OB ? ?1 ? t ? b , t ? ? 0 , 1? .

???? ? ???? ? ???? ∴ CM ? OM ? OC ? ta ? a ? b ? ?t ? 1? a ? b , ??? ? ???? ???? CN ? ON ? OC ? ?1 ? t ? b ? a ? b ? ?a ? tb ………………………………8 分

???? ? ??? ? 2 2 ∴ CM ? CN ? ? ??t ? 1? a ? b? ? ??a ? tb? ? ? ?t ? 1? a ? t ?t ? 1? a ? b ? a ? b ? tb
?
2 1 2 1 ?? 1 ? 3 ? t ? t ? 1? ? ?? t ? ? ? ? ………………………………11 分 ? 2 2? ?? 2 ? 4 ? ?

???? ? ???? 1? ?3 由 t ? ?0 , 1? ,得 CM ? CN 的取值范围是 ? , ? .………………12 分 2? ?8

20.解: (Ⅰ)由题意, AB ? x ,BC ? 2 ? x , 因为 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 .……………………………………2 分 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y , 因为 △ ADP ≌△CB ' P ,故 PA ? PC ? x ? y , 由 PA2 ? AD2 ? DP 2 ,得 ? x ? y ? ? ? 2 ? x ? ? y2 ,
2 2

? 1? y ? 2 ?1 ? ? , 1 ? x ? 2 .……………………………………4 分 x? ?

(Ⅱ)记 △ ADP 的面积为 S2 ,则
? 1? S2 ? ?1 ? ? ? 2 ? x ? …………………………………………5 分 x? ? 2? ? ? 3??x ? ? ? 3? 2 2 , x? ?

当且仅当 x ? 2 ? ?1 ,2? 时, S2 取得最大值.……………………7 分

故当材料长为 2m ,宽为 2 ? 2 m 时, S2 最大.……………………8 分 (Ⅲ) S1 ? 2S2 ?
1? x ? 2 .

?

?

1 1? 4? ? 1? x ? 2 ? x ? ? ?1 ? ? ? 2 ? x ? ? 3 ? ? x 2 ? ? , 2 x? 2? x? ?

1? 4 ? ? x3 ? 2 ? 0 ,∴ x ? 3 2 .……………………11 分 于是 ? S1 ? 2S2 ? ' ? ? ? 2 x ? 2 ? ? 2? x ? x2

关于 x 的函数 ? S1 ? 2S2 ? 在 1 ,3 2 上递增,在

?

?

?

3

2 ,2 上递减,

?

所以当 x ? 3 2 时, S1 ? 2S2 取得最大值.………………………………12 分 故当材料长为 3 2 m ,宽为 2 ? 3 2 m 时, S1 ? 2S2 最大.……………………13 分 21.解: (Ⅰ) f ' ? x ? ?

?

?

a a?x ,定义域 ? 0 ,? ?? ,……………………1 分 ?1 ? x x

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上递减;……………………2 分 当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? a ,此时 f ' ? x ? , f ? x ? 随的变化情况如下表:

x
f '? x? f ? x?

? 0 ,a ?
?


a
0 极大值

? a ,? ??
?



所以, f ? x ? 的单调增区间为 ? 0 ,a ? ,单调减区间为 ? a ,? ?? ……………………3 分 综上,当 a ? 0 时, f ? x ? 的递减区间为 ? 0 ,? ?? ;此时无增区间; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? 0 ,a ? ,单调减区间为 ? a ,? ?? ;………………4 分 (Ⅱ)由题意得 f ? x ?max ? 0 ,
1 ?1? 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上递减, f ? ? ? 1 ? ? a ? 0 , e ?e?

所以不合题意;………………………………6 分 当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? 0 ,a ? , 单调减区间为 ? a ,? ?? ; 所以, f ? x ?max ? f ? a ? , 所以 f ? a ? ? a ln a ? a ? 1 ? 0 ,令 g ? x ? ? x ln x ? x ? 1? x ? 0? ,则 g ' ? x ? ? ln x ,

1? 上递减,在 ?1 , ? ? ? 上递增,所以 g ? x ?min ? g ?1? ? 0 ,……8 分 因此, g ? x ? 在 ? 0 ,
所以 a ln a ? a ? 1 ? 0 的解只有 a ? 1 .

综上得:实数 a 的取值集合为 ?1? ………………………………………………9 分
? 1? ? 1? (Ⅲ)要证不等式 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? n? ? n?
n n ?1



? 1? ? 1? 两边取对数后得 n ln ?1 ? ? ? 1 ? ? n ? 1? ln ?1 ? ? , ? n? ? n? 1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? ,……………………………………………………11 分 即证 n ?1 ? n? n

令 x ?1?

1 1 ,则只要证 1 ? ? ln x ? x ? 1?1 ? x ? 2? , n x

由(Ⅰ)中的单调性知当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? 1 在 (1 ,2] 上递减,因此 f ? x ? ? f ?1? , 即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,所以 ln x ? x ? 1?1 ? x ? 2? ………………………………12 分 令 ? ? x ? ? ln x ?

1 1 1 x ?1 ? 1?1 ? x ? 2? ,则 ? ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? 0 ,所以 ? ? x ? 在 (1 ,2] 上递增, x x x x 1 1 ? 1 ? 0 ,所以 1 ? ? ln x ?1 ? x ? 2? ……………………13 分 x x

所以 ? ? x ? ? ? ?1? ,即 ln x ?

综上,原命题得证.………………………………………………………………14 分


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