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2017届一轮复习北师大版 点与直线、两条直线的位置关系 课件


第八章 解析几何

第八章

第二讲 点与直线、两条直线的 位置关系

1

知识梳理· 双基自测

2

考点突破· 互动探究

3

课 时 作 业

知识梳理· 双基自测

●知识梳理
1.两直线的位置关系

平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情
况. (1)两直线平行

对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
k1=k2,且b1≠b2 l1∥l2?____________________. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0 l1∥l2?_______________________________________.

(2)两直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, -1 l1⊥l2?k1·k2=____________.

对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, A1A2+B1B2=0 l1⊥l2?________________.

2.两直线的交点 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这
? ?A1x+B1y+C1=0, 两条直线的方程联立, 得方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0,

若方程组

相交 有唯一解,则 l1 与 l2____________ ,此解就是两直线交点的坐 平行 标;若方程组无解,则 l1 与 l2____________ ;若方程组有无数 重合 个解,则 l1 与 l2____________ .

3.有关距离

(1)两点间的距离
平 面 上 两 点 P1(x1 , y1) 、 P2(x2 , y2) 间 的 距 离 |P1P2| =
2 2 ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 ________________.

(2)点到直线的距离 平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d |Ax0+By0+C| =___________. A2+B2

(3)两平行线间的距离 已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之 |C1-C2| 间的距离d=______________. A2+B2

●双基自测
1 . 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” , 错 误 的 打 “×”. 导学号 25401892 (1)如果直线 l1 与直线 l2 互相平行,那么这两条直线的斜率 相等.( 定等于-1.( ) ) ) (2)如果直线 l1 与直线 l2 互相垂直,那么它们的斜率之积一 |kx1+b| (3)点 P(x1,y1)到直线 y=kx+b 的距离为 2.( 1+b

(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直 线的距离.( ) (5)若点 A、B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 1 的斜率等于-k ,且线段 AB 的中点在直线 l 上.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

2.若直线 ax+y+5=0 与 x-2y+7=0 垂直,则实数 a 的 值为 导学号 25401893 ( A.2 C.-2 [ 答案] A ) 1 B.2 1 D.-2

3.已知点 P 在直线 x+2y=5 上,且点 Q(1,1),则|PQ|的 最小值为 导学号 25401894 ( 5 A. 5 3 5 C. 5 ) 8 5 B. 5 2 5 D. 5

[ 答案]

D

4.(必修 2P110B 组 T1 改编)直线 2x-y=-10,y=x+1, y=ax-2 交于一点,则 a 的值为__________. 导学号 25401895

[ 答案]
[ 解析]

2 3
? ?2x-y=-10 由? ? ?y=x+1 ? ?x=-9 得? ? ?y=-8

2 代入 y=ax-2 得 a=3.

5.(必修 2P110B 组 T4 改编)已知点 A(3,2)和 B(-1,4)到直 线 ax + y + 1 = 0 的 距 离 相 等 , 则 a 的 值 为 ______. 导学号 25401896

[ 答案]

1 2或-4

[ 解析]

由平面几何知识得 AB 平行于直线 ax+y+1=0 或

1 AB 中点在直线 ax+y+1=0 上,所以 a=2或-4.

考点突破· 互动探究

两条直线平行、垂直的关系
(2015· 河南安阳高三调研 ) 已知两直线 l1 : x + ysinα-1=0 和 l2:2xsinα+y+1=0.①若 l1∥l2,则 α=_____; ②若 l1⊥l2,则 α=____________________. 导学号 25401897

[ 解析]

①方法一:当 sinα=0 时,直线 l1 的斜率不存在,

l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于 l2; 1 当 sinα≠0 时,k1=-sinα,k2=-2sinα.

1 2 要使 l1∥l2,需-sinα=-2sinα,即 sinα=± 2 . π 所以 α=kπ± 4,k∈Z,此时两直线的斜率相等. π 故当 α=kπ± 4,k∈Z 时,l1∥l2.

方法二:由 A1B2-A2B1=0,得 2sin2α-1=0, 2 所以 sinα=± 2 . 又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sinα≠0.即 sinα≠-1. π 所以 α=kπ± 4,k∈Z. π 故当 α=kπ± 4,k∈Z 时,l1∥l2. ②因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sinα+sinα=0,即 sinα=0,所以 α=kπ,k∈Z. 故当 α=kπ,k∈Z 时,l1⊥l2.

[规律总结] 由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1 与 l2 垂直的充要条件 l1 与 l2 平行的充分条件 l1 与 l2 相交的充分条件 l1 与 l2 重合的充分条件
2 l1: A1x+B1y+C1=0(A2 + B 1 1≠0) 2 l2: A2x+B2y+C2=0(A2 + B 2 2≠0)

A1A2+B1B2=0 A1 B1 C1 A2=B2≠C2(A2B2C2≠0) A1 B1 A2≠B2(A2B2≠0) A1 B1 C1 A2=B2=C2(A2B2C2≠0)

(1)(2015· 福建福州八中第四次质量检查)直线 x+2ay-1= 0 与(a-1)x-ay+1=0 平行,则 a 的值为 导学号 25401898 ( ) 1 A.2 C.0 1 B.2或 0 D.-2 或 0

(2)(2015· 河北冀州中学第四次月考 )“m =- 1”是“直线 mx + (2m - 1)y + 2 = 0 与 直 线 3x + my + 3 = 0 垂 直 ” 的 导学号 25401899 ( C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件

[ 答案]

(1)A (2)A

[ 解析]

1 (1)当 a=0 时, 两直线重合, 当 a≠0 时, 由-2a=

a-1 1 a ,得 a=2. 1 (2)若 m=-1,则两直线的斜率积为-3×3=-1,所以两 直线垂直,充分性满足.若两直线垂直,则有 3m+m(2m-1) =0,解得 m=0,或 m=-1,必要性不满足.综上可知选 A.

距离公式
已知点 P(2,-1). 导学号 25401900 (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程. (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程,最大距 离是多少? (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在, 求出方程;若不存在,请说明理由.

[ 分析]

结合图形,根据点到直线的距离公式求解.

[ 解析] 足条件,

(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2,而点 P 的

坐标为(2,-1),显然,过点 P(2,-1)且垂直于 x 轴的直线满 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k=4. 2 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最 大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线, 如图. 由 l⊥OP,得 klkOP=-1, 1 所以 kl=-k =2. OP 由直线方程的点斜式,得 y+1=2(x -2),即 2x-y-5=0. 所以直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与 |-5| 原点 O 的距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线, 因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.

[规律总结] 距离的求法

(1)点到直线的距离:
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线 方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离: ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线

上任意一点到另一条直线的距离;
②利用两平行线间的距离公式. 提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程 化为一般形式,且使x、y的系数分别相等.

若动点 A、B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上 移 动 , 则 AB 的 中 点 M 到 原 点 的 距 离 的 最 小 值 为 _______ 导学号 25401901 .
[ 答案] 3 2

[ 分析]

平行线间 求M点的 点到直线的 → → → 结论 距离公式 轨迹方程 距离公式

[ 解析]

依题意知 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l1:x+y

-7=0 和 l2: x+y-5=0 距离都相等的直线, 则 M 到原点的距 离的最小值为原点到该直线的距离, 设点 M 所在直线的方程为 |m+7| |m+5| x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得 = ,解得 2 2 m=-6,即 x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到 |-6| 原点的距离的最小值为 =3 2. 2

直线系方程
(1)求证:动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+ 3m2 + 1 = 0( 其 中 m ∈ R) 恒 过 定 点 , 并 求 出 定 点 坐 标. 导学号 25403000 (2)求经过两条直线 2x+3y+1=0 和 x-3y+4=0 的交点, 并且垂直于直线 3x+4y-7=0 的直线方程. 导学号 25401902

[分析]

(1)先求两条直线的交点坐标,再由两线的垂直关

系得到所求直线的斜率,最后由点斜式可得所求直线方程. (2)因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,两条直线的斜 率互为负倒数,所以可设所求直线方程为4x-3y+m=0,将两 条直线的交点坐标代入求出m值,就得到所求直线方程.

(3) 设所求直线方程为 (2x +3y +1) +λ(x-3y +4) = 0,即(2
+λ)x+(3-3λ)y+(1+4λ)=0,再利用垂直关系建立λ的方程, 求出λ即可得到所求直线方程.

[ 解析]

(1)证明:方法一:令 m=0,则直线方程为

3x+y+1=0. 再令 m=1 时,直线方程为 6x+y+4=0.
? ?3x+y+1=0, ①和②联立方程组? ? ?6x+y+4=0, ? ?x=-1, 得? ? ?y=2.

将点 A( - 1,2) 代入动直线 (m2 + 2m + 3)x + (1 + m - m2)y + 3m2+1=0 中, (m2 +2m+ 3)×( - 1) + (1 + m - m2)×2 + 3m2 + 1 = (3 - 1 - 2)m2+(-2+2)m+2+1-3=0, 故此点 A(-1,2)坐标恒满足动直线方程,所以动直线(m2+ 2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0 恒过定点 A.

方法二:将动直线方程按 m 降幂排列整理,得 m2(x-y+ 3)+m(2x+y)+3x+y+1=0,① 不论 m 为何实数,①式恒为零, ?x-y+3=0, ? ∴有?2x+y=0, ?3x+y+1=0, ?
? ?x=-1, 解得? ? ?y=2.

故动直线恒过点 A(-1,2).

? ?2x+3y+1=0, (2)方法一:由方程组? ? ?x-3y+4=0,

5 ? ?x=-3, 解得? ?y=7. ? 9

5 7 ∴交点为(-3,9).

∵所求直线与 3x+4y-7=0 垂直, 4 ∴所求直线的斜率 k=3. 7 4 5 由点斜式,得 y-9=3(x+3). 故所求直线的方程为 4x-3y+9=0.

方法二:设所求直线的方程为 4x-3y+m=0. 5 ? ?x=-3, 将方法一中求得的交点坐标? ?y=7. ? 9 5 7 代入上式得 4· (-3)-3· 9+m=0. ∴m=9,代入所设方程 故所求直线的方程为 4x-3y+9=0.

5 7 方法三:∵所求直线过点(-3,9),且与直线 3x+4y-7 5 7 =0 垂直,∴所求直线的方程为 4(x+3)-3(y-9)=0, 即 4x-3y+9=0. 方法四:设所求直线的方程为 (2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0. 即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.① 又因为直线①与 3x+4y-7=0 垂直. 则有 3(2+λ)+4(3-3λ)=0,∴λ=2. 代入①式得所求直线的方程为 4x-3y+9=0. [ 答案] (1)定点 A(-1,2). (2)4x-3y+9=0

[规律总结] 直线系的主要应用 (1) 共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x + B2y + C2) = 0 ,其中 A1B2 - A2B1≠0 ,待定系数 λ∈R. 在这个方

程中,无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它
不能表示直线l2. (2)过定点(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数) 及x=x0.

(3)平行直线系方程:与直线y=kx+b平行的直线系方程为 y = kx + m(m 为参数且 m≠b) ;与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线 系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C,λ是参数).

(4) 垂直直线系方程:与直线 Ax + By + C = 0(A≠0 , B≠0) 垂
直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0(λ为参数). 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条 件待定时,那么可选用直线系方程来求解.

(1)已知直线(3a-1)x-(a-2)y-1=0. 导学号 25401903 ①求证:无论 a 为何值,直线总过第一象限; ②若直线不经过第二象限,求 a 的取值范围. (2)求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交 点 , 且 垂 直 于 直 线 l3 : 3x - 5y + 6 = 0 的 直 线 l 的 方 程. 导学号 25401904

[ 答案]

(1)①略 ②a≥2 (2)5x+3y-1=0

[分析]

①求出直线系的定点,由定点在第一象限即可证

明直线总过第一象限;
②当直线的斜率存在时,直线不经过第二象限的充要条件 是直线的斜率不小于零,且直线在 y 轴上的截距不大于零,从 而建立参数 a的不等式组即可求解;当直线的斜率不存在时, 验证即可.
[ 解析] (1)①方程可化为(-x+2y-1)+a(3x-y)=0. 1 3 可得直线过定点 M(5,5).

? ?-x+2y-1=0, 由? ? ?3x-y=0,

因点 M 在第一象限,故无论 a 为何值直线总过第一象限.

1 ②当 a=2 时,直线为 x=5,显然不过第二象限; 3a-1 1 当 a≠2 时,方程化为 y= x- . a-2 a-2 ? ?3a-1≥0, ? a-2 直线不经过第二象限的充要条件为? ?- 1 ≤0, ? ? a-2 解得 a>2. 综上,a≥2 时,直线不经过第二象限.

? ?3x+2y-1=0, (2)方法一: 先解方程组? ? ?5x+2y+1=0,

得 l1、 l2 的交点(-

3 5 1,2),再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为-3,于是由直线的点斜式 5 方程求出 l:y-2=-3(x+1),即 5x+3y-1=0. 方法二:∵l1⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2),故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求 出 C=-1,故 l 的方程为 5x-3y-1=0.

方法三: ∵l 过 l1, l2 的交点, 故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x +2y+1)=0 中的一条,将其整理,得 (3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =-3.解得 λ=5. 2+2λ 代入直线系方程得 l 的方程为 5x+3y-1=0.

对称问题
若自点 P(-3,3)发出的光线 l 经 x 轴反射,其反 射光线所在的直线与圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求直 线 l 的方程. 导学号 25401905 [ 分析]

[ 解析]

解法一:圆 C 的圆心坐标为(2,2),半径为 1.

显然,入射光线所在直线的斜率 k 不存在时不符合题意, 故可设入射光线所在直线的方程为 y-3=k(x+3),则反射光线 所在直线的斜率 k′=-k,点 P 关于 x 轴的对称点 P′(-3, -3)在反射光线所在的直线上,故反射光线所在直线的方程为 |2k+2+3+3k| y+3=-k(x+3),该直线应与圆相切,故得 =1, 2 1+k 3 4 所以 12k +25k+12=0,解得 k=-4或 k=-3.
2

所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

解法二:如图所示,设圆C关于x轴对称的圆为圆C′,则圆

C′的圆心坐标为(2,-2),半径为1.设入射光线所在直线的方程
为y-3=k(x+3),则该直线与圆C′相切,类似方法一可得直线l 的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

[点拨]

光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点,

这样就有两种对称关系,一是入射光线与反射光线关于反射点 且与反射轴垂直的直线(法线)对称,二是入射光线与反射光线 所在直线关于反射轴对称.
[ 规律总结] (1)中心对称问题的两个类型及求解方法

①点关于点对称:若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)
? ?x=2a-x1, 对称,则由中点坐标公式得? ? ?y=2b-y1,

进而求解.

②直线关于点的对称,主要求解方法是:
a .在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关 于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; b .求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式 得到所求直线方程.

(2)轴对称问题的两个类型及求解方法 ①点关于直线的对称: 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称, ? ?A?x1+x2?+B?y1+y2?+C=0, 2 2 ? 由方程组? A ?y2-y1· ?-B?=-1 ? x - x ? 2 1 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2, y2)(其中 B≠0, x1≠x2). ②直线关于直线的对称: 一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知 直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

已 知 直 线 l : 2x - 3y + 1 = 0 , 点 A( - 1 , - 2) . 求 : 导学号 25401906 (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方 程.

[ 答案]

33 4 (1)(-13,13)

(2)9x-46y+102=0

[ 解析]

(1)设 A′(x,y),则由已知得 33 ? ?x=-13, 解得? ?y= 4 , ? 13

? ?y+2×2=-1, ?x+1 3 ? y-2 ? x-1 2× 2 -3× 2 +1=0, ? ? 33 4 故 A′(-13,13).

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的 对称点 M′必在直线 m′上. ? ?2×?a+2?-3×?b+0?+1=0, 2 2 ? 设对称点 M′(a, b), 则? ?b-0×2=-1, ? ?a-2 3 6 ? ?a=13, 解得? ?b=30, 13 ? 6 30 故 M′(13,13).

设直线 m 与直线 l 的交点为
? ?x=4, ? ? ?y=3,

? ?2x-3y+1=0, N,则由? ? ?3x-2y-6=0,



故 N(4,3).

又 m′经过点 N(4,3),所以由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.

课时作业
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