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四川省雅安中学2014-2015学年高二下学期期末模拟理数试卷


雅安中学 2014-2015 学年高二下期期末模拟 数 学 试 题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? ?1, 2? , N ? ?a 2 ? , 则 “ a ? 1 ”是“ N ? M ”的 A C 充分不必要条件 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 ( ) ( )

2. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? 2 ,则抛物线的方程是 A y 2 ? 8x 3.复数 A B y 2 ? ?8 x ( ) C
?i

C y2 ? 4x

D y 2 ? ?4 x

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

3 ? i 5

B

3 i 5

D ( )

i

4.若 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x 则 f ?( x) >0 的解集为 A

? 0, ?? ?
(

B

? ?1, 0 ? ? ? 2, ?? ?

C

? ?1, 0 ?

D

? 2, ?? ?

5. 已知 A(1,-2,11) ,B(4,2,3) ,C(6,-1,4)为三角形的三个顶点, 则Δ ABC 为 A 形 6.某中学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( A 4种 B 10 种 ) C 18 种 D ) 20 种 ) B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角

直角三角形

7.下列说法错误的是(

A 命题“若 x2-4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是:“若 x≠3,则 x2-4x +3≠0” B “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
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C 若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题
2 D 命题 p:“?x0∈R 使得 x2 0+x0+1<0”,则 ? p:“?x∈R,均有 x +x+

1≥0” 8.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ( A ) 1 B 2 C 2 2 D 3

9. 已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点,则 COS∠AFB= A
4 5

(

) B
3 5

C



3 5

D —

4 5

10.在Δ ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC,BC 边上的高分别为 BD,AE,则以 A, B 为焦点,且过 D,E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 A ( )

3

B

1

C

2 3

D

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分

11.设复数 i 满足 i ( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_________ 12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离 心率为 方程为
2 .过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的 2

.

13.某中学教学楼二楼到三楼有一段楼梯共 13 阶,某同学在上楼时一步可上 1 阶或 2 阶,若该同学想用 10 步走完这一段楼梯,那么这位同学共有_________ 种不同的走法.(请用数字作答) 14. 在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,

AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则 AC′的
长为________. 15.下列命题: ①若 f(x)存在导函数,则 f′(2x)=[f(2x)]′;
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?π ? 4 4 ②若函数 h(x)=cos x-sin x,则 h′? ?=0; ?12? ③若函数 g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2 010)(x-2 011), 则 g′(2 011) =2 010! ; ④若三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值 点”的充要条件. 其中假命题为________. 三、解答题 本大题共 6 小题,共 75 分 16. (12 分)如图,命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不 垂直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”. (1)写出上述命题的逆否命题并判断其真假; (2)写出上述命题的逆命题,判断其真假并证明.

17. (12 分)赛艇运动员 10 人,3 人会划右舷,2 人会划左舷,其余 5 人两舷都 能划, 现要从中选 6 人上艇, 平均分配在两舷上划浆, 有多少种不同的选法?

18. (12 分)已知 m ? 0 ,讨论函数 f ( x) ?

mx 2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6 的单调性. ex

19. (12 分)图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长 的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P—AC—D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

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20 (13 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,A ? C ,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点; (1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个 公共点,求坐标原点到 m, n 距离的比值.

21(14 分)已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0.[@#中国^教育出版&网~] (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k,证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.

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雅安中学 2014-2015 学年高二下期期末模拟 数 学 参考答安(理科)
BCBDA 一 选择题(1-10*5=50 分)ABCDA

8.提示: 曲线上的点 P 到直线的最短距离,就是与直线 y=x-2 平行且与 y=x2-lnx 相切的直线上的切点到直线 y=x-2 的距离. 过点 P 作 y=x-2 的平行直线, 且与曲线 y=x2-lnx 相切, 设 P(x0, x2 0-lnx0), 1 则 k=2x0- ,

x0

1 1 |1-1-2| ∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去).∴P(1,1),∴d= = 2 x0 2 1+1 二 填空题(11-15*5=25 分) 11.1 12.

x2 y 2 ? ?1 16 8

13.120

14. 23

15.①②④ [f(2x)]′=f′(2x)(2x)′=2f′(2x),①错误; h′(x) = 4cos3x( - sinx) - 4sin3xcosx = - 4sinxcosx = - 2sin2x , 则 ?π ? h′? ?=-1,②错; ?12? f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ =4b2-12ac=4(b2-3ac),只需 b2-3ac>0 即可, a+b+c=0 是 b2-3ac>0 的充分不必要条件,④错. 三.解答题(75 分) 16.解答略 17.解
3 分三类:第一类 2 人只划左舷的人全不选,有 C3 5C5=100(种);

2 3 第二类 2 人只划左舷的人中只选 1 人,有 C1 2C5C6=400(种); 1 3 第三类 2 人只划左舷的人全选,有 C2 2C5C7=175(种). 3 1 2 3 2 1 3 所以共有 C3 5C5+C2C5C6+C2C5C7=675



18.解: f ?( x) =

? mx 2 ? (m ? 3) x ? 3 , ex
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设 g ( x) ? ?mx 2 ? (m ? 3) x ? 3 ,令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?

3 , x 2 ? ?1 . m

① 当 0 ? m ? 3 时, x1 < x 2 , x , f ?( x) 与 f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??,?

3 ) m

?



3 m 0

(?

3 , -1) m +

-1 0 极大值

(-1,? ? ) ↘

f ( x)

极小值



∴ f ( x) 在区间 (??,?

3 3 ) , (?1,??) 上是减函数,在区间 (? ,?1) 上是增函数. m m

② 当 m =3 时, x1 = x 2 ,在区间 (??,?1) , (?1,??) 上, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) <0, ∴ f ( x) 在区间 (??,??) 上是减函数. ③ 当 m ? 3 时, x1 > x 2 , x , f ?( x) 与 f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??,?1)

-1 0 极小值

(-1, ? + ↗

3 ) m

?



3 m 0

(?

3 ,? ? ) m -

f ( x)

极大值



∴ f ( x) 在区间 (??,?1) ,( ? 增函数.

3 3 , ? ? )上是减函数,在区间(-1, ? )上是 m m

19.(1)证明 连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD,以 O 点为 坐标原点.OB、OC、OS分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直 角坐标系 Oxyz 如图所示. 6 设底面边长为 a,则高 SO= a. 2 ? ? 6 2 于是 S(0,0, a),D?- a,0,0?, 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 C?0, a,0?,B? a,0,0?, 2 ? ? ?2 ? ? ? 2 ∴ OC =?0, a,0?, 2 ? ? ? 2 6 ? SD =?- a,0,- a?,∴ OC · SD =0.故 OC⊥SD,因此 AC⊥SD. 2 ? ? 2 ? 2 6 ? (2)解 由题意知,平面 PAC 的一个法向量 DS =? a,0, a?,平面 DAC 2 ? ?2
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? 6 ? 的一个法向量 OS =?0,0, a?, 2 ? ? 设所求二面角为 θ ,则 cos θ =

OS ? DS OS ? DS



3 ,故所求二面角 P—AC—D 2

的大小为 30°. (3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC. ? 2 6 ? 由(2)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,且 DS =? a,0, a?, 2 ? ?2 ? ? ? 2 6 ? 2 2 而 CS =?0,- a, a?, BC =?- a, a,0?, 2 2 ? 2 ? ? 2 ? CE 设 =t, CS ? 2 2 6 ? 则 BE = BC + CE = BC +t CS =?- a, a(1-t), at?. 2 2 ? ? 2 1 由 BE ? DS =0,得 t= , 3 即当 SE∶EC=2∶1 时, BE⊥DS.而 BE 不在平面 PAC 内, 故 BE∥平面 PAC. 20.1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S ?ABD ? 4 2 ? 1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2

2 2 x0 x0 p 2 ? ? ? x0 ? 3 p2 点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ? ) ? p ? 2p 2p 2

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 得: A( 3 p, ) ,直线 m : y ? 2 2 2 3p

x 2 ? 2 py ? y ?

x2 x 3 3 3p p ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ) 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6

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坐标原点到 m, n 距离的比值为

3p 3p : ?3. 2 6

21.解: f ?( x) ? e x ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a . 当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,故当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a ) ? a ? a ln a.
于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1 恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1 e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e x ?

e x1 ? ? ( x1 ) ? ? e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

? ( x2 ) ?

e x2 ? e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? ? ?. x2 ? x1

令 F (t ) ? et ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 et ? t ? 1 ? 0. 从而 e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0, 又 所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
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e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.

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