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江西省临川区2015-2016学年高一数学下学期期中试题

临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试

高一 数学试卷

卷面满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是正确的)

1. a, b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( )

A. a2 ? b2

B.

1 ab2

?

1 a2b

C. a2b ? ab2

D. b ? a ab

2.若不等式 ax2 ? 8ax ? 21 ? 0 的解集是{x | ?7 ? x ? ?1} ,那么 a 的值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc , bc ? 2 ,则

?ABC 的面积为( )

A. 1 2

B.1

C. 3

D. 3
2

4.已知数列{an}中, a1

?

3, an?1

?

?

1

an ?1

n

?

N*

),能使

an

?

3的

n

可以等于(



A.14

B.15

C.16 D.17

5 . 在 三 角 形 ?ABC 中 , 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c , 且 满 足 a ? b ? c , 则 745

s i n 2A ? ( ) s i nB ? s iCn

A. ? 11 14

B. 12 7

C. ? 14 45

D. ? 11 24

6.在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac ,则角 B

的值为( )

A.

B. 或

C.

D. 或

? ? 7.数列

an

满足

a1

?

1 2

,且对于任意

n

?

N?

都满足

an?1

?

an 3an ?1

,则数列{an

?

an?1}

的前 n 项和为 ( )

n

A.

B.

C.

D.

2(3n ? 2)

8.已知数列?an? 的通项公式为 an

?

3 2n ? 7

,记数列?an? 的前 n 项和为

Sn

,则使

Sn

?

0



立的 n 的最大值为( )

A.4

B.5

C.6

D.8

? x?4y?4? 0 9.在平面直角坐标系中,若 P(x, y) 满足 ??2x ? y ?10 ? 0 ,则 x ? 2 y 的最大值是( )
??5x ? 2 y ? 2 ? 0

A.2

B.8

C.14

D.16

10.设 a ? 0,b ?0, A(1, ?2), (B,a1)?, (C ,0?b)
()

,若 A, B,C 三点共线,则 2 ? 1 的最小值是 ab

A.3+2

B.4

C.6

D. 9

11. 若{an}是正项递增等比数列,Tn 表示其前 n 项之积,且T9 ? T19 ,则当Tn 取最小值时,

n 的值为( )

A. 9

B.14 C.19 D. 24

12.不等式 2x2 ? axy ? 3y2 ? 0 对于任意 x ?[1, 2]及 y ?[1, 3]恒成立,则实数 a 的取值范围

是( )

A. a ? 2 2

B. a ? 2 6

C. a ? 5

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

D. a ? 9 2

13.函数 f (x) ? x ? 9 ( x ?1) 的最小值是__________. 2 ? 2x

14.如图,在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD ? 1 DC , 2
若 AB ?1, AC ? 2,则 AD? BD 的最大值为________.

15.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和, a1=1,

2Sn =(n ?1)an ,若存在唯一的正整数 n 使得不等式 an2 ? tan ? 2t2 ? 0 成立,则实数 t 的取

值范围为 _______.

16.

.记数列{an}的前

n

项和为

Sn,若不等式

an 2

?

Sn2 n2

? 2ma12 对任意等差数列{an}及任意

正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为_____________.



三、解答题(本题共六小题,共计 70 分)

17.(本题 10 分)已知函数 f (x) ? x2 ? 3x ? a

(1)当 a ? ?2 时,求不等式 f (x) ? 2 的解集

(2)若对任意的 x ?[1, ??) , f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本题 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac. (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 sin Asin C ? 3 ?1 ,求角 C.
4
19.(本题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,
且 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , sin Asin B ? cos2 C . 2
(1)求角 B 的大小;
4 (2)若等差数列{an}的公差不为零,且 a1 cos 2B =1,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,求{anan?1} 的前 n 项和 Sn .
20.(本题 12 分) 首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态” 为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化 为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理
成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为 y ? 1 x2 ? 200x ? 80000 , 2
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多 少元才能使该单位不亏损?

21.(本题 12 分)?ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 2bcos C+c ?2a (1)求角 B 的大小;

(2)若

BD



AC

边上的中线,

cos

A

?

1 7



BD

?

129 ,求 ?ABC 的面积. 2

? ? 22.(本题 12 分)已知各项均为正数的1数列{an}中, a1 ? 1, Sn 是数列 an 的前 n 项和,对

,

任 意 n ? N ? , 有 2Sn ? 2an2 ? an 3?1 . 函 数 f (x) ? x 2 ? x , 数 列 {bn} 的 首 项

,

b1

?

3 2

, bn?1

?

f (bn ) ?

1. 4

5

(Ⅰ)求数列?an ?的通项公式;

(Ⅱ)令 cn

?

log 2 (bn

?

1 2

)

,求证:

{cn

}

是等比数列并求{cn

}

通项公式

(Ⅲ)令 d n ? an ? cn , n ? N ? ,求数列{dn}的前 n 项和Tn .

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考号:

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姓名:

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班级:

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线

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临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一数学试卷答题卷

题号







总分

得分

一.选择题(每题 5 分,共 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

答案

二.填空题(每题 5 分,共 20 分)

13._____ 14.______ 15 ______

三.解答题(共 70 分) 17.(满分 10 分)

7

8

9

16. ______

10 11 12

18(满分 12 分)

19.(满分 12 分)

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( ● ● ● ● ● ●
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20.(满分 12 分)

21

21.(满分 12 分)

22.(满分 12 分)

临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试

高一数学试卷答案

一.选择题。(每题 5 分,共 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 B

C

D

C

C

B

D

C

C

D

B

B

二.填空题。(每题 5 分,共 20 分)

13.3 2 ?1 14. 2 15. [1 ,1) (?2, ?1]

2

2

16. 1 10

三.解答题。

17.(1){x | x ? ?4或x ? 1} (2){a | a ? ?4}

解:(1)当 a ? ?2 时,不等式 f (x) ? 2 可化为 x2 ? 3x ? 4 ? 0 解得{x | x ? ?4或x ? 1} …………………………………………5 分

(2)若对任意的 x ?[1, ??) , f (x) ? 0 恒成立,

则 a ? ?x2 ? 3x 在 x ?[1, ??) 恒成立, 设 g(x) ? ?x2 ? 3x 则 g(x) 在区间 x ?[1, ??) 上为减函数 ,当 x ?1 时 g(x) 取最大值为 ?4 ,

∴a 得取值范围为{a | a ? ?4} …………………………………………10 分

18.(1) B ? 1200 (2) C ? 150 或 C ? 450

解:(1)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,所以 a2 ? c2 ? b2 ? ?ac ,

由余弦定理得 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? ? 1 …………………………………4 分

2ac

2

因此 B ? 1200 …………………………………6 分

(2)由(1)知 A ? C ? 600 ,所以

cos(A ? C) ? cos AcosC ? sin Asin C ? cos AcosC ?sin Asin C ? 2sin Asin C

? cos(A ? C) ? 2sin Asin C ? 1 ? 2 ? 3 ?1 ? 3 ……………………………10 分

2

42

故 A ? C ? 300 或 A ? C ? ?300 ,因此 C ? 150 或 C ? 450 …………………12 分

19.(1) B ? ? 6

(2) Sn

?

n 1? n

,n? N?

解:(1)由 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc, a2 ? b2 ? c2 ? ? 3bc

所以 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 3 ,

2bc

2

又 0 ? A ? ? ,? A ? ? ………………………………………………………2 分 6

由 sin Asin B ? cos2 c , 1 sin B ? 1? cos C , sin B ?1? cosC ,?cosC ? 0 ,则 C 为钝

22

2

角。 B ? C ? 5 ? ,则 sin(5 ? ? C) ? 1? cos C,?cos(C ? ? ) ? ?1 …………4 分

6

6

3

解得 C ? 2 ? , ? B ? ? ………………………………… …………6 分

3

6

(2)设{an} 的公差为 d ,

由已知得

a1

?

1 cos

A

?

2



且 a42 ? a2 a8 .

∴ (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) .

又 d ? 0 , ∴ d ? 2 . ∴ an ? 2n . ……………………………………9 分

∴ 4 ? 1 ?1? 1 . anan?1 n(n ?1) n n ?1



Sn

?

(1?

1) 2

?(1 2

?

1) ? (1 33

?

1) 4

?

? (1 ? 1 ) ? 1? 1 ? n ……………12 分

n n ?1

n?1 n?1

20.(1)400 (2)至少补贴 40000 元 解:(1)由题知:二氧化碳的平均处理成本为;

y ? 1 x ? 80000 ? 200 ? 2 1 x ? 80000 ? 200 ? 200 当 且 仅 当 1 x ? 80000 时 , 即

x2

x

2x

2

x

x ? 400 时取等。
故该单位每月处理 400 吨才能使每吨的处理成本最低, 最低成本为 200 元 ……………………………………6 分
(2)设该单位每月获利 S 元,则 S ? 100x ? y ? ? 1 x2 ? 300x ? 80000 ………8 分 2
且 S ? ? 1 (x ? 300)2 ? 35000,又因为 x ?[400, 600] 2

所以 Smax ? ?40000

所以该单位不获利,每月需要国家至少补贴 40000 元才不会亏本。………12 分
21.(1) B ? ? (2)10 3 3

解:(1) 2bcosC ? c ? 2a ,由正弦定理,得 2sin BcosC ? sin C ? 2sin A , ∵ A? B ? C ? ? ,∴ sin A ? sin(B ? C) ? sin B cosC ? cos B sin C ,

∴ 2sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C)

? sin C ? 2cosBsin C ……………………………………4 分

∵ 0 ? C ? ? ,∴以 sin C ? 0 ,∴ cos B ? 1 , 2
又∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? ? ;……………………………………6 分
3

(2)在 ?ABD 中,由余弦定理得 ( 129 )2 ? c2 ? (b )2 ? 2c ? b cos A ,

2

2

2

∴ 129 ? c2 ? b2 ? 1 bc ……①,……………………………………8 分

4

47

在 ?ABC 中,由正弦定理得

c sin C

?

b sin B

,由已知得 sin

A?

43 7

∴ sin C ? sin(A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 5 3 ,……………10 分 14



c

?

5 7

b

……②,由①②解得

?b ??c

? ?

7 5



∴S

ABC

?

1 bc sin 2

A ? 10

3 .…………………………………………12 分

22.(1)

an

?

n ?1 2

(2) cn ? 2n?1

(3) Tn ? n ? 2n?1

解:(Ⅰ)由 2Sn ? 2an2 ? an ?1 ①

得 2Sn?1 ? 2an?12 ? an?1 ?1 ②

由②—①,得:

2an?1 ? 2(an?12 ? an2 ) ? (an?1 ? an )

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0 ………………………………………2 分
由于数列?an ?各项均为正数,

? 2an?1 ? 2an ? 1



an?1

? an

?

1 2

?

数列

?a

n

?

是首项为1

,公差为

1 2

的等差数列,

? 数列?an ?的通项公式是

an

? 1? (n ?1) ?

1 2

?

n ?1 2

…………………4 分

(Ⅱ)由 bn?1

?

f

(bn

)

?

1 4



bn?1

? bn 2

? bn

?1, 4

所以 bn?1

?

1 2

?

(bn

?

1)2 2



有 log 2 (bn?1

?

1) 2

?

log 2 (bn

?

1)2 2

?

2 log 2 (bn

?

1) ,…………………………6 2



即 cn?1

? 2cn ,

而 c1

?

log

2

(b1

?

1) 2

?

log

2

2

?

1

,故 {c n

}

是以

c1

? 1 为首项,公比为

2

的等比数列. 所以 cn ? 2n?1 ………………………………………………8 分

(Ⅲ) dn

?

an

? cn

?

n ? 1 ? 2n?1 2

?

(n ? 1)2n?2 ,

所以数列{dn}的前 n 项和 Tn ? 2 ? 2?1 ? 3? 20 ? ? n ? 2n?3 ? (n ?1)2n?2 (1)

2Tn ? 2 ? 20 ? 3? 21 ? ? n ? 2n?2 ? (n ?1)2n?1

(2)………………………10 分

(1)-(2)式错位相减可得 Tn ? n ? 2n?1 …………………………12 分


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