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高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制例题与探究新人教A版必修4


1.1 任意角和弧度制 典题精讲 例 1 一条弦的长度等于半径 r,求: (1)这条弦所对的劣弧长; (2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积. 思路分析:解决此类问题,要首先根据题意画出相关的图形,然后对涉及的量的大小进行确 定.由已知可知圆心角的大小为 π 3,然后用公式求解即可. 解: (1)如图 1-1-1, 因为半径为 r 的⊙O 中, 弦 AB=r, 则△OAB 为等边三角形, 所以∠AOB= 则弦 AB 所对的劣弧长为 ? r. 3 ? . 3 图 1-1-1 (2)∵S△AOB= 1 3 2 OA?OB?sin∠AOB= r, 2 4 S 扇形 OAB= 1 ? 2 1 2 2 |α |r = ? ?r =π 6r , 2 2 3 ∴S 弓形=S 扇形 OAB-S△AOB= ? 2 3 2 ? 3 2 rr =( )r . 6 6 4 4 绿色通道: 图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一, 本例要把弓形看成是扇形与 三角形的差,即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目,要尽可能地从图 中各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口. 变式训练 地球赤道的半径是 6 370 km,所以赤道上的 l′弧长是_________(精确到 0.01 km). 思路解析:由于在弧长公式中圆心角的单位是弧度,所以首先将 l′化为弧度,还要注意地 球赤道的半径就是地球的半径. l′= 1 ? 1 ? ? 弧度,弧长 l=r|α |=6 370? ? ≈1.85 km. 60 180 60 180 答案:1.85 km 例 2(2005 全国高考卷Ⅲ,1)已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 思路解析:根据 α 的取值范围,确定 ? 所在的象限是( 2 ) B.第二或第三象限 D.第二或第四象限 ? ? 的取值范围.因为第三象限角与 —π 之间的角并 2 2 1 不等价.由 α 在第三象限,α 应在区间(2kπ +π ,2kπ + 2kπ + 3? ?kπ +π 2<α 2<kπ +3π 4,当 k 为偶数时,α 2 在第二象限;当 k 为奇数时,α 2 2 3? )(k∈Z)内,即 2kπ +π <α < 2 在第四象限. 答案:D 绿色通道: (1)由 α 的象限确定 2α 的象限时,应注意 2α 可能不再是象限角,对此特殊 情况应特别指出.如 α =45°,2α =90°就不再是象限角. (2) 在本例的基础上, 还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图 1-1-2 来记 忆.图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如:当 α 为第一象限 角时, ? ? 为第一、第三象限角的前半区域;当 α 为第二象限角时, 为第一、三象限角 2 2 的后半区域.依此类推. 图 1-1-2 黑色陷阱:应避免以下错误:由 α 是第二象限角,仅想到 90°<α <180°,由 45°< <90°得出 α 2 为第一象限角,而将 ? 中第三象限角丢掉. 2 ? 2 变式训练 1 已知单位圆上一点 A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动,1 秒钟时间转过 θ (0 <θ ≤π )角,经过 2 秒钟到达第三象限,经过 14 秒钟转到与最初位置重合,求 θ 角的弧 度数. 思路分析: 这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题, 首先要根据题意画出坐标系, 然后按照题中描述表示出角的范围,再进行计算. 解:由 0<θ ≤π ,可得 0<2θ ≤2

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