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指数式与对数式的运算


指数式与对数式的运算

指数与指数幂的运算
教学目标:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数 指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾: 1. 若 x n ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,记为 n a ,其中 n>1,且 n ? N ? .( n 叫做根指数, a 叫做被开方数) n 次方根具有如下性质: (1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数 的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根 都是零. (2)n 次方根( n ? 1, 且n ? N * )有如下恒等式:
np mp n m a, n为奇数 ( n a )n ? a ; n a n ? ? (a ? 0). ?| a |, n为偶数 ; a ? a ,

?

2.规定正数的分数指数幂: a n ? 数化为分母,幂指数化为分子) ,

m

n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1 ) ; 注意口诀: (根指
? m n

a

意口诀:底数取倒数,指数取相反数.0 的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) 范例解析 例 1 求下列各式的值:
n (1) n ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (3 ? ?)

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) . 注 a a

② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

(2) ( x ? y)2 .

n 解: (1)当 n 为奇数时, n (3 ? ?) ? 3?? ;

n 当 n 为偶数时, n (3 ? ?) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 .

(2) ( x ? y)2 ?| x ? y | . 当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? x ? y ;当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? y ? x . 例 2 已知 a 2 n ? 2 ? 1 ,求 解:
a 3n ? a ?3n an ? a?n

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n (a n ? a ? n )(a 2 n ? 1 ? a ?2 n ) 1 ? ? a 2 n ? 1 ? a ?2 n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 ?1. n ?n a ?a 2 ?1

2 1 1 5 2 1 1 4 a 3b 2 3 ab 2 (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; 例 3 化简: (1) (2) 1 1 (a>0, b>0) ;(3) 81? 9 3 . b (a 4 b 2 )4 ? 3 a

解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a 3 (2)原式= (
4 2 1 2 3 2

2 1 1 ? ? 2 6

b2
1

1 1 5 ? ? 3 6

? 4ab0 ? 4a .
4

a 2 b ? [(ab2 ) 3 ]2 ab2 ? (b / a) 3
4 2 1 ?2? 3 2

3

1 1

1 3

=

a 2b ? a 6b3 a b
2 3 7 3

3

1

10

=

a 6 b3 a b )
2 1 3 4

2 3

7 3

=

a . b

1 4 4 2 1 3 4 1 6



= 34 ? [(3 ) ] ? 34 ? 3 ? 34 ? 3 ? (34 ? 3 ) ? (3 ) ? (3 ) ? 3 ? 3 ? 3 6 3 . 点评: 根式化分数指数幂时, 切记不能混淆, 注意将根指数化为分母, 幂指数化为分子, 根号的嵌套,化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键. 例 4 化简与求值: 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2) . 1? 3 3? 5 5? 7 2n ? 1 ? 2n ? 1 解: (1)原式= 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 = (2 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 =4.
3 ?1 5? 3 7? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? ??? ? 3 ?1 5?3 7?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 = ( 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) = ( 2n ? 1 ? 1) . 2 2 2 点评:形如 A ? B 的双重根式,当 A ? B 是一个平方数时,则能通过配方法去掉双 重根号, 这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中, 常常用到的是平方差公式, 第 2 小题也体现了一种消去法的思想. 第(1)小题还可用平方法,即先算得原式的平方, 再开方而得.

4

2 3

(2)原式=

对数与对数运算
教学目标:1.理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转 化,并能运用指对互化关系研究一些问题. 2.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;理解推导这些运算性质的依据和过程;能较熟练地运用运算性质解决问题. 知识点回顾: 1. 定义:一般地 ,如 果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) , 那 么 数 x 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 (logarithm).记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数 2. 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lg N 在科学技术中常使用以无理数 e =2.71828……为底的对数,以 e 为底
王新敞
奎屯 新疆

的对数叫自然对数,并把自然对数简记作 ln N 3. 根 据 对 数 的 定 义 , 得 到 对 数 与 指 数 间 的 互 化 关 系 : 当 a ? 0 , a ? 1时 ,
loga N ? b ? ab ? N .

4. 负数与零没有对数; log a 1 ? 0 , log a a ? 1

M ? loga M ? loga N , N log N loga M n ? n loga M , a a ? N ,其中 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0, n ? R . log b N 6. 对 数 的 换 底 公 式 l o ga N ? . 如果令 b ? N ,则得到了对数的倒数公式 log b a
( ?N ? ) 5. 对 数 的 运 算 法 则 : l o g a M la oM g?
a

lo N g , loga

log a b ?

1 . 同 样 , 也 可 以 推 导 出 一 些 对 数 恒 等 式 , 如 logan N n ? loga N , logb a

logam N n ?

n loga N , log a b?logb c?logc a ? 1等. m

范例解析 例 1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1) 2?7 ? ; (2) 3a ? 27 ; (3) 10?1 ? 0.1 ; 128 (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
2

解: (1) log 2

1 ? ?7 ; 128

(2) log3 27 ? a ;

(3) lg 0.1 ? ?1 ;

1 (4) ( )?5 ? 32 ; (5) 10?3 ? 0.001 ; (6) e4.606 ? 100 . 2 例 2 计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ; (3) ln e .
,解得 x ? ?3 . 所以,lg 0.001 ? ?3 . 3 3 (2)设 log 4 8 ? x ,则 4 x ? 8 ,即 2 2 x ? 23 ,解得 x ? . 所以, log 4 8 ? . 2 2 1 1 1 (3)设 ln e ? x ,则 e x ? e ,即 e x ? e 2 ,解得 x ? . 所以, ln e ? . 2 2
g0 . 0 0 1 解: (1) 设l 0 x ?0 .0 0 1 ? x ,则 1 10 ,即 10 x ?
?3

例 3 已知 log5 3 ? a, g25 1 2是( log5 4 ? b ,则 lo A、 a?b B、

) D、

1 (a ? b) 2

C、 ab

1 ab 2

例 4 求证: (1) loga an ? n ; 所以 loga an ? n .

(2) loga M ? loga N ? loga

M . N

证明: (1)设 log a an ? x ,则 a n ? a x ,解得 x ? n . (2)设 log a M ? p , loga N ? q ,则 a p ? M , a q ? N .

M ap M ? p ? q ? loga M ? loga N . ? q ? a p ?q ,则 loga N N a M 所以, loga M ? loga N ? loga . N 点评: 对数运算性质是对数运算的灵魂, 其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁, 结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. log c b 例 5 试推导出换底公式: log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a
因为 证明:设 log c b ? m , log c a ? n , log a b ? p , 则 cm ? b , cn ? a , a p ? b . 从而 (cn ) p ? b ? cm ,即 np ? m . 由于 n ? logc a ? logc 1 ? 0 ,则 p ?

m . n

所以, log a b ?

log c b . log c a

点评: 换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运 算性质,牢牢扣住指对互化关系. 例 6 化简与求值: (1) lg 2 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) . 解: (1)原式 ? lg 2(lg 2 ? lg 5) ? lg 5 ? lg 2 ? lg 5 ? lg(2 ? 5) ? 1

1 = log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )2 2 1 1 2 = log2 (4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 2 4 ? 7) = log2 14 . 2 2 1 1 a b 例 7 若 2 ? 5 ? 10 ,则 ? = . (教材 P83 B 组 2 题) a b
(2)原式= log 2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )
2?

1 2

解:由 2a ? 5b ? 10 ,得 a ? log 2 10 , b ? log5 10 . 则
1 1 1 1 ? ? ? ? lg 2 ? g 5 ? lg10 ? 1 . a b log 2 10 log 5 10

例 8 (1)方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根,则 x1 ?x2 的值是 解: (1)由 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 ,得 lg[ x( x ? 3)] ? lg10 , 即 x( x ? 3) ? 10 ,整理为 x 2 ? 3x ? 10 ? 0 . 解得 x=-5 或 x=2. ∵ x>0, ∴ x=2. (2)设 lg x ? t ,则原方程化为 t 2 ? at ? b ? 0 ,其两根为 t1 ? lg x1 , t2 ? lg x2 . 由 t1 ? t2 ? lg x1 ? lg x2 ? lg( x1 ?x2 ) ? b ? lg10b ,得到 x1 ?x2 ? 10b . 点评:同底法是解简单对数方程的法宝,化同底的过程中需要结合对数的运算性质 . 第 2 小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系. 1 1 1 ? ? 例 8(1)化简: ; log 5 7 log3 7 log 2 7
log 3 4 ? log 4 5 ? ???? log 2005 2006 ? log 2006 m ?4 ,求实数 m 的值. (2)设 log 2 3?

.

解: (1)原式= log7 5 ? log7 3 ? log7 2 ? log7 (5 ? 3 ? 2) ? log7 30 . log 4 log 5 log 2006 log 2 m ? ? ?? 2 ? ? log 2 m , (2)原式左边= log 2 3? 2 ? 2 ? log 2 3 log 2 4 log 2 2005 log 2 2006 ∴ log2 m ? 4 ? log2 24 , 解得 m ? 16 . 点评:换底时,一般情况下可以换为任意的底数,但习惯于化为常用对数. 换底之后, 注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.

课后练习
【基础训练】 1.写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)

(3 ? ? ) ?
2



8 ? ______ ;

2 3

81

?

3 4

?



2

3 ? 3 1.5 ? 6 12 =

log 1 4 ? ___.
2

2log2 3 ? 3log3 2 ?

2 化简下列各式: (a ? 0, b ? 0)

(1)

6

( x ? y) 6 ( x ? y) ;

(2) 2 x

?

1 3

2 ? ? ?1 1 ? x 3 ? 2x 3 ? ?2 ? ? ?

(3)

a 3b 2 3 ab2 (a b ) 4 ? 3
1 4 1 2

2

b a

( a ? 0, b ? 0 ) (4) 4a 3 b

?

1 3

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) ? ; 3

(5) (a2 ? 2 ? a?2 ) ? (a2 ? a ?2 ) ? . 3.求值: (1) log
1 2

(83 ? 45 ) ? ______; (2) (lg 2)3 ? 3lg 2 ? lg5 ? (lg5)3 ? ______;

(3) log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? ________. (4) lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) 2 ? 4.在 b ? loga?2 (5 ? a) 中,实数 a 的范围是 【能力提升】 1.设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a
2m?n

的值。

2.设 A={0,1,2},B={ loga 1 , loga 2 , a },且 A=B,求 a 的值。 3.设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 4.若 lg a, lg b 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg( ab ) ? (lg
2

a 2 ) 的值 b

5.若 log a x ? log a y ? ? 则 xy=________

1 log c 2 , a, b, c 均为不等于 1 的正数,且 x>0,y>0,c= ab , 2


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