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四川湿江县高中数学第二章数列2.3.1等差数列前n项和课件


2.3等差数列前n项和(1)

我国数列求和的概念起源很早, 在南北朝时,张丘建始创等差 数列求和解法.他在《张丘建 算经》中给出等差数列求和问题. 例如:今有女子不善织布,每天所 织的布以同数递减,初日织五尺, 末日织一尺,共织三十日,问共织几何? 原书的解法是:“并初、末日织布数,半之再 乘以织日数,即得.”
有什么依据呢?

高 斯
(1777年-1855年) 德国著名数学家

观察归纳

1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100 1+100=101 2+ 99=101 3+ 98=101 ……

(100+1) × 100/2 =5050

50+ 51=101

1.公式推导
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即: a1+a2+a3+a4…+ an-2+ an-1+an=

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ......? an?1 ? an

若m ? n ? p ? q , 则a m ? a n ? a p ? a q m 、 n 、 p、 q ? N *

a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =……
问题是一共有多少个

a1+an

似乎与n的奇偶有关

设等差数列{an}前n项和为Sn ,则

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? an
(1)当n为偶数时

Sn ? a1 ? ? ? a n ? a n ? ? ? an
2 2 ?1

n ? S n ? ( a1 ? an ) 2

(2)当n为奇数时

Sn ? a1 ? ? ? a n?1 ? a n?1 ? a n?1 ? ? ? an
2 ?1 2 2 ?1

S ?

n ?1 (a1 ? an ) ? a n ?1 ? n 2 2 a n ?1 ? a n ?1 n ?1 2 ? (a1 ? an ) ? 2 2 2

a1 ? an 2

n ? ( a1 ? an ) 2

? 如图,工地有上一堆圆木,从上到下每层的数

目分别为1,2,3,……,10。问共有多少根 圆木?请用简便的方法计算。

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即: Sn=a1+a2+…+an

Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ......

两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n

n( a1 ? an ) ? Sn ? 2

算 法 : 倒 序 相 加 求 和

n(a1 ? an ) 公式 1:S n ? 2

? an ? a1 ? (n ?1)d
n(n ? 1) 公式 2:S n ? na1 ? d 2

2.剖析公式
n( a1 ? an ) 公式1 S n ? 2 n(n ? 1) 公式 2 S n ? na1 ? d 2
通项公式

an ? a1 ? ( n ? 1) d

方程思想

共5个量,由三个公式联系,知三可求二。

3. 记忆公式
n(a1 ? an ) 公式 1 Sn ? 2
a1
an

n
an

a1

n(n ? 1) 公 式 2:Sn ? na1 ? d 2

a1

几何背景

n

a1

(n-1)d

an=a1+(n-1)d

4. 认识公式
n( n ? 1) 公式 2 S n ? na1 ? d 2
公式2可化为:

d 若令 A ? 2


d 2 d S n ? n ? (a 1 ? ) n 2 2
d B ? a1 ? 2
函数思想



则S n ? An ? Bn
2

A?0

,即

d ? 0 时, 上式是关于 n 的二次函数,

且常数项为零. 它的图象是抛物线上的离散点。

5. 例题分析
例1、计
n( n ? 1) 2 (1)1+2+3+…+n = ________.
(2)1+3+5+…+(2n-1)

算:

n =________ .

2

(3)2+4+6+…+2n

n( n ? 1) =__________ .

例2 等差数列-10,-6,-2,2, … 前多少项的和为54?

解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn 则a1=-10,d=-6-(-10)=4 令 Sn=54,由等差数列前n项和公式,得:

解得

n( n ? 1) ?10n ? ? 4 ? 54. 2

n1=9,n2=-3(舍去)

因此,等差数列的前9项和是 54

方程思想 知三求二

例3.在等差数列{an }中 (1)已知 : a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 (2)已知:a6 ? 20, 求S11 (1)解:由已知得:2( a ? a ) ? 2 15

16( a1 ? a16 ) ? S16 ? 2

? a2 ? a15 ? 18

36

整体思想认识公式

? 8( a2 ? a15 )

n(a1 ? an ) Sn ? 2

? S16 ? 8 ? 18 ? 144

例3.在等差数列{an }中 (1)已知 : a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 (2)已知:a6 ? 20, 求S11
( a1 ? a11 ) ? 11 (2) 解: S11 ? 2 2a6 ? 11 ? 2 ? 11a6

? 220


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