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1.3.2第一课时 函数奇偶性的定义与判定_图文

1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定

课标要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会利用图象理解 和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法.

自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=- 1 ,
x
③f(x)=2x的图象分别如图所示.

想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点? (R;(-∞,0)∪(0,+∞);R;关于原点对称) (2)对于导入中的三个函数计算f(-x),观察对定义域内每个x,f(-x)与f(x) 有怎样的关系? (①f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x). ②f(-x)= 1 ,f(-x)=-f(x). ③f(-x)=-x2x,f(-x)=-f(x))
想一想 2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性? (①图象关于y轴对称;②③图象关于原点对称)

知识探究

奇函数、偶函数的定义

(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 任意

有 f(-x)=f(x)

,那么函数f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 任意

f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.

一个x,都 一个x,都有

探究1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点?

答案:定义域关于原点对称.

探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,

-f(a))是否在函数图象上?

答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.

自我检测

1.(偶函数定义)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,3a]上的偶函数,那么a+b 的值是( C )

(A)- 1 (B) 1

3

3

(C) 1 4

(D)- 1 4

2.(奇函数定义)已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是( A )

(A)0

(B)-1

(C)1

(D)2

3.(偶函数定义)f(x)为定义在R上的偶函数,若f(2)=3,则f(-2)等于( C )

(A)-3

(B)-2

(C)3

(D)2

4.(判断奇偶性)函数f(x)= x2 ? 3 的奇偶性是( (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数

B)

解析:函数 f(x)= x2 ? 3 的定义域为 R,f(-x)= ??x?2 ? 3 = x2 ? 3 =f(x),所以
该函数是偶函数.故选 B.

5.(由奇偶性求参数)已知函数f(x)= 1 +a为奇函数,则a=

.

x

答案:0

课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 函数奇偶性的判定 【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;

(2)f(x)= 1? x2 + x2 ?1 ;

规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.……………………1分

又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),………………………………2分

因此函数f(x)是奇函数.………………………………………………3分

(2)由

??1 ?

? ??

x

2

x2 ?1

? ?

0, 0



x2=1,即

x=±1.

因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.…………………………4 分

又 f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.………6 分

(3)f(x)= 2x2 ? 2x ; x ?1

?x ?1, x ? 0, (4)f(x)= ??0, x ? 0,
??x ?1, x ? 0.
规范解答:(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),…………7分

不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.………… 9分

(4)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称.…………………………10 分

??x ?1,?x ? 0,

??? x ? 1?, x ? 0,

f(-x)= ??0,?x ? 0, 即 f(-x)= ??0, x ? 0,

???x ?1,?x ? 0,

???? x ?1?, x ? 0.

于是有 f(-x)=-f(x).

所以 f(x)为奇函数.……………………………………………………12 分

方法技巧 判断函数奇偶性的方法 (1)函数图象法. (2)定义法:①求函数f(x)的定义域; ②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数 既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步; ③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式; ④求f(-x); ⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数, 既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A, A是关于原点对称的非空数集.

变式探究:本例中函数 f(x)= 1? x2 + x2 ?1 可化简为 f(x)=0,则该函数既是奇函 数又是偶函数,若将函数变形为 f(x)= x ?1 + 1? x ,则函数的奇偶性如何?

解:由于

?x ?1 ??1? x

? ?

0, 0,



x=1,故

f(x)=0,由于函数的定义域不关于原点对称,所以

函数 f(x)不具有奇偶性.

即时训练1-1:判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x+ 1 ;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.
x
解:(1)因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数 f(x)=x4-1是偶函数.
(2)函数 f(x)=x+ 1 的定义域是{x|x≠0}. x
关于原点对称,且 f(-x)=-x- 1 =-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. x
(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|= 2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数. (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2≠f(x)且 f(-x)≠-f(x).所以函数f(x)是非奇非偶函数.

【备用例 1】 已知 f(x)= 4 ? x2 ,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( ) (A)h(x)=f(x)+g(x)是偶函数 (B)h(x)=f(x)·g(x)是奇函数
(C)h(x)= g ? x? ? f ? x? 是偶函数
2?x
(D)h(x)= f ? x? 是奇函数 2 ? g?x?

解析:f(x)= 4 ? x2 ,g(x)=|x-2|, A.h(x)=f(x)+g(x)= 4 ? x2 +|x-2|= 4 ? x2 +2-x,x∈[-2,2]. h(-x)= 4 ? x2 +2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数. B.h(x)=f(x)·g(x)= 4 ? x2 |x-2|= 4 ? x2 (2-x),x∈[-2,2]. h(-x)= 4 ? x2 (2+x),不满足奇偶性的定义.
C.h(x)= g ? x? ? f ? x? = 4 ? x2 ,x∈[-2,2)不满足函数的奇偶性定义.
2?x
D.h(x)= f ? x? = 4 ? x2 ,x∈[-2,0)∪(0,2],函数是奇函数.故选 D. 2 ? g?x? x

题型二 函数奇偶性的图象特征 【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图 所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点 对称. 由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

方法技巧 (1)奇函数与偶函数的图象的特点 ①偶函数的图象关于y轴对称,反之,若f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶 函数. ②奇函数的图象关于原点对称,反之,若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为 奇函数. (2)根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等 式问题时,应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根 据图象特征求解问题.

即时训练2-1:(2017·平阳县高一期中)函数f(x)=2x- 1 的图象关于( )

x

(A)y轴对称

(B)直线y=-x对称

(C)直线y=x对称 (D)坐标原点对称

解析:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

则 f(-x)=-2x+ 1 =-(2x- 1 )=-f(x),

x

x

则函数 f(x)是奇函数,则函数 f(x)=2x- 1 的图象关于坐标原点对称.故选 D. x

【备用例2】 (2017·永州高一期中)已知f(x+1)是偶函数,且f(x)在[1,+∞) 上单调递减,若f(2)=0,则f(x)>0的解集为( ) (A)(-1,1) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(0,2)
解析:因为f(x+1)在R上是偶函数, 所以f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于直线x=1对称, 因为f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(2)=0, 所以f(x)在(-∞,1]上单调递增,f(0)=0, 画出函数的示意图.由图得,f(x)>0的解集是(0,2),故选D.

题型三 利用函数奇偶性求参数

【例 3】 (1)设函数 f(x)= ? x ? 1?? x ? a? 为奇函数,则 a=

;

x

解析:(1)法一(定义法) 由已知 f(-x)=-f(x),

即 ??x ?1???x ? a? =- ? x ? 1?? x ? a? .

?x

x

显然 x≠0 得,x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,

故 a+1=0,得 a=-1. 法二(特值法) 由 f(x)为奇函数得 f(-1)=-f(1),

即 ??1 ? 1???1 ? a? =- ?1?1??1? a? ,

?1

1

整理得 a=-1.
答案:(1)-1

(2)已知函数f(x)=

???x2 ? x, x ? 0,

? ??ax

2

?

x,

x

?

0

是奇函数,则a=

.

解析:(2)(特值法)由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1), 即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1), 整理得a-1=0, 解得a=1. 答案:(2)1

变式探究:是否存在实数a使函数f(x)= ? x ?1?? x ? a? 为偶函数,说明理由.
x

解:法一 不存在,假设存在 a 使 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x),

即 ?1 ? x??a ? x? = ? x ? 1?? x ? a? .

?x

x

所以(x-1)(a-x)=(x+1)(x+a),即 x2+a=0,由于 x 任意,故不存在 a.

法二 由 f(x)= ? x ? 1?? x ? a? ,记 g(x)=(x+1)(x+a),h(x)=x,
x

则 h(x)是奇函数. 若 f(x)为偶函数,则 g(x)必为奇函数. 根据二次函数图象特征,g(x)不可能关于原点对称. 故不存在 a,使 f(x)为偶函数.

误区警示 由函数的奇偶性求参数应注意两点 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇 偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也 可求得参数.

即时训练 3-1:(1)(2018·福州高一检测)若函数 f(x)=

x

为奇函数,则 a 等

?2x ?1?? x ? a?

于( )

(A) 1 2

(B) 2 3

(C) 3 4

(D)1

(1)解析:函数 f(x)的定义域为{x|x≠- 1 ,且 x≠a}.又 f(x)为奇函数,定义域应关于原 2

点对称,所以 a= 1 .故选 A. 2

(2)设函数 f(x)= ax2 ? 1 是奇函数(a,b,c∈Z),且 f(1)=2,f(2)<3,求 a,b,c 的值. bx ? c

(2)解:由条件知 f(-x)+f(x)=0, 所以 ax2 ? 1 + ax2 ? 1 =0,所以 c=0.
bx ? c c ? bx 又 f(1)=2,所以 a+1=2b.

因为 f(2)<3,所以 4a ? 1 <3,所以 4a ? 1 <3,解得-1<a<2,所以 a=0 或 1.

2b

a ?1

所以 b= 1 或 1,由于 b∈Z,所以 a=1,b=1,c=0. 2


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