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18版高中数学平面解析几何初步习题课直线与方程学案苏教版2180227432

内部文件,版权追溯 第二章 平面解析几何初步 学习目标 1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化 化归思想的应用. 知识点一 对称问题 1.点关于直线对称 设点 P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(AB≠0),若点 P 关于 l 的对称点为点 Q(x,y),则 l 是线 段 PQ 的垂直平分线,故 PQ⊥l 且 PQ 的中点在 l 上,解方程组 ?y-y0 ? A? ? ·?- ?=-1, ?x-x0 ? B? x+x0 y+y0 A· +B· +C=0, 2 2 即可得点 Q 的坐标. 常用的结论 (1)A(a,b)关于 x 轴的对称点为 A′(a,-b). (2)B(a,b)关于 y 轴的对称点为 B′(-a,b). (3)C(a,b)关于原点的对称点为 C′(-a,-b). (4)D(a,b)关于直线 y=x 的对称点为 D′(b,a). (5)E(a,b)关于直线 y=-x 的对称点为 E′(-b,-a). (6)P(a,b)关于直线 x=m 的对称点为 P′(2m-a,b). (7)Q(a,b)关于直线 y=n 的对称点为 Q′(a,2n-b). 2.直线关于点对称 已知直线 l 的方程为 Ax+By+C=0(A +B ≠0)和点 P(x0, y0), 求 l 关于点 P 的对称直线 l′ 的方程.设 P′(x′,y′)是对称直线 l′上的任意一点,它关于点 P(x0,y0)的对称点(2x0 -x′,2y0-y′)在直线 l 上,则 A(2x0-x′)+B(2y0-y′)+C=0,即 Ax′+By′+C′ =0 为所求的对称直线 l′的方程. 3.直线关于直线对称 一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点,求此点关于对称轴的对称点, 对称点必在对称直线上. 常用的结论 设直线 l:Ax+By+C=0,则: (1)l 关于 x 轴对称的直线是 Ax+B(-y)+C=0. 1 2 2 (2)l 关于 y 轴对称的直线是 A(-x)+By+C=0. (3)l 关于原点对称的直线是 A(-x)+B(-y)+C=0. (4)l 关于直线 y=x 对称的直线是 Bx+Ay+C=0. (5)l 关于直线 y=-x 对称的直线是 A(-y)+B(-x)+C=0. 知识点二 最值问题 1.利用对称转化为两点之间的距离问题. 2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. 3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题,通过配方求最值. 类型一 对称问题 命题角度 1 关于点对称问题 例 1 (1)求点 P(x0,y0)关于点 A(a,b)的对称点 P′的坐标; (2)求直线 3x-y-4=0 关于点(2,-1)的对称直线 l 的方程. 反思与感悟 (1)点关于点的对称问题 若两点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 关于点 P(x0 , y0) 对称,则点 P 是线段 AB 的中点,并且 ? x1+x2 ?x0= , 2 ? y1+y2 y0= . 2 (2)直线关于点的对称问题 若两条直线 l1,l2 关于点 P 对称,则①l1 上任意一点关于点 P 的对称点必在 l2 上,反过来, l2 上任意一点关于点 P 的对称点必在 l1 上.②若 l1∥l2,则点 P 到直线 l1,l2 的距离相等.③ 过点 P 作一直线与 l1,l2 分别交于 A,B 两点,则点 P 是线段 AB 的中点. 跟踪训练 1 已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点 P(x,y)到原点的距 离是________. 命题角度 2 关于直线对称问题 例 2 点 P(-3,4)关于直线 x+y-2=0 的对称点 Q 的坐标是__________. 反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题 求 点 P(x0 , y0) 关 于 Ax + By + C = 0 的 对 称 点 P′(x , y) 时 , 利 用 ?y-y0 ? ?x-x0 - A x0+x y0+y =-1, A· +B· +C=0 B 2 2 可以求出点 P′的坐标. (2)直线关于直线的对称问题 若两条直线 l1,l2 关于直线 l 对称,则①l1 上任意一点关于直线 l 的对称点必在 l2 上,反过 来,l2 上任意一点关于直线 l 的对称点必在 l1 上.②过直线 l 上的一点 P 且垂直于直线 l 作 2 一直线与 l1,l2 分别交于点 A,B,则点 P 是线段 AB 的中点. 跟踪训练 2 求直线 x-2y-1=0 关于直线 x+y-1=0 对称的直线 l 的方程. 类型二 最值问题 例 3 在直线 y=x+2 上求一点 P,使得点 P 到直线 l1:3x-4y+8=0 和直线 l2:3x-y-1 =0 的距离的平方和最小. 反思与感悟 解决此类问题通常有两种途径: 一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线 的距离;二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题. 跟踪训练 3 已知实数 x,y 满足 6x+8y-1=0,则 x +y -2y+1 的最小值为________. 类型三 对称与最值的综合应用 例 4 在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得: (1)点 P 到点 A(4,1)和点 B(0,4)的距离之差最大; (2)点 P 到点 A(4,1)和点 C(3,4)的距离之和最小. 2 2 反思与感悟 利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法. 跟踪训练 4 已知直线 l:x-2y+8=0 和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线 l 上求一点 P,使 PA+PB 最小; (2)在直线 l 上求一点 P,使|PB-PA|最大. 3 1.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为____________________. 1 2.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0, x+y+b=0.已知 a,

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