3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学立体几何常考垂直证明题汇总


新课标立体几何常考垂直证明题汇总
2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1) A E

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?
B

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE

C

又∵ CE ? DE ? E

D

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

考点:线面垂直,面面垂直的判定

4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . 证明:∵?ACB ? 90 °

? BC ? AC ? S A? B C 又 SA ? 面 ABC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD
A

S

D B C

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设

D1 A1 D O A B B1

C1

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

1

∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

C

又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C ? B D 1 1 ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 又 , ? B1 D1 ? 面 A1 C1 C 即A 1 C? B 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1, 1 1 同理可证 1 又 1 1 ? 面 AB1D1 ? AC 1
1

考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定

6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

考点:线面垂直的判定 8、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平面 ACD
证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG

2 1 1 1 // BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? AC ,∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 FG ? 2 2 2 ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD

// 1 AC ?

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形 9 、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,

AN ? 3NB P (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。 证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点, M PAB PAB CB ? ∴ MQ // BC ,∵ 平面 ,∴ MQ ? 平面 PAB MN A ? P B ,∴ C ∴ QN 是 在平面 内的射影 , 取 AB 的中点 D , 连结 PD , ∵P A PD ? AB ,又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND N ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB B 1 ( 2 )∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ? AB ? 2 ,∴ QN ? 1 ,∵ MQ ? 平面 PAB . ∴ MQ ? NQ ,且 2 1 MQ ? BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2
[来源:学§科§网]

考点:三垂线定理

E 是 AA1 的中点. 11、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥ EO
2

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1
(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A AC ? ? 1 1

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 12、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.
2 2 2 证明:在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 13 、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
0 0

且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45
0

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 14、如图 1,在正方体 ABCD ? A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1
证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A 1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 . 1
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4


A1M 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中,

9 2 2 2 2 a . ∵ AO , ∴A O O ? M ? MO ? A1M 1 1 4

3

∵OM∩DB=O,∴ AO 1 ⊥平面 MBD. 考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 考点:线面垂直的判定 16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 A1 B1 C1

D A B

C

证明:连结 AC

∵B D ⊥ AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

考点:线面垂直的判定,三垂线定理 17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. 证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO, 则 AO⊥BC,SO⊥BC,

2 ∴∠AOS 为二面角的平面角, 设 SA=SB=SC=a, 又∠BSC=90°, ∴BC= 2 a, SO= 2 a, 1 1 2 2 2 2 2 AO =AC -OC =a - 2 a = 2 a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥
平面 BSC. 考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)

4

2、如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3 , 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面 CDE; (Ⅱ)求证:FG∥面 BCD; 分析:取 DB 的中点 H,连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
D E F C G G E F

D

C

A

B

A

B

3、已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点, M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证: (Ⅰ)C1D⊥BC; (Ⅱ)C1D∥平面 B1FM.
B1

C1

分析:连 EA,易证 C1EAD 是平行四边形,于是 MF//EA

E M C

A1

D

B

F

A

1、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

2、如图,棱柱

ABC ? A1B1C1 的侧面
1 1

BCC1B1 是菱形, B C ? A B
证 明 : 平 面 AB1C ? 平 面 A 1 BC1 ;

∠ ABC = 60 ° , PA = AB = BC , E 是 PC 的 中 点 .

(1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE. 3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。 ?DAB ? 60 , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD , 证明: PA ? BD

5

4、如图所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点

(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

面面垂直的性质
1、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC. S

A

C

B 2、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD V

D A

C

B

3、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将

?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD 求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6

4、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

(第16题图)

7


推荐相关:

高中数学 必修二 立体几何常考证明题汇总

高中数学 必修二 立体几何常考证明题汇总 - 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, ...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总 - 立体几何选择题: 一、三视图考点透视: ①能想象空间几何体的三视图,并判断(选择题). ②通过三视图计算空间几何体的体积或表...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总_数学_高中教育_教育专区。高考_百度文库,高三复习_百度文库,高中试卷_百度文库,_百度文库,真题及解析_百度文库,复习文档_百度文库,...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总_数学_高中教育_教育专区。高中数学立体几何常考证明题汇总,高中数学立体几何大题,高中立体几何经典例题,高中立体几何秒杀技巧,高中...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总 - 高一数学必修 2 立体几何常考证明题汇总 考点 1:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角 已知四边形 ABCD 是空间...


(学生用)高中数学立体几何常考证明题汇总.

(学生用)高中数学立体几何常考证明题汇总. - 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, , , , E F G H 分别是边 , , , AB ...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总 - 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 A B C D 是空间四边形, E , F , G , H 分别是边 A B , B C , ...


高中数学立体几何常考证明题汇总(全)

高中数学立体几何常考证明题汇总(全) - 新课标立体几何常考证明题汇总 考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形...


高中数学立体几何常考证明题汇总

高中数学立体几何常考证明题汇总 - 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点...


立体几何常考证明题

立体几何常考证明题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何常考证明题 1...A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1 证明: 考点:线面垂直的判定,运用勾股...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com