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高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理(二)学案新人教B版选修2_2

1.4.2 明目标、知重点 微积分基本定理(二) 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 1.曲边梯形的面积 (1)当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积 S=? af(x)dx. (2)当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)围成的曲 边梯形的面积 S=-? af(x)dx. 2.两函数图象围成图形的面积 当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)围成 的平面图形的面积 S=? a[f(x)-g(x)]dx.(如图) b b b 探究点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积,然后计算 定积分即可. 例 1 求由曲线 y=x ,直线 y=2x 和 y=x 围成的图形的面积. 解 方法一 ? ?y=x , 如图,由? ?y=x ? 2 2 ? ?y=x , 和? ?y=2x ? 2 解出 O,A,B 三点的横坐标分别是 0,1,2. 1 故所求的面积 S=? (2x-x)dx+? (2x-x )dx= 1 2 2 x2?1 0 2? ? ?0 ?1 + ?x2-x ??2=1-0+(4-8)-(1-1)=7. ? ?1 3? 3 3 6 ? ?? 2 3 方法二 由于点 D 的横坐标也是 2, 故 S=?2(2x-x)dx-?2(x -x)dx 2 ?0 ?1 = x2?2 0 2? ? - ?x -x ??2=2-(8-2)+(1-1)=7. ? 3 2 ? ?1 3 3 2 6 ? ?? 3 2 y ?1 2? 方法三 因为? y ?′= , 4 2 ? ? ?2y3-y ?′= y-y, ?3 2 4 ? 2 ? ? 故所求的面积为 2 y S=?1(y- )dy+ ?0 2 4 ? ( y-2)dy ?1 y = 1 2?1 y 0+ 4 ? ? ?2y3-y ??4 ?3 2 4 ??1 ? ?? 2 1 2 1 2 1 7 = +( ×8- ×16)-( - )= . 4 3 4 3 4 6 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤: (1)根据题意画出图形; (2)找出范围,确定积分上、下限; (3)确定被积函数; (4)将面积用定积分表示; (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果. 跟踪训练 1 求由抛物线 y=x -4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 2 2 解 由? ?y=x -4 ? ? ?y=-x+2 2 得? ? ?x=-3 ?y=5 ? 或? ? ?x=2 ?y=0 ? , 2 所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x -4 的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为 S, 根据图形可得 S=? -3(-x+2)dx-? -3(x -4)dx 1 2 2 1 3 2 =(2x- x )|-3-( x -4x)|-3 2 3 25 25 125 = -(- )= . 2 3 6 探究点二 分割型图形面积的求解 思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形, 在不同的区间位于上方和下方的曲 线不同时,这种图形的面积如何求? 答 求出曲线的不同的交点横坐标, 将积分区间细化, 分别求出相应区间曲边梯形的面积再 求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下. 例 2 计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 解 方法一 作出直线 y=x-4,曲线 y= 2x的草图. 2 2 2 解方程组? ?y= 2x, ?y=x-4 得直线 y=x-4 与曲线 y= 2x交点的坐标为(8,4). 直线 y=x-4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 8 8 =? 2xdx-? 4?x-4?dx] 0 2xdx+[? 4 4 2 2 2 4 2 2 3 8 1 = x |0+ x |4- (x-4)2|8 4 3 3 2 2 3 3 40 = . 3 方法二 把 y 看成积分变量,则 4 2 2 3 4 S=? . 0(y+4- y )dy=( y +4y- y )|0= 1 2 1 2 1 6 40 3 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形, 一定要确定图形范围, 通过解方程组求出 交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选 x 运算较繁锁,则积分变量可选 y,同时要 更换积分上、下限. 1 跟踪训练 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 解 画出图形,如图所示. 解方程组? ?y= x, ?x+y=2, x+y=2, ? ? 及? 1 y=- x, ? 3 ? ? ?y= x, ? 1 y=- x, ? 3 ? 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1), 1 1 1 3 所以 S=? x-(- x)]dx+? 0[ 1[(2-x)-(- x)]dx 3 3 1 1 1 3 =? x+ x)dx+? 0( 1(2-x+ x)dx 3 3 2 3 x2 1 1 1 =( 3 + x )| +(2x- x + x )| 6 2 6 2 1 0 2 2 3 1 2 1 1 2 3 = + +(2x- x )|1 3 6 3 5 1 1 = +6- ×9-2+ 6 3 3 13 = . 6 探究点三 定积分的综合应用 1 2 例 3 在曲线 y=x (x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 , 12 4 试求:切点 A 的坐标以及在切点 A 处的切线方程. 解

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