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高中数学三角恒等式变形解题常用方法


高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 (1)两角和与差公式 (2)二倍角公式 (3)三倍角公式 (4)半角公式 (5)万能公式 , (6)积化和差 , , , , 1 (7)和差化积 , , , 2. 网络结构 2 3. 基础知识疑点辨析 (1)正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式? 实际上, 正弦、 余弦的和角公式包括它们的差角公式, 因为在和角公式中, 是一个任意角, 可正可负。另外,公式 虽然形式不同,结构不同,但本质相同: 。 3 (2)怎样正确理解正切的和差角公式? 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点: ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式 都除以 ②公式 等于 ③用 。 代替 ,可把 转化为 ,其限制条件同②。 ,从而“化弦为切”,导出了 都适用于 。 ,右边的“分子”、 “分母” 为任意角,但运用公式 时,必须限定 , 都不 (3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用? ①不用计算器或查表,只通过笔算求得某些特殊角(例如 15°,75°,105°角等)的三角 函数值。 ②能由两个单角 的三角函数值,求得它们和差角的三角函数值;能由两个单角 的 三角函数值与这两个角的范围,求得两角和的大小(注意这两个条件缺一不可)。 ③能运用这些和(差)角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式,化简三角函 数式,要注意公式可以正用,逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最 小值。 (4)利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么? 先用二倍角公式导出 ,再把两式的左边、右边分别相除, 得到 ,由此得到的三个公式: , , 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号,由 所在 的象限来确定,如果没有给出限制符号的条件,根号前面应保持正、负两个符号。另外,容易 证明 。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三 角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中 4 涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒 等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能 力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明,对三角恒等变换的 解题技巧作初步的探讨研究。 (1)变换函数名 对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切 割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类, 这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现 解题途径。 【例 1】已知θ 同时满足 a、b 的关系。 和 ,且 a、b 均不为 0,求 解析:已知 显然有: 由①?cos2θ +②?cosθ ,得:2acos2θ +2bcosθ =0 即有:acosθ +b=0 又 a≠0 所以,cosθ =-b/a ③ 将③代入①得:a(-a/b)2-b(-b/a)=2a 即 a4+b4=2a2b2 ∴ (a2-b2)2=0 即|a|=|b| 点评:本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用,主要利用切割弦之间的基本关系 式。 (2)变换角的形式 对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原 角的形式, 从而运用有关

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